二、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答.pdf 46页

'第二篇数学物理方程第二篇数学物理方程部分第九章数学建模——数学物理定解问题习题及解答9.1长为l的均匀细弦，两端固定于x=0,xl=，弦中的张力为T.在x=h点处，以横向0力F拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.0⎧Flhx()−0,x∈[0,]h⎪⎪Tl0【答案u|=⎨】t=0Fhlx()−⎪0,x∈[,]hl⎪Tl⎩09.2长为l的均匀杆两端受拉力F作用而作纵振动，写出边界条件.0【答案YSu|==F,YSu|F】xx==00xxl09.3长为L的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为q，写出这个热传导问题的边界条0件.【答案−=ku|,qku|=q】xx==00xxL09.4一根长为L的均匀细弦，两端固定于x=0,xL=，用手将弦于x=l处朝横向拉开距离h，然后放手任其振动，试写出其定解问题.2uau−=0;(0,)0(,);(,0)0,ut==Ltux=ttxxt⎧hxx(0≤≤l)【答案⎪⎪l】ux(,0)=⎨⎪H(Lx−≤)(lxL≤)⎪⎩Ll−9.5有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力Ft()=Fsinωt作用，试写出其纵振动0方程与定解条件.2sinωt【答案uau−=0;(0,)utultF=0,(,)=;(,0)ux=0,(,0)ux=0】ttxxx0tYs9.6有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长ε而静止（设拉长在弹性限度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.2ε【答案uau−=0;(0,)0ut==ultux(,);(,0)=xux,(,0)0=】ttxxxtl9.7长为l的理想传输线，一端x=0接于交流电源，其电动势为Etsinω，另一端x=l开0路。试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.221iωt【答案vv−==aa0,(),|v=Ee,|i=0】ttxxx==00xlLC9.8研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为T，杆上温度梯度0均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的方程，及其定解条件.--------------------------------------------------------------------1---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程22【答案uau−==0,(akcut/ρ);(0,)=0,ult(,)=0;(,0)ux=Txlx/,∈(0,)l】txxx09.9试推导均匀弦的微小横振动方程.2【答案具有类型：uauf−=，详细自行讨论】ttxx9.10试推导出一维和三维热传导方程.22【答案具有类型：uaufuauuu−=−++=;()f，详细自行讨论】txxtxxyyzz9.11试推导静电场的电势方程.【答案具有类型：uuf+=，详细自行讨论】xxyy9.12推导水槽中的重力波方程.水槽长为l，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水在平衡时深度为h.【提示：取x沿槽的长度方向，取u为水的质点的x方向位移】【答案取x沿槽的长度方向，u为水的质点的x方向位移，则ug=hu】ttxx9.11.有一长为l的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置1的外力,外力线密度已知,开始时.弦处受到冲量I作用,试写出其定解问题.222⎧∂∂uu2⎪=+af()x,0tx∈>(),l,t022∂∂tx⎪⎪∂ult(),⎪ut()0.=+=hult(),0t≥0答⎨∂x⎪ux(),0=0⎪⎪Il⎛⎞⎪uxt(),0=−δ⎜⎟xx∈[]0,l⎩ρ⎝⎠29.14由一长为l的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.2⎧∂∂uu2⎪=+af()x,,tx∈>()0,,0lt2∂t∂x⎪⎪∂ult(),(答⎨ut()0,==≥0,t0)⎪∂x⎪ux()(),0=∈ϕx,x[]0,l⎪⎩9.15设有高为h半径为R的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.222⎧∂∂∂∂uuuu11⎪+++=f()rzrR,,θθ∈[0,,)∈[0,2,π)()zh∈0,2222∂∂∂∂rrrrθz⎪⎪答⎨uA==,uBzz==0h⎪∂u⎪=0rR=⎪⎩∂r--------------------------------------------------------------------2---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程9.16设有定解问题222⎧∂∂∂uuu⎪=+,0<<<<>xayb,0;0t222∂∂∂txy⎪⎪uu==0,xx==0a⎪⎨uu==≥0,t0⎪yy==0b⎪⎪uxt=0=ϕ(),,y⎪⎩uxtt=0=<ψ(),,0yx),()】aaa11.3求解细圆锥形均质杆的纵振动.【提示作变换ux=v/】f()()xatfxat−++12【答案u=】x11.4半无限长杆的端点受到纵向力Ft()=Asinωt作用，求解杆的纵振动.tuxϕ()()1xat++−ϕatxxat+>=a,(+a∫ψξξ)d220【答案】1atx−aAxaA++∫ψξξ()dcos(ωt−)−2aY0SωaYSωC11.5已知初始电压分布为Acoskx，初始电流分布为Akcosx，求解无线长理想传输L线上电压和电流的传播情况，【答案v=Akcos(xa−=tiCL),/Akcos(xa−t)】11.6在GL=CR条件下求无限长传输线上的电报方程的通解.R−t11xat+【答案exL{[(ϕ++−+at)(ϕψxat)]∫()dξξ】22axat−11.7已知端点通过电阻R而相接，初始电压分布为Acoskx，初始电流分布为CLAkx/cos.求解半无限长理想传输线上电报方程的解；在什么条件下端点没有反射（遮住情况叫作匹配）？LL【答案匹配的条件是R=，因此叫作特征阻抗】0CC本章计算机仿真11.8试用计算机仿真的方法，将11.2的弦振动规律以图形的分式表示出来.【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;x=0:0.01:10;fort=1:0.5:25u=A*sin(pi*(t-x/a));plot(x,u);title("弦振动")xlabel("x")ylabel("u")--------------------------------------------------------------------6---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程pause(0.0000001);end;11.9试用计算机仿真的方法，将11.5中的电压分布和电流分布用图形表示出来．【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;k=2*pi;C=0.006;L=0.003;x=0:0.001:10;fort=1:0.5:25subplot(2,1,1);v=A*cos(k*(t-x/a));plot(x,v);title("电压动态分布")xlabel("x")ylabel("v")pause(0.0000001);--------------------------------------------------------------------7---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程subplot(2,1,2);i=sqrt(C/L)*A*cos(k*(t-x/a));plot(x,i);title("电流动态分布")xlabel("x")ylabel("i")pause(0.0000001);end;第12章习题解答12.1求解下列本征值问题的本征值和本征函数(1)Xx′′()+===λXx()0;(0)x0,()xl′0(2)Xx′′()+===λXx()0;(0)x′0,()xl′01(3)()Xx′′+===λXx()0;()0xa,()0xb--------------------------------------------------------------------8---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程21nn++221(1)λ==(π),nX0,1,2,L;()xx=sinπnn22llnn2【答案(2)λ==(π),nX0,1,2,L;()xx=cosπ】nnllnn2π(3)λ===−(π),nX1,2,;()sinLx(xa)nnba−ba−12.2长为l的杆，一端固定；另一端受力F而伸长，求解放手杆的振动.011∞()na++πtnx()π8Fl0n122【答案∑(1)−cossin】22YSπn=0(2n+1)ll12.3长为l的的弦，两端固定，弦中张力为T.在距一端为x的一点以力F把弦拉开，然00后突然撤除此力，求弦的振动.【答案初始位移＝FlxxlT()−0(1)∂∂tx⎪⎪⎨utult(0,)==>x(,)0t0(2)⎪ux(,0)=ϕ(),x(3)⎪⎪⎩uxt(,0)=∈ψ(),xx(0,)(4)l--------------------------------------------------------------------9---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程解：用分离变量法解，令uxtTtXx(,)=()()(5)并将(5)代入（１），(2)，得固有值问题⎧Xx""()+=λXx()0(6)⎨⎩XX(0)=="()l0(7)2及TtaTt&&()+λ()(8)21n+2解（6）—（7）得λπ()xn==(),0,1,2,Ln2l21n+Xx()==sinπxn,0,1,2,Ln2l将λ代入（8）解得n21nn+21+TC=+cosππatDsinatn,(=0,1,2,L)nnn22ll∴uxtTtXx(,)==()()(n0,1,2,L)nnn叠加得∞⎛⎞21nn++2121n+uxt(,)=+∑⎜⎟CnncosππatDsinatsinπx(9)n=0⎝⎠22ll2l令(9)满足(3),(4)得∞21n+ux(,0)==ϕπ()x∑Cnsinx(10)n=02l∞21nn++21uxtn(,0)==ψπ()x∑Dasinπx(11)n=022ll21n+由Fourier展式的唯一性知,C与Daπ分别为ϕ()x与ψ()x关于nn2l∞⎧⎫21n+⎨⎬sinπx的展开式系数.⎩⎭2ln=0l22n+1∴Cxx=ϕπ()sind(12)xn∫ll20--------------------------------------------------------------------10---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程l22ln2+1Dx=⋅ψπ()sinxdxn∫(2na+1)πl2l0l42n+1==∫ψπ()sinxxd(xn0,1,2,L)(13)(2na+1)π2l0所以，带有系数（１２）～（１３）的（９）即为定解问题（１）～（４）的形式解。12.8解定解问题22⎧∂∂∂uuu11⎪++=0,0l,t022∂∂tx⎪⎪⎨ut(0,)=0⎪ult(,)=≥sinωtt0⎪⎪⎩ux(,0)=≤00xl≤tx解：令uxtvxtwxt(,)(,)=+(,)，其中wt=sinω.则vxt(,)满足定解问题l--------------------------------------------------------------------18---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程222⎧∂∂vv2ωx⎪=atx+sinω0<<>l,t022∂∂txl⎪⎪vtvlt(0,)==(,)0t≥0⎨⎪vx(,0)=0⎪ω⎪vx(,0)=−x0≤≤xlt⎩l由7-9题知,vxt(,)=vxtvxt(,)+(,).其中vxtvxt(,)与(,)分别满足定解问题121222⎧∂∂vv112222⎪22=a⎧∂∂vv222ωx∂∂tx⎪22=at+sinω⎪∂∂txl⎪vtvl(0,)==(,)t0⎪⎪11⎨与⎨vtvl22(0,)==(,)t0⎪vx(,0)=01⎪vx(,0)==vx(,0)0⎪⎪22tω⎪vx(,0)=−x⎪⎩1t⎩l解之得∞n2ωππlnnvxt1(,)=−∑(1)2sinat⋅sinxn=1an()πll∞⎧⎫−n+12ωπlnsint+sinωωωωnntsintsintvxt2(,)=−∑(1)2⎨⎬−sinxn=1an()πω⎩⎭+ωnnω−ωlanπ其中ω==(n1,2,L)nl所以，原问题的解xuxtvxtvxt(,)=++(,)(,)sinωt12l12.14解定解问题2⎧∂∂uu2⎪=+02∂∂tx⎪⎪uA=⎨x=0⎪uB=≥t0,,AB为常数⎪xl=⎪ux=≤ϕ()0x≤l⎩t=0解：注意泛定方程非齐次项与t无关。故可设uxtvxtwx(,)(,)=+()，且取wx()满足--------------------------------------------------------------------19---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程⎧wA(0)=(1)⎨⎩wl()=B(2)BA−可取wx()=−Ax(3)l于是vxt(,)满足齐次边界问题2⎧va=+vxtxx⎪⎨vtvlt(0,)==(,)0⎪vx(,0)=−=ϕϕ()xwx()()x⎩1令l2nπfxx=sind(4)xn∫ll0l2nπϕϕ=−[()xwx()]sinxxd(n=1,2,L)(5)n∫ll0则由固有函数法可得222222∞⎛⎞−−anππtttan()−τnπ22vxt(,)=+∑⎜⎟ϕτellfe∫dsinx(6)1nn⎜⎟ln=1⎝⎠0其中ϕ,f由（4），（5）给出。1nn12.15解定解问题2⎧∂∂uu2αx⎪=+abe002∂∂tx⎪⎪⎨uu==0t≥0xx==0l⎪⎪uxt=0=≤ϕ()0x≤l⎪⎩解：注意泛定方程非齐次项与t无关。故可设uxtvxtwx(,)(,)=+()。令wx()满足条件2−αx⎧awxbe""()+=0(4)⎨⎩ww(0)=()l(5)解得--------------------------------------------------------------------20---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程⎧b−αxwx()=−+eAxB+⎪22aα⎪⎨w(0)=0⎪wl()0=⎪⎩bb−αx得AeB=−(1−),=2222laαaαbb−−ααxlb可取wx()=−e−(e−1)x+222222alαaααa则vxt(,)满足2⎧∂∂vv2⎪=a2∂∂tx⎪⎪⎨vv==0xx==0l⎪vx=−=ϕϕ()()wxx()⎪t=01⎪⎩解得222∞−anπ2tnπvxt(,)=∑Celsinx(7)nn=1l其中l2nπCx=−[()ϕw()]sinxxd(8)xn∫ll0原定解问题（1）~（3）的解为222∞−anπ2tnπuxt(,)=+∑Celsinxwx()(9)nn=1l其中wxt(,)由（6）给出，C由（8）给出。n12.16.解定解问题--------------------------------------------------------------------21---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程2⎧ua=0ttxx⎪⎪utult(0,)==(,)0t≥0x⎨⎪ux(,0)0=⎪ux(,0)=≤v0xl≤⎩t0∞21nn++218lv0（答：uxt(,)==∑BnnsinatππsinxB,22）n=122llaπ(2n+1)12.17长为l的理想传输线，远端开路.先把传输线充电到电位差v，然后把近端短路。求0解线上电压v(,)xt.dvv|==0,|−(RLj+)|0,|==vv,xx==00lx==lt0dt[答案定解条件1v||=−j=0tt==00xtC4v∞1(2na++1)πtnx(21)π0解v(,)xt=n∑cossin】πn=021nll+2212.18在矩形区域0,0ttxxt⎪⎪⎨u=0,u=0,t≥0x=0xx=l⎪G⎪u=u,u=−u,0≤x≤l⎪⎩t=00tt=0C021LG+RCRG其中a=,b=,c=,R,L分别是每一回路单位长度的串联电阻与电感，LCLCLCC,G分别为单位长度的分路电容和电导（线间漏电）．【解】由于这个问题也是线性齐次方程和齐次边界条件，所以也可用分离变量法，设u()()()x,t=XxTt，代入方程和边界条件可得""()"()()(2)Tt+bTt+cTt+aλTt=0（12.2.42）""⎧⎪X()x+λX()x=0⎨（12.2.43）()"()⎪⎩X0=Xl=0经讨论，本征值问题（12.2.43）的本征值与特征函数为2⎧⎛2n+1⎞⎪λn=⎜⎟,⎪⎝2l⎠⎨n=0,1,2,L⎪()2n+1Xx=sinπx⎪n⎩2l把λ的值代入方程（12.2.42），解得nb−tT()t=e2()Ccosωt+Dsinωtnnnnn222⎛2n+1⎞⎛b⎞2其中ωn=c+⎜πa⎟−⎜⎟，并已假定ωn>0．⎝2l⎠⎝2⎠这样我们得到解的形式为+∞b−t2n+1u()x,t=∑e2()Ccosωt+Dsinωtsinπx（12.2.44）nnnnn=02l代入初值条件，有+∞2n+1∑Cnsinπx=u0n=0l+∞⎛b⎞2n+1G∑⎜−Cn+ωnDn⎟sinπx=−u0n=0⎝2⎠2lC由Fourier级数理论，得2l2n+14u0C=usinπxdx=（12.2.45）n∫0l02l()2n+1πb2l⎛G⎞2n+14Gu0−Cn+ωnDn=∫⎜−⎟u0sinπxdx=−2l0⎝C⎠2lC()2n+1π--------------------------------------------------------------------23---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程2u0⎛RG⎞解得Dn=⎜−⎟（12.2.46）()2n+1πωn⎝LC⎠把（12.2.45），（12.2.46）式代入（12.2.44）式，得解为b+∞2u−t1⎡CR−LG⎤2n+1u()x,t=0e2∑2cosωt+sinωtsinπx⎢nn⎥πn=02n+1⎣LCωn⎦2lb−t由于解的表达式中有衰减项e2，所以即使导线的电阻和线间漏电都很小，传输线上的电压仍将随时间的推移而指数地衰减到零．nπa12.22设弦的一端（x=0）固定，另一端（x=L）以sinωt(ω≠,n=1,2,L)作周期L振动，且初值为零．试研究弦的自由振动．解：依题意，得定解问题22⎧∂u2∂u⎪2=a2,()00(19)∂t∂x⎪⎪⎛nπa⎞⎨u(0,t)=0,u(L,t)=sinωt,⎜ω≠⎟(20)⎝L⎠⎪⎪⎪u(x,0)=0,u(x,0)=0⎩t由于边界条件是非齐次的，首先应把边界条件齐次化．令W=Ax+B，由边界条件（20）sinωt式，得：0=W(0,t)=B,sinωt=W(L,t)=AL,，所以A=,B=0，从而LxW(x,t)=sinωt．Lx再令u(x,t)=V(x,t)+sinωt，则得：L2⎧2ωxV=aV+sinωt⎪ttxxL⎪⎨V(t,0)=0,V(t,L)=0⎪ωx⎪V(0,x)=0,V(0,x)=−t⎩L虽然我们已经知道这个定解问题的解法，但毕竟比较复杂．由于原定解问题中的非齐次边界条件比较特殊，如果我们一开始选取W(x,t)时，就使这个函数既满足泛定方程（19），又满足边界条件（20），这样，令u=V+W后，得到的关于V(x,t)的泛定方程也是齐次的，而且显然比按照上述一般方法得到的非齐次方程的求解要简单．为此，令W(x,t)=X(x)sinωt，由边界条件（20）式，可知X(0)=0,X(L)=1．把2ωW(x,t)代入泛定方程（19），且消去sinω.t，得：X′′+X=02a--------------------------------------------------------------------24---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程ωxωx所以X(x)=Ccos+Csin12aa1由X(0)=0，得C=0；再由X(L)=1，得：C=12ωLsinaωxsin1ωxa于是X(x)=sin，从而W(x,t)=sinωtωLaωLsinsinaa再令u=W(x,t)+V(x,t)，代入原定解问题，就得到关于V的定解问题：22⎧∂V2∂V⎪2=a2∂t∂x⎪⎪⎪V(t,0)=V(t,L)=0⎨⎪ωxsin⎪a⎪V(0,x)=0,Vt(0,x)=−ωωL⎪sin⎩a即得：∞n+1(−1)nπatnπxV(t,x)=2ωaL∑sinsin22n=1(ωL)−(nπa)LL最后，把V(x,t)和W(x,t)加起来，就得到原定解问题的12.23求下例定解问题22⎧∂u2∂u⎪2=a2+A,(00)(10)∂t∂x⎪⎪⎨ux=0=0,ux=L=B(11)⎪∂u⎪u==0(12)t=0t=0⎪⎩∂t的形式解，其中A,B均为常数．【解】：这个定解问题的特点是：方程及边界条件都是非齐次的．根据上述原则，首先应将边界条件化成齐次的．由于方程（10）的自由项及边界条件都与t无关，所以我们有可能通过一次代换将方程与边界条件都变成齐次的．具体做法如下：令u(x,t)=V(x,t)+W(x)，代入方程（10），得：22∂V2⎡∂V⎤2=a⎢2+W′′(x)⎥+A∂t⎣∂x⎦为了使这个方程及边界条件同时化成齐次的，选W(x)满足2⎧⎪aW′′(x)+A=0⎨（13）⎪⎩Wx=0=0,Wx=L=B--------------------------------------------------------------------25---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程（13）式是一个二阶常系数线性非齐次方程的边值问题，它的解可以通过两次积分求得A2⎛ALB⎞W(x)=−x+⎜+⎟x222a⎝2aL⎠求出函数W(x)之后，再由（12）式可知函数V(x,t)为下列定解问题22⎧∂V2∂V⎪2=a2,(00)(14)∂t∂x⎪⎪⎨Vx=0=Vx=L=0(15)⎪∂V⎪V=−W(x),=0(16)t=0t=0⎪⎩∂t的解．采用分离变量法，可得（14）式满足齐次边界条件（15）式的解为：∞⎛nπanπa⎞nπV(x,t)=∑⎜Cncost+Dnsint⎟sinx（17）n=1⎝LL⎠L利用（16）式中第二个条件可得：D=0．n于是定解问题式（14）、（15）、（16）的解可表示为：∞nπanπV(x,t)=∑Cncostsinxn=1LL代入（16）式中第一个条件得：∞nπ−W(x)=∑Cnsinxn=1L∞A2⎛ALB⎞nπ即2x−⎜2+⎟x=∑Cnsinx2a⎝2aL⎠n=1L由傅氏级数的系数公式可得：2.L⎡A2⎛ALB⎞⎤nπCn=∫.0⎢2x−⎜2+⎟x⎥sinxdxL⎣2a⎝2aL⎠⎦LA.LL2nπ⎛A2B⎞.nπ=xsinxdx−⎜+⎟xsinxdxa2L∫∫.0L⎝a2L2⎠.0L222AL2⎛AL⎞=−+⎜+B⎟cosnπ233⎜222⎟anπnπ⎝anπ⎠(18)因此，原定解问题的解为：∞A2⎛ALB⎞nπanπu(x,t)=−2x+⎜2+⎟x+∑Cncostsinx2a⎝2aL⎠n=1LL其中C由（18）式确定．n12.24一个半径为ρ的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为已知，求达到稳恒状0--------------------------------------------------------------------26---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程态时圆盘内的温度分布．在第一章讲过，热传导问题达到稳恒状态时温度分布与时间无关，应满足拉普拉斯方2程∇u=0．因为边界形状是个圆周，它在极坐标下的方程为ρ=ρ，所以在极坐标系下0边界条件可表为u=f(θ)，既然边界条件用极坐标系形式表示出来很简单，所以我们ρ=ρ0就在极坐标系下求解这个定解问题．为此，先将它表示成2(1)⎧21∂∂u1∂u⎪∇u=(ρ)+22=0,(ρ<ρ0)⎨ρ∂ρ∂ρρ∂θ⎪u(ρ,θ)=f(θ)(2)⎩0此外，因为自变量ρ,θ的取值范围分别是[0,ρ]与[0,2π]，而圆盘内部的温度值绝不可能0是无限的，特别是圆盘中心点的温度值应该是有限的，并且(ρ,θ)与(ρ,θ+2π)实际上表示同一点，温度应该相同，即应该有u(0,θ)<+∞(3)u(ρ,θ)=u(ρ,θ+2π)(4)现在来求满足方程（1）及（2）、（3）、（4）的解．先令u(ρ,θ)=R(ρ)Φ(θ)，代入方程（1）得：211ρR′′+ρR′Φ′′R′′Φ+R′Φ+RΦ′′=0，即=−2ρρRΦ令比值为常数λ，即得两个常微分方程Φ′′+λΦ=02ρR′′+ρR′−λR=0再由条件（3）及（4）可得R(0)<+∞Φ(θ+2π)=φ(θ)（5）这样一来，我们得到了两个常微分方程的定解问题：⎧Φ′′+λΦ=0⎨（6）⎩Φ()(θ+2π=Φθ)2⎧⎪ρR′′+ρR′−λR=0与⎨（7）⎪⎩R(0)<+∞先解哪一个呢？要看哪一个可以定出本征值．由于条件（5）满足可加性（即所有满足（5）的函数叠加起来仍旧满足（5）），所以只能先解问题（6）．采用与§2.1中同样的方法可以得到：当时λ＜0，问题（6）无非零解；当λ=0时，它的解为：Φ(θ)=a′（常数）；002当λ﹥0时，取λ=β，这时（6）的解为：Φ(θ)=a′cosβθ+b′sinβθβββ且为使Φ(θ)以2π为周期，β必须是整数n，取n=1,2,3,L（只取正整数的理由与§2.1相同），则可将上面得到的解表示成：Φ(θ)=a′cosnθ+b′sinnθnnn--------------------------------------------------------------------27---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程22至此，我们已经定出了本征值问题（6）的本征值β=n，本征函数Φ(θ)．然后是解问nn题（7）．其中的方程是欧拉（Euler）方程，它的通解为：R=c+dlnρ，当λ=0；（n=0）000n−n2R=cρ+dρ，当λ=n（n=1，2，3，⋯）nnnn为了保证R(0)<+∞|，只有d=0（n=0，1，2，⋯），即R=cρ(n=0,1,2,L)．nnn因此利用叠加原理，方程（1）满足条件（3）、（4）的解可以表示为级数∞a0nu(ρ,θ)=+∑ρ()ancosnθ+bnsinnθ（8）2n=1a0此式中的就是a′c；a,b分别是a′c与b′c．最后为了确定系数ab，我们利用00nnnnnnnn2边界条件（2）得：∞a0∑n()f(θ)=+ρccosnθ+bsinnθ（9）0nn2n=1nn因此，a,ρa,ρb就是f()θ展开为傅氏级数时的系数，即有00n0n⎧1.2π⎪a0=∫f(θ)dθ⎪π.0⎪1.2π⎨an=n∫f(θ)cosnθdθ（10）ρπ.0⎪0⎪1.2π⎪b=f()θsinnθdθnρnπ∫.0⎩0将这些系数代入（8）式即得所求的解．为了以后应用方便，还可以将解（8）写成另一种形式．为此，将（10）式所确定的系数代入（8）式经过简化后n1.2π⎡1∞⎛ρ⎞⎤u()ρ,θ=∫.0f(t)⎢+∑⎜⎜⎟⎟cos()θ−t⎥dt（11）π⎢⎣2n=1⎝ρ0⎠⎥⎦∞21n11−k*)利用下面已知的恒等式+∑kcosn()θ−t=()2，()k<1可将2n=121−2kcosθ−t+k（11）中的解u()ρ,θ表达为:221.2πρ−ρ()0uρ,θ=f(t)dt(12)2π∫.0ρ2+ρ2−2ρρcos()θ−t00公式（12）称为圆域内的泊松公式．它的作用在于把解写成了积分形式，这样便于作理论上的研究．注：*）这个恒等式的证明：∞∞1∑∑n()11n[in()θ−t−in()θ−t]+kcosnθ−t=+ke+e2nn=112=2--------------------------------------------------------------------28---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程∞∞11∑[]i()θ−tn1∑[−i()θ−t]n=+ke+ke22n=12n=1i()θ−t−i(θ−t)11ke1ke=++（因|k|<1）i()θ−t−i()θ−t221−ke21−ke1kcos(θ−t)+iksin(θ−t)=[1++21−kcos(θ−t)−iksin(θ−t)kcos(θ−t)−iksin(θ−t)+]1−kcos(θ−t)+iksin(θ−t)21⎡2kcos(θ−t)−2k⎤=⎢1+2⎥2⎣1−2kcos(θ−t)+k⎦211−k=221−2kcos(θ−t)+k计算机仿真编程实践12.25试计算机仿真求解例12.9.1，并用计算机仿真方法将结果以图形表示出来.【解】计算机仿真程序%下面给出计算机仿真编程实践中的12.25其余习题类似进行分析和仿真g="squareg";%定义单位方形区域b="squareb3";%左右零边界条件，顶底零导数边界条件c=1;a=0;f=0;d=1;l=10;A=2;[p,e,t]=initmesh("squareg");x=p(1,:)";%注意坐标向量都是列向量y=p(2,:)";u0=A*sin(5*pi/l*x);ut0=0;n=31;tlist=linspace(0,5,n);%在0～5之间产生n个均匀的时间点u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);delta=-1:0.1:1;[uxy,tn,a2,a3]=tri2grid(p,t,u1(:,1),delta,delta);gp=[tn;a2;a3];newplot;%建立新的坐标系newplot;M=moviein(n);umax=max(max(u1));umin=min(min(u1));--------------------------------------------------------------------29---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程fori=1:n,...%注意"⋯"符号不可省略ifrem(i,10)==0,...％当n是10的整数倍时，在命令窗口打印出相应的数字fprintf("%d",i);...end,...pdeplot(p,e,t,"xydata",u1(:,i),"zdata",u1(:,i),"zstyle","continuous","mesh","on","xygrid","on","gridparam",gp,"colorbar","off");...axis([-1,1,-1,1uminumax]);caxis([uminumax]);...M(:,i)=getframe;...ifi==n,...fprintf("donen");...end,...endnfps=2;movie(M,10,nfps);12.26试计算机仿真求解习题12.6，并用计算机仿真方法将结果以图形表示出来.【解】计算机仿真程序--------------------------------------------------------------------30---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程g="squareg";%定义单位方形区域b="squareb3";%左右零边界条件，顶底零导数边界条件c=1;a=0;f=0;d=1;l=10;h=2;[p,e,t]=initmesh("squareg");x=p(1,:)";%注意坐标向量都是列向量y=p(2,:)";u0=4.*h./l^2.*x.*(l-x);ut0=0;n=31;tlist=linspace(0,5,n);%在0～5之间产生n个均匀的时间点u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);delta=-1:0.1:1;[uxy,tn,a2,a3]=tri2grid(p,t,u1(:,1),delta,delta);gp=[tn;a2;a3];newplot;%建立新的坐标系newplot;M=moviein(n);umax=max(max(u1));umin=min(min(u1));fori=1:n,...%注意"⋯"符号不可省略ifrem(i,10)==0,...％当n是10的整数倍时，在命令窗口打印出相应的数字fprintf("%d",i);...end,...pdeplot(p,e,t,"xydata",u1(:,i),"zdata",u1(:,i),"zstyle","continuous","mesh","on","xygrid","on","gridparam",gp,"colorbar","off");...axis([-1,1,-1,1uminumax]);caxis([uminumax]);...M(:,i)=getframe;...ifi==n,...fprintf("donen");...end,...endnfps=2;movie(M,10,nfps);％读者也可以直接利用本题的答案，编出仿真图形结果∞32hn(2+1)πat(2n+1)πx【答案uxt(,)=∑cossin】33n=0(2nl+1)πl12.27试计算机仿真求解习题12.17，并用计算机仿真方法将结果以图形表示出来.--------------------------------------------------------------------31---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程【解】计算机仿真程序g="squareg";%定义单位方形区域b="squareb3";%左右零边界条件，顶底零导数边界条件c=1;a=0;f=0;d=1;l=10;v0=12;[p,e,t]=initmesh("squareg");x=p(1,:)";%注意坐标向量都是列向量y=p(2,:)";u0=v0;ut0=0;n=31;tlist=linspace(0,5,n);%在0～5之间产生n个均匀的时间点u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);delta=-1:0.1:1;[uxy,tn,a2,a3]=tri2grid(p,t,u1(:,1),delta,delta);gp=[tn;a2;a3];newplot;%建立新的坐标系newplot;M=moviein(n);umax=max(max(u1));umin=min(min(u1));fori=1:n,...%注意"⋯"符号不可省略ifrem(i,10)==0,...％当n是10的整数倍时，在命令窗口打印出相应的数字fprintf("%d",i);...end,...pdeplot(p,e,t,"xydata",u1(:,i),"zdata",u1(:,i),"zstyle","continuous","mesh","on","xygrid","on","gridparam",gp,"colorbar","off");...axis([-1,1,-1,1uminumax]);caxis([uminumax]);...M(:,i)=getframe;...ifi==n,...fprintf("donen");...end,...endnfps=2;movie(M,10,nfps);--------------------------------------------------------------------32---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程12.28试计算机仿真求解习题12.18，并用计算机仿真方法将结果以图形表示出来.【解】计算机仿真程序a=1.4;b=2;A=1.8;B=0.6;[X,Y]=meshgrid(0:0.1:10);v0=0;forn=0:500;v=sinh((2.*n+1).*pi.*(a-X)./b).*1./((2.*n+1)^3.*sinh((2.*n+1).*pi.*a./b)).*sin((2.*n+1).*pi.*Y./b);v0=v0+v;end;u=B.*sinh(pi.*(b-Y)./a)./sinh(pi.*b./a).*sin(pi.*X/a)+8.*A.*b^2./pi^3.*v0;meshz(X,Y,u);title("u的分布");xlabel("x");ylabel("y");--------------------------------------------------------------------33---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程zlabel("u")______________________________________________________________________________第13章幂级数解法――本征值问题习题及解答__________________________________________________________13.1将下列二阶线性常微分方程化成施－刘型方程的形式（1）超几何级数微分方程（高斯方程）xx(1−+++−+=)[y′′(1αβγα)]xy′βy0（2）汇合超几何级数微分方程xy′′+−−=()γxy′αy0ddγ11++−αβγyγ−αβγ+−(1)[(1xx−)]+−=αβxx(1)y0dxdx【答案】ddγγ−−xxy1−(2)[xe]−=αxey0dxdx--------------------------------------------------------------------34---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程13.2求解下列本征值问题，并证明各题中不同的本征函数相互正交，并求出模的平方.⎧⎧Xx′′()+=λλXx()0Xx′′()+=Xx()0(1)⎨⎨;(2)⎩⎩Xa()0()==XbXa()0=,()XlhXl+′()0=nπ2【答案（1）本征函数Xx()=−sin(xan),(=1,2,L);模Nba=−()/2nnba-xxn（21）本征函数X()xnx==sin,(1,2,L);为方程xc−ηtgx=0的根，η=lh/.模nnl2l1Nx=+[1sin2]】nn22xn计算机仿真实践13.3利用计算机仿真验证习题13.2的本征函数的正交性，并求出其模.【解】计算机仿真程序%主要讨论和验证（1），对于（2）方法是类似的%验证正交性质symsnkxa=0;b=12;forn=1:100fork=1:100ifn~=ky=sin(n*pi/(b-a)*(x-a))*sin(k*pi/(b-a)*(x-a));w=int(y,x,-12,12)end;end;end;%求模symsnkxa=0;b=12;forn=1:100y=sin(n.*pi.*(x-a)./(b-a));m0=sqrt(int(y.^2,x,-12,12))end;――――――――――――――――――――――――――――――――――――――第14章格林函数法习题及解答————————————————————————14.1在圆ρ=R内求解拉普拉斯方程的第一边值问题--------------------------------------------------------------------35---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程∆=+=uuu0(ρ0内求解拉普拉斯方程的第一边值问题∆=+=uuu0,(y>0),|u=fx()20xxyyy=y+∞fx()0【答案uxy(,)=dx】∫220π−∞()xx−+y014.3在圆形域ρ≤a上，分别求解方程∆=u0使满足边界条件uA|c=osϕ.2ρ=aA【答案u(,)ρϕρϕ=cos】a14.4在圆形域ρ≤a上，分别求解方程∆=u0使满足边界条件2uA|s=+Binϕρ=aB【答案uA(,)ρϕρ=+sinϕ】a计算机仿真编程实践14.5在圆ρ=a内，利用计算机仿真的方法求解拉普拉斯方程的第一边值问题∆=+=uuu0,(ρ0内，利用计算机仿真的方法求解拉普拉斯方程的第一边值问题∆=+=uuu0,(y>0),|u=10.20xxyyy=用图形把结果表示出来.y+∞10【答案uxy(,)=dx】∫220π−∞()xx−+y0【解】计算机仿真程序clf,x=-4:0.5:4;y=x;symsx0;Z=int(10*y./(pi*((x-x0).^2+y.^2)),x0,-inf,+inf)第15章综合习题--------------------------------------------------------------------36---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程用傅氏变换法求解下列15.1;15.2;15.3题；用拉氏变换法求解下列15.4;15.5;15.6题15.1二维波动，初始速度为零，初始位移在圆ρ=1以内为1，在圆外为零，试求u|.ρ=0⎧1,(ta<1/)⎪【答案u|=⎨at】ρ=01−>,(ta1/)⎪22⎩at−115．2半无界杆，杆端x=0有谐变热流Bsinωt进入，求长时间以后的杆上温度分布uxt(,).aB−xaω/(22)ωπ[答案etsin(ω−−x)]2kω24a−λx15.3研究半无限长细杆导热问题.杆端x=0温度保持为零.初始温度分布为Be(1−)22Bat22λλ−x22atxλλ−+λxatxx【答案e[()()eerfc−−eerfc]()Berf222atat2at215.4求解一维无界空间中的扩散问题即uau−==0,|uϕ()xtxxt=02()x−ξ+∞1−2【答案uxt(,)=∫ϕ()[ξξe4at]d】−∞2atπ215.5求解一维无界空间的有源输运问题uaufxtu−==(,),|0txxt=02()x−ξ+∞t1−24()at−τ【答案uxt(,)=∫∫d[ξef(,)]dξττ】−∞τ2()at−τπ215.6求解无界弦的受迫振动ua−=ufx(,),|tu=ϕψ(),xu|=()xttxxt==00tt11xat++1txat()−τ【答案[(ϕxat++−+)(ϕψxat)]∫∫()dξξ+dτ∫f(,)dξτξ】22aaxat−−20(xat−τ)计算机仿真编程实践15.7利用计算机仿真方法(Matlab中的傅里叶变换法)对习题15.1进行求解.【解】计算机仿真图形显示%Assumea=2%仿真求解由读者思考，下面仅仅给出仿真显示a=12.0t=0.1:0.01:2ift>1.0/au=1-a*t./sqrt((a*t).^2-1);endplot(t,u)图形：--------------------------------------------------------------------37---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程15.8利用计算机仿真(Matlab等)：拉普拉氏变换法对习题15.6进行求解.【解】计算机仿真程序%任意假设f(x,t)=A=2.56;fai(x)=x;pusi(x)=B=6.7%仿真求解由读者思考，下面仅仅给出仿真显示%可以推出此情况下的解为u(x,t)=x+B*t+A/2*t^2，仿真显示为A=2.56;B=6.7;[x,t]=meshgrid([0:0.1:12]);u=x+B*t+A/2*t.^2;mesh(u)--------------------------------------------------------------------38---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程第16章综合习题16.1求解一半径维a的无限长导体圆柱壳内的电场分布。设柱面上的电势为⎧u,(0<ϕ<π)1u=⎨.⎩ux,(π<<2)π2uuuu1212+−−12ay【答案u(,)ρϕ=+tan】2222πaxy−−16.2试求垂直于z平面，并与z平面交于圆||1z=及|1z−|5=/2的两个圆柱之间的静电场。设两柱面之间的电势差为1.z+114【答案u=ln||】ln2z+4计算机仿真实践16.3计算机仿真方法求解例16.2.1【解】计算机仿真程序u0=50;a=100.0;[X,Y]=meshgrid([-2.5:0.1:2.5]);u=u0/pi*atan(2*a*Y./(X.^2+Y.^2-a^2));mesh(u)--------------------------------------------------------------------39---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程16.4计算机仿真方法求解例16.2.3【解】计算机仿真程序v1=5;v2=13;a=56.0;[X,Y]=meshgrid([0:0.1:5]);u=(v1+v2)/2+(v1-v2)/pi*atan(2*a*X.*sin(X)./(X.^2-Y.^2));mesh(u)16.5计算机仿真求方法解习题16.1【解】计算机仿真程序v1=8;v2=6;a=26.0;--------------------------------------------------------------------40---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程[X,Y]=meshgrid([0:0.1:12]);u=(v1+v2)/2+(v1-v2)/pi*atan(2*a*Y./(a^2-X.^2-Y.^2));mesh(u)16.6计算机仿真方法求解习题16.2【解】参考计算机仿真程序[X,Y]=meshgrid([1:0.2:3]);u=1.0/(2.0*log(2))*log(((X+1/4.0).^2+Y.^2)/((X+4.0).^2+Y.^2));mesh(u);第17章综合习题17.1在什么样的曲线上，以下泛函取得极值2⎪⎧J[()]yx=−(y′22)dxyx⎨∫1⎪⎩yy(1)==0,(2)−1x2【答案yx()=−(1x)】617.2求下列泛函满足边界条件的极值曲线3⎧J[()]yx=−∫(3xyyx)d⎪1⎨9⎪yy(1)==1,(3)⎩2【答案解出：yx=3/2，但不满足边界条件，故所求变分问题无解】17.3求下列泛函的极值曲线：--------------------------------------------------------------------41---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程2π22(1)[()]Jyx=−∫(y′yxy)d;(0)=1,(2yπ)=1;0222(2)[()]Jyx=++∫(y′′2yyyxy)d;(1)1,(2)=0;=y0123(3)[()]Jyx==∫xyxy′d;(0)1,(1)=4.y0sinh(2−x)3322【答案：（1）cosxCx+=sin;(2);(3)y(x+1),yy==(3x−1)】sinh117.4求连接一平面上两定点间的曲线段中最短的曲线.【答案ycxc=+即为直线】12计算机仿真实践17.5计算机仿真求解例17.2.1，并把结果用图形表示出来．【解】计算机仿真程序%取值c1,c2如下，严格的值应该根据初始条件得出c1=1.2;c2=15.78;t=0:2*pi/99:pi;x=c1/2.0*(t-sin(t))+c2;y=c1/2.0*(1-cos(t))plot(x,-y)17.6计算机仿真求解例17.2.2，并把结果用图形表示出来．【解】计算机仿真程序%由例题17.2.2容易得到极值函数为forn=1:5x=0:0.1:10yn=sqrt(2)*sin(n.*pi*x)plot(x,yn)end--------------------------------------------------------------------42---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程%由例题17.2.2容易得到所求泛函的极值为(n*pi)^217.7计算机仿真求解例17.3.1，并把结果用图形表示出来．【解】计算机仿真程序x=0:0.1:10y=x.*(1-x.^2)/6plot(x,y)17.8计算机仿真求解习题17.1，并把结果用图形表示出来．【解】计算机仿真程序和图形--------------------------------------------------------------------43---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程x=0:0.1:10y=x.*(1-x.^2)/6plot(x,y)17.9计算机仿真求解习题17.3，并把结果用图形表示出来．【解】计算机仿真程序%ex19.9（1）c=23.98;x=0:0.1:10y=cos(x)+c*sin(x);subplot(2,2,1),plot(x,y)%ex19.9（2）x=0:0.1:10y=sinh(2-x)/sinh(1)subplot(2,2,2),plot(x,y)%ex19.9（3）x=0:0.1:10y=(x+1).^(2/3)subplot(2,2,3),plot(x,y)--------------------------------------------------------------------44---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程17.10计算机仿真验证习题17.4，并把结果用图形表示出来．【解】计算机仿真程序c1=19.78;c2=56.98;x=0:0.5:10y=c1*x+c2plot(x,y)第二篇数学物理方程综合测试题--------------------------------------------------------------------45---------------------------------------------------------------- 第二篇数学物理方程一填空（20分）2⎧uau−=−0,(∞0)ttxx1．定解问题⎨的解为uxt(,)=_________________.⎩ux(,0)==0,(,0)1uxt⎧Xx′′()+=λXx()02．确定下列本征值问题⎨⎩XX(0)=0,′()l=0的本征值λ＝，本征函数X()x＝223．已知J[()]yx=−∫[()y′2xyx]d,则δJ=_____________________.1⎧uu−=1xxyy⎪4．定解问题⎨ux(,0)=x的解为uxy(,)=_____________________.⎪ux(,0)0=⎩y二．试用行波法求解右行波的初值问题(20分)⎧ua+=−u0,(∞<,0)tx⎨⎩ux(,0)=ϕ()x三．试求定解问题(20分)⎧22π2aπua=+usin(x)sin(t),(0,t0)⎪ttxxll⎪⎨ut(0,)==≥0,(,)ult0(t0)⎪uxt(,)==≤0,(,)uxt0(0xl≤)⎪t⎩π3π四.设沿x,,yz方向边长分别为abc,,的长方形，除上顶zc=的面上电势为sin(x)sin(y)外，所以ab其它几个面的电势均为零，求盒内各处的电位分布函数uxyz(,,).(20分)五．试用傅氏变换法求解定解问题2⎧uaub=++ucutxxx⎨⎩ux|=ϕ()t=0第二篇综合测试题答案22(2k+1)π(2k+1)π一1【答案】．uxt(,)=t；2【答案】.λ==,0k,1,2,L；Xx()==sinxk,0,1,2,L。24l2l22y3【答案】δδJ=−2(∫yxyx′′+)d；4【答案】．x−0212laπ2πata2π二【答案】．uxt(,)=−ϕ(xat)；三【答案】．uxt(,)=−(sinttcos)sin2πaal2πll19sinh(+πz)ct()xb−+ξt2πxy2πab22e∞−24at四【答案】.uxyz(,,)sinsin=；五．uxt(,)=∫ϕ()ξξedab192aπt−∞sinh(+πc)22ab--------------------------------------------------------------------46----------------------------------------------------------------'