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- 2022-04-29 14:15:16 发布
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'1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图
1-5试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图1-5a1-5b
1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2,机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解:杆AB,BC,CD为二力杆,受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法)假设各杆受压,分别选取销钉B和C为研究对象,受力如图所示:F2FBCFABB45oyxFBCFCDC60oF130oxy由共点力系平衡方程,对B点有:对C点有:解以上二个方程可得:
解法2(几何法)FBCFCD60oF130oF2FBCFAB45o分别选取销钉B和C为研究对象,根据汇交力系平衡条件,作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形,如图所示。对B点由几何关系可知:对C点由几何关系可知:解以上两式可得:2-3在图示结构中,二曲杆重不计,曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。解:BC为二力杆(受力如图所示),故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用,A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示,由力偶系作用下刚体的平衡方程有(设力偶逆时针为正):其中:。对BC杆有:A,C两点约束力的方向如图所示。2-4
解:机构中AB杆为二力杆,点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件,点O,C处的约束力方向也可确定,各杆的受力如图所示。对BC杆有:对AB杆有:对OA杆有:求解以上三式可得:,,方向如图所示。//2-6求最后简化结果。解:2-6a坐标如图所示,各力可表示为:,,先将力系向A点简化得(红色的):,方向如左图所示。由于,可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的),主矢不变,其作用线距A点的距离,位置如左图所示。2-6b同理如右图所示,可将该力系简化为一个不过A点的力(绿色的),主矢为:
其作用线距A点的距离,位置如右图所示。简化中心的选取不同,是否影响最后的简化结果?是2-13解:整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象,受力如图,列平衡方程(坐标一般以水平向右为x轴正向,竖直向上为y轴正向,力偶以逆时针为正):选梁AB为研究对象,受力如图,列平衡方程:求解以上五个方程,可得五个未知量分别为:(与图示方向相反)(与图示方向相同)(逆时针方向)2-18
解:选AB杆为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:求解以上两个方程即可求得两个未知量,其中:未知量不一定是力。以下几题可看一看!2-27解:选杆AB为研究对象,受力如下图所示。列平衡方程:(运用力对轴之矩!)
由和可求出。平衡方程可用来校核。思考题:对该刚体独立的平衡方程数目是几个?2-29解:杆1,2,3,4,5,6均为二力杆,受力方向沿两端点连线方向,假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象,受力如图所示,该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程:(受拉)(受压)(受压)(受拉)本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程,但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便,适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量,避免求解联立方程。
2-31力偶矩解:取棒料为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:补充方程:五个方程,五个未知量,可得方程:解得。当时有:即棒料左侧脱离V型槽,与提议不符,故摩擦系数。2-33解:当时,取杆AB为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:
附加方程:四个方程,四个未知量,可求得。2-35解:选棱柱体为研究对象,受力如图所示。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程:如果棱柱不滑动,则满足补充方程时处于极限平衡状态。解以上五个方程,可求解五个未知量,其中:(1)当物体不翻倒时,则:(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式,棱柱才能保持平衡。
FCxFCyFBxFBy3-10解:假设杆AB,DE长为2a。取整体为研究对象,受力如右图所示,列平衡方程:取杆DE为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:取杆AB为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:(与假设方向相反)(与假设方向相反)(与假设方向相反)3-12FCxFCyFD解:取整体为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
取杆AB为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:杆AB为二力杆,假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:解得,命题得证。注意:销钉A和C联接三个物体。FAFB3-14解:取整体为研究对象,由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零,因此有:即必过A点,同理可得必过B点。也就是和是大小相等,方向相反且共线的一对力,如图所示。取板AC为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:
解得:(方向如图所示)3-20解:支撑杆1,2,3为二力杆,假设各杆均受压。选梁BC为研究对象,受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力,大小为2qa,作用在BC杆中点。列平衡方程:(受压)DF3F2F1xy选支撑杆销钉D为研究对象,受力如右图所示。列平衡方程:(受压)(受拉)选梁AB和BC为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:(与假设方向相反)(逆时针)
FAxFAyFBxFBy3-21解:选整体为研究对象,受力如右图所示。列平衡方程:(1)由题可知杆DG为二力杆,选GE为研究对象,作用于其上的力汇交于点G,受力如图所示,画出力的三角形,由几何关系可得:。取CEB为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:代入公式(1)可得:3-24解:取杆AB为研究对象,设杆重为P,受力如图所示。列平衡方程:
取圆柱C为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:注意:由于绳子也拴在销钉上,因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27解:取整体为研究对象,设杆长为L,重为P,受力如图所示。列平衡方程:(1)取杆BC为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:(2)FAxFAyFNFsPP补充方程:,将(1)式和(2)式代入有:,即。3-29(…………………………)证明:(1)不计圆柱重量法1:取圆柱为研究对象,圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用,分别以全约束力来表示,如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态,则等值,反向,共线。由几何关系可知,
与接触点C,D处法线方向的夹角都是,因此只要接触面的摩擦角大于,不论F多大,圆柱不会挤出,而处于自锁状态。FNDFSDoFAxFAy法2(解析法):首先取整体为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:再取杆AB为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:取圆柱为研究对象,受力如图所示。假设圆柱半径为R,列平衡方程:
由补充方程:,可得如果:则不论F多大,圆柱都不被挤出,而处于自锁状态。证明:(2)圆柱重量P时取圆柱为研究对象,此时作用在圆柱上的力有重力P,C点和D点处的全约束力。如果圆柱保持平衡,则三力必汇交于D点(如图所示)。全约束力与C点处法线方向的夹角仍为,因此如果圆柱自锁在C点必须满足:(1)该结果与不计圆柱重量时相同。只满足(1)式时C点无相对滑动,但在D点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。再选杆AB为研究对象,对A点取矩可得,由几何关系可得:(2)法1(几何法):PφFRDFRC圆柱保持平衡,则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形,如图所示。由几何关系可知:
将(2)式代入可得:因此如果圆柱自锁在D点必须满足:(3)即当同时满足(1)式和(3)式时,圆柱自锁,命题得证。法2(解析法):取圆柱为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:解得:,代入补充方程:,可得如果圆柱自锁在D点必须满足:(3)即当同时满足(1)式和(3)式时,圆柱自锁,命题得证。3-30解:取整体为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:由题可知,杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力,以及B和C处的约束力和,由三力平衡汇交,可确定约束力和
的方向如图所示,其中:,杆AC受压。取轮A为研究对象,受力如图所示,设的作用线与水平面交于F点,列平衡方程:取轮B为研究对象,受力如图所示,设的作用线与水平面交于G点,列平衡方程:解以上六个方程,可得:,,,若结构保持平衡,则必须同时满足:,,,
即:,因此平衡时的最大值,此时:,3-35解:由图可见杆桁架结构中杆CF,FG,EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分,取上面部分为研究对象,受力如图所示,列平衡方程:(受拉)(受拉)(受压)3-38解:假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:(受压)
取节点C为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:其中:,解以上两个方程可得:(受压)3-40解:取整体为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:ABC345FAyFAxFBCSS用截面S-S将桁架结构分为两部分,假设各杆件受拉,取右边部分为研究对象,受力如图所示。列平衡方程:(受拉)(受拉)
4-1解:1.选定由杆OA,O1C,DE组成的系统为研究对象,该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为。2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角θ完全确定,有一个自由度。选参数θ为广义坐标。3.在图示位置,不破坏约束的前提下,假定杆OA有一个微小的转角δθ,相应的各点的虚位移如下:,,,,代入可得:4.由虚位移原理有:对任意有:,物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-4解:4a1.选杆AB为研究对象,该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定,有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知:杆的质心坐标可表示为:
3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度δθ,则质心C的虚位移:4.由虚位移原理有:对任意有:即杆AB平衡时:。解:4b1.选杆AB为研究对象,该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定,有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知:杆的质心坐标可表示为:
3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度δθ,则质心C的虚位移:4.由虚位移原理有:对任意有:即平衡时角满足:。4-5解:1.选整个系统为研究对象,此系统包含弹簧。设弹簧力,且,将弹簧力视为主动力。此时作用在系统上的主动力有,以及重力。2.该系统只有一个自由度,选定为广义坐标。由几何关系可知:3.在平衡位置,不破坏约束的前提下,假定有一个微小的虚位移δθ,则质心的虚位移为:弹簧的长度,在微小虚位移δθ下:
4.由虚位移原理有:其中,代入上式整理可得:由于,对任意可得平衡时弹簧刚度系数为:4-6解:解除A端的约束,代之以,并将其视为主动力,此外系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度,选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。1.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如图所示。由虚位移原理有:对任意可得:2.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如下图所示。由虚位移原理有:(1)
由几何关系可得各点的虚位移如下:代入(1)式:对任意可得:,方向如图所示。3.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,如上图所示。由虚位移原理有:(2)有几何关系可得各点的虚位移如下:代入(2)式:对任意可得:,逆时针方向。4-7
解:将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷,大小为。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束,代之以力,并将其视为主动力,系统还受到主动力的作用,如图所示。在不破坏约束的前提下,杆AC不动,梁CDB只能绕C点转动。系统有一个自由度,选转角为广义坐标。给定虚位移,由虚位移原理有:(1)各点的虚位移如下:代入(1)式整理可得:对任意可得:,方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束,代之以,并将其视为主动力,系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度,选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。
2a.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,此时整个结构平移,如上图所示。由虚位移原理有:(2)各点的虚位移如下:代入(2)式整理可得:对任意可得:,方向如图所示。2b.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移
,此时梁AC向上平移,梁CDB绕D点转动,如上图所示。由虚位移原理有:(3)各点的虚位移如下:代入(3)式整理可得:对任意可得:,方向如图所示。2c.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移,此时梁AC绕A点转动,梁CDB平移,如上图所示。由虚位移原理有:(4)各点的虚位移如下:代入(4)式整理可得:对任意可得:,顺时针方向。
4-8解:假设各杆受拉,杆长均为a。1.求杆1受力去掉杆1,代之以力,系统有一个自由度,选AK与水平方向的夹角为广义坐标,如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,此时三角形ADK形状不变,绕A点转动,因此有,且:滑动支座B处只允许水平方向的位移,而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向,故B点不动。三角形BEK绕B点旋转,且:对刚性杆CD和杆CE,由于,因此。由虚位移原理有:代入各点的虚位移整理可得:对任意可得:(受压)。2.求杆2受力去掉杆2,代之以力,系统有一个自由度,选BK与水平方向的夹角
为广义坐标,如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,杆AK绕A点转动,因此有,且:同理可知B点不动,三角形BEK绕B点旋转,且:杆AD绕A点转动,由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示,且:同理可知。由虚位移原理有:代入各点的虚位移整理可得:对任意可得:(受压)。3.求杆3受力去掉杆3,代之以力,系统有一个自由度,选AK与水平方向的夹角为广义坐标,如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移,三角形ADK绕A点转动,,且:同理可知B点不动,,且:由虚位移原理有:
代入各点的虚位移整理可得:对任意可得:(受拉)。θ4-12铅垂力F为常力解:F大小和方向不变,常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统,有一个自由度,选为广义坐标,如图所示。取为零势能位置,则系统在任意位置的势能为:由平衡条件可得:有:和即:和也就是:和两个平衡位置。为判断平衡的稳定性,取势能V的二阶导数:当时,,即时是不稳定平衡。
当时,由上式可知:1.当且时,即是稳定平衡位置;2.当且时,即是不稳定平衡位置。OxyhCθθβ4-15解:取半径为r的半圆柱为研究对象,圆心为C。半圆柱作纯滚动,有一个自由度,取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力,系统为保守系统,如图所示,其中。由于半圆柱作纯滚动,有:(1)取坐标原点为零势能位置,则半圆柱在任意位置的势能为:
代入(1)式有:由平衡条件可得为平衡位置。势能V的二阶导数:由上式可得当,是稳定的。'
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