历年江苏数学高考试题及答案2004-2015.doc 97页

'2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.3.设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量，，若，则m-n的值为______.7.不等式的解集为________.8.已知，，则的值为_______.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。11.数列满足，且（），则数列的前10项和为。12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离对c恒成立，则是实数c的最大值为。13.已知函数，，则方程实根的个数为。14.设向量，则的值为。15.在中，已知97 (1)求BC的长；（2）求的值。16.如图，在直三棱柱中，已知.设的中点为D，求证：（1）(2)17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（I）求a，b的值；（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.19.已知函数。97 （1）试讨论的单调性；（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。20.设是各项为正数且公差为d的等差数列（1）证明：依次成等比数列（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，说明理由附加题21、（选择题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A、选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在中，，的外接圆圆O的弦交于点D求证：B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值。C.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.D．[选修4-5：不等式选讲]97 解不等式22.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长23.已知集合，设，令表示集合所含元素个数.（1）写出的值；（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。97 97 97 97 97 97 97 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．开始输出n结束（第3题）NY1.已知集合A={}，，则▲.2.已知复数(i为虚数单位),则的实部为▲.3.右图是一个算法流程图,则输出的的值是▲.4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5.已知函数与(0≤),它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是▲.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7.在各项均为正数的等比数列中,,则的值是▲.10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm（第6题）8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是▲.97 9.在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为▲.10.已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是▲.11.在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是▲.ABDCP（第12题）12.如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是▲.13.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是▲.14.若△的内角满足,则的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知,.(1)求的值；(2)求的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点.已知,求证:(1)直线平面；(2)平面平面.97 17.(本小题满分14分)F1F2OxyBCA(第17题)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；(2)若求椭圆离心率e的值.170m60m东北OABMC（第18题）18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数,其中e是自然对数的底数.(1)证明:是R上的偶函数；(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”.(1)若数列的前n项和(N),证明:是“H数列”;(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求的值；(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立.97 参考答案15.（1）∵α∈（，π），=∴=∴=+=（2）=12=，=2==+=+（）=16.（1）∵D,E,分别为PC,AC,的中点∴DE∥PA又∵DE平面PAC，PA平面PAC∴直线PA∥平面DEF（2）∵E,F分别为棱AC,AB的中点，且BC=8，由中位线知EF=4∵D,E,分别为PC,AC,的中点，且PA=6，由中位线知DE=3，又∵DF=5∴DF²=EF²+DE²=25，∴DE⊥EF，又∵DE∥PA，∴PA⊥EF，又∵PA⊥AC，又∵ACEF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC17.（1）∵BF2=，将点C（，）代入椭圆，97 ∴，且c²+b²=a²∴a=，b=1,∴椭圆方程为（2）直线BA方程为y=x+b,与椭圆联立得x²x=0.∴点A（，），∴点C（，），F1（）直线CF1斜率k=，又∵F1C⊥AB，∴·=∴=1，∴e=18.（1）过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AD⊥BE于点F。∵tan∠BCO=，设BC=5x，CE=3x，BE=4x，∴OE=，AF=170，，EF=AO=60，BF=4x60又∵AB⊥BC，且∠BAF+∠ABF=90°，∠CBE+∠BOC=90°，∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠BAF=90°，∴tan∠BAF===，∴x=30，BC=5x=150m∴新桥BC的长为150m。（2）以OC方向为x轴，OA为y轴建立直角坐标系。设点M（0，m），点A（0,60），B（80,120），C（170,0）直线BC方程为y=（x），即4x+3y∴半径R=，又因为古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，∴RAM80且R80，∴80，80，97 ∴35，∴R=此时圆面积最大。∴当OM=10时圆形保护区面积最大。19.（1）∵x=+=，∴是R上的偶函数（2）∵+2=21，∴，∴m（）1，∴m=，令=，=，∴x时单调减，x时单调增，∴min==，若关于x的不等式m+m1在（0，+）上恒成立，则只要mmin恒成立，∴m。∴m（]。（3）由题正数a满足:存在x0[1，+），使得（x03+3x0）成立。即+（x03+3x0）令=+（x3+3x），即min0。-=+3a，当x[1，+）时，0，min==e+-2a0，∴a+。要比较与97 的大小，两边同时取以e为底的对数。只要比较a-1与（e-1）lna的大小。令=a-1-(e-1）lna，=1-，∵a++e-1，∴a（+）时y单调减，a（）时y单调增，又∵+，当a=1时，y=0，∴当a=+时，y0，当a=e时，y=0。∴a=e-1时，y0。∴当+时，y0，此时a-1（e-1）lna，即。当a=e时y0，此时a-1（e-1）lna，即。当ae时y0，此时a-1（e-1）lna，即。20.（1）证明：∵=，∴==（n），又==2=，∴（n）。∴存在m=n+1使得（2）=1+（n-1）d，若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得。=1+（m-1）d成立。化简得m=+1+，且d0，又m，，d，且为整数。（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则n+=97 +（-1），=++1，∴=（）同理=（）取==k由题==+（-1）++（-1）=（）+（n-1）（）=（n+k-1））可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}和{}同时也是“H数列”满足条件。2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1．函数的最小正周期为．【答案】π【解析】T＝||＝||＝π．2．设（为虚数单位），则复数的模为．【答案】5【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝＝5．3．双曲线的两条渐近线的方程为．【答案】【解析】令：，得．4．集合共有个子集．97 【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是．【答案】3【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：．方差为：．7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为．【答案】【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则．【答案】1：24【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界)．若点是区域内的任意一点，则的取值范围是．【答案】[—2，]97 【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝．yxOy＝2x—1y＝—x10．设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为．【答案】【解析】所以，，，．11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。xyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)97 12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为．yxlBFOcba【答案】【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：．13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为．【答案】1或【解析】14．在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为．【答案】12【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：97 ，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知，．（1）若，求证：；（2）设，若，求的值．解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，．（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－．所以，α－β＝，α＝＋β，带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1，所以，＋β＝．所以，α＝，β＝．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面；（2）．证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，所以F为SB的中点．又E，G分别为SA，SC的中点，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面．（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．97 所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，．17．xyAlO（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．设切线为：，d＝，得：．故所求切线为：．（2）设点M(x，y)，由，知：，化简得：，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤．18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，．（1）求索道的长；97 （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，CBADMN乙步行的速度应控制在什么范围内？解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝(min)，在BC上用时：(min)．此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝(min)，在BC上用时：(min)．此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．故乙步行的速度应控制在[，]范围内．19．（本小题满分16分）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，，其中为实数．（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：．证：（1）若，则，，．当成等比数列，，即：，得：，又，故．由此：，，．97 故：（）．（2），．(※)若是等差数列，则型．观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而≠0，故．经检验，当时是等差数列．20．（本小题满分16分）设函数，，其中为实数．（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．解：（1）≤0在上恒成立，则≥，．故：≥1．，若1≤≤e，则≥0在上恒成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．故的取值范围为：＞e．（2）≥0在上恒成立，则≤ex，97 故：≤．．(ⅰ)若0＜≤，令＞0得增区间为(0，)；令＜0得减区间为(，﹢∞)．当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号．故：当＝时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，即：在上是单调增函数，当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时，f(x)有1个零点．综上所述：当＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．www.ks5u.com2012江苏高考数学试题及答案97 97 97 97 97 97 97 97 2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：（1）样本数据的方差，其中．（2）直棱柱的侧面积，其中为底面周长，为高．（3）棱柱的体积，其中为底面积，为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．Reada，bIfa>bThenm←aElsem←bEndIfPrintm1．已知集合，，则▲．2．函数的单调增区间是▲．3．设复数满足（为虚数单位），则的实部是▲．4．根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的的值为▲．5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是▲．6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差▲．7．已知，则的值为▲．8．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点，则线段长的最小值是▲．9．函数（，，是常数，，）的部分图象如图所示，则的值是▲．10．已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为▲．97 11．已知实数，函数，若，则的值为▲．12．在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是▲．13．设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是▲．14．设集合，，，，若，则实数的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在中，角的对边分别为．（1）若，求的值；（2）若，，求的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，分别是的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．17．（本小题满分14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x97 （cm）．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点．设直线的斜率为．（1）当直线平分线段，求的值；（2）当时，求点到直线的距离；（3）对任意，求证：．19．（本小题满分16分）已知是实数，函数，，和是和的导函数．若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致．（1）设，若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；（2）设且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．97 20．（本小题满分16分）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立．（1）设，，求的值；（2）设，求数列的通项公式．2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ（附加题）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与（）．圆的弦交圆于点（不在上）．求证：为定值．B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，向量．求向量，使得．C．选修4-4：坐标系与参数方程97 （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱柱中，，，点是的中点，点在上．设二面角的大小为．（1）当时，求的长；（2）当时，求的长．23．（本小题满分10分）设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，．（1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求．97 97 97 97 97 2010年江苏高考数学试题一、填空题97 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________简析：由集合中元素的互异性有a+2=3或a2+4=3，Þa=1或a2=－1(舍)Þa=12、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________简析：由题意Þz====2iÞ|z|=23、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__简析：4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。简析：观察频率分布直方图，知有0.06×5×100=30根长度小于20mm5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),(x∈R)是偶函数，则实数a=_______▲_________简析：由偶函数Þf(－x)=f(x)Þx(ex+ae-x)=－x(e-x+aex)Þx(ex+e-x)(1+a)=0a=－16、在平面直角坐标系xOy中，双曲线－=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______简析：法一——直接运用焦半径公式求。因焦半径知识课本中未作介绍，此不重点说明；法二——基本量法求解。由题意知右焦点坐标为F(4,0)，M点坐标为(3,±)ÞMF=47、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______简析：读图知这是计算S=1+21+22+…+2n的一个算法，由S=2n－1³33且n为正整数知n=5时跳出循环，此时，输出S=1+21+22+…+25=63开始S←1n←1S←S+2nS≥33n←n+1否输出S结束是8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____简析：对原函数求导得y¢=2x(x>0)，据题意，由a1=16=24依次求得a2=8，a3=4，a497 =2，a5=1，所以a1+a3+a5=211、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4四个点到直线12x－5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____简析：若使圆上有且仅有四点到直线12x－5y+c=0距离为1，则圆心到该直线之距应小于1，即<1，解得cÎ(－13,13)2、定义在区间(0,)上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____简析：由题意知线段P1P2长即为垂线PP1与y=sinx图像交点的纵坐标。由Þ6cosx=5tanxÞ6cos2x=5sinxÞ6sin2x+5sinx－6=0sinx=ÞP1P2=3、已知函数f(x)=,则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是____▲____简析：设t=1－x2，当x<－1时，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=1Þf(1－x2)=f(2x)；当x>1时，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，显然不满足f(1－x2)>f(2x)当－1£x<0时，t³0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+1³1，f(2x)=1，Þf(1－x2)>f(2x)(x¹－1)；当0£x£1时，t³0，2x³0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+1³1，f(2x)=(2x)2+1，由f(1－x2)>f(2x)Þ(1－x2)2+1>(2x)2+1Þx4－6x2+1>0Þ0£x<－1综上，xÎ(－1,－1)4、设实数x,y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是_____▲____简析：由题意知x,y均为非0的正实数。由3£xy2£8Þ££，又4££9Þ£·£3，即££3Þ4×£·£9×3Þ£275、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，+=6cosC，则+=__▲简析：据正、余弦定理，由已知等式，角化边得3c2=2a2+2b2①，边化角得=6cosC②因为+=tanC(+)=tanC·=③至此，③式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。据②式，③式==，又据①式，③式===46、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______▲_______简析：如图，△ABC是边长为1的正△，EF∥BC，四边形BCFE为梯形；设AE=x(00所以x=时S(x)有最小值S()=二、解答题15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t满足(－t·)·=0=0，求t的值简析：⑴据题意，本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点D，然后运用两点间距离公式求两对角线；又如，亦可利用向量知识，求向量与和、差的模；两对角线长为2,4⑵因为=(3,5),=(－2,－1)，所以由(－t)·=0知t=－16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900(1)求证：PC⊥BC(2)求点A到平面PBC的距离简析：⑴证：因PD⊥底面ABCD，BC在底面上，所以PD⊥BC；又因∠BCD=900，所以BC⊥DC；又PD、DC相交于D，所以BC⊥平面PDC又PC在平面PDC上，所以BC⊥PC，即PC⊥BC⑵在底面ABCD上作AE∥BC交CD延长线于E，则E在平面PDC上；97 在平面PDC上作EF⊥PC交PC于F，结合⑴推知EF⊥平面PBC，所以垂线段EF长就是点A到平面PBC的距离。在△PEC中，利用面积的等积性有EC·PD＝PC·EF所以EF==，所以点A到平面PBC之距为此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等；另外，本题也可以通过构造三棱锥，利用等积法来求点面距；如三棱锥A－PBC与三棱锥P－ABC实为同一个锥，而三棱锥P－ABC的底面积=AB·BC=1，高=PD=1；三棱锥A－PBC的底面积=PC·BC=，所以可求得三棱锥A－PBC的高为，亦即点A到平面PBC的距离为17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α－β最大解析：⑴⑵18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆+=1的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.⑴设动点P满足PF2－PB2=4,求点P的轨迹⑵设x1=2,x2=，求点T的坐标⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)97 19．（16分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{}是公差为d的等差数列.⑴求数列的通项公式（用表示）⑵设c为实数，对满足m+n=3k且m¹n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。求证：c的最大值为20.（16分）设f(x)使定义在区间(1,+¥)上的函数，其导函数为f¢(x).如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的xÎ(1,+¥)都有h(x)>0，使得f¢(x)]=h(x)(x2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a).⑴设函数f(x)=h(x)+(x>1)，其中b为实数①求证：函数f(x)具有性质P(b)②求函数f(x)的单调区间⑵已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1,x2Î(1,+¥)，x11，b>1，若|g(a)－g(b)|<|g(x1)－g(x2)|,求m的取值范围【理科附加题】21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）⑴几何证明选讲AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC97 ⑵矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值⑶参数方程与极坐标在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值⑷不等式证明选讲已知实数a,b≥0，求证：a3+b3³(a2+b2)22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立⑴记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列⑵求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数⑴求证cosA是有理数⑵对任意正整数n，求证cosnA也是有理数学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）学科网学科网学科网97 学科网一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.学科网1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为★.学科网2.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积★.学科网3.函数的单调减区间为★.学科网11Oxy4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则★.学科网学科网5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为★.学科网6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学科网学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班6767997 开始输出结束YN则以上两组数据的方差中较小的一个为★.学科网7.右图是一个算法的流程图，最后输出的★.学科网8.在平面上，若两个正三角形的连长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在宣传部，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为学科网9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为★.学科网10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为★.学科网11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中★.学科网12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：学科网（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；学科网（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；学科网（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；学科网（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.学科网上面命题中，真命题的序号★（写出所有真命题的序号）.学科网13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线97 相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为★.学科网xyA1B2A2OTM学科网学科网14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则★.学科网学科网二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.学科网15．（本小题满分14分）学科网设向量学科网（1）若与垂直，求的值；学科网（2）求的最大值;学科网（3）若，求证：∥.学科网16．（本小题满分14分）学科网ABCA1B1C1EFD如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，学科网求证：（1）∥学科网（2）学科网17．（本小题满分14分）学科网设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足学科网（1）求数列的通项公式及前项和；学科网（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项. 学科网97 18．（本小题满分16分）学科网在平面直角坐标系中，已知圆和圆学科网xyO11..学科网（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；学科网（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.学科网19.(本小题满分16分)学科网按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.学科网现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为学科网(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；学科网97 (1)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？学科网(2)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。学科网学科网20．(本小题满分16分)学科网设为实数，函数.学科网(1)1.若，求的取值范围；学科网(2)2.求的最小值；学科网(3)3.设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的97 准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式:锥体体积公式其中为底面积，为高球的表面积、体积公式，其中R为球的半径样本数据,,,的标准差其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面积，为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.的最小正周期为，其中，则=▲．2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率▲．3.表示为，则=▲．4.A=，则AZ的元素的个数▲．5.，的夹角为，，则▲．6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落入E中的概率是▲．7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）1[4，5]4.560.122[5，6]5.5100.203[6，7]6.5200.404[7，8]7.5100.2097 5[8，9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是▲。8.设直线是曲线的一条切线，则实数b＝▲．9在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E、F，某同学已正确求得OE的方程：，请你完成直线OF的方程：（▲）.10．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415．．．．．．．按照以上排列的规律，数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为▲．11.已知，满足，则的最小值是▲．12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1(0)的焦距为2c，以点O为圆心，为半径作圆M，若过点P所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为=▲．13．满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是▲．14.设函数（x∈R），若对于任意，都有≥0成立，则实数=▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B97 的横坐标分别为．（Ⅰ）求tan()的值；（Ⅱ）求的值．16．如图，在四面体ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点，求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；②设OP(km)，将表示成的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．18．设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．19.（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n=4时，求的数值；②求的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．97 20.若，，为常数，函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，（Ⅰ）求对所有实数x成立的充要条件（用表示）；（Ⅱ）设为两实数，满足，且∈,若，求证：在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）．97 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2．【答案】【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故3.【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵，∴＝0，＝1，因此4.【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得,∵Δ＜0，∴集合A为，因此AZ的元素不存在．5.【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算．=，76.【答案】【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此．7.【答案】6.428.【答案】ln2－1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．，令得97 ，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．9【答案】【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP：，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．10．【答案】【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为．11.【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得，当且仅当＝3时取“＝”．12.【答案】【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得．13．【答案】【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝，根据面积公式得=，根据余弦定理得97 ，代入上式得=由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值14.【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0即时，≥0可化为，设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；当x＜0即时，≥0可化为，在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由已知条件及三角函数的定义可知，，因为,为锐角，所以=因此（Ⅰ）tan()=97 （Ⅱ），所以∵为锐角，∴，∴=16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵E,F分别是AB,BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD．（Ⅱ）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB=CD,F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD．17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．解：（Ⅰ）①延长PO交AB于点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则,故，又OP＝10－10ta，所以，所求函数关系式为②若OP=(km)，则OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，令0得sin，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边97 km处。18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．解：（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为令＝0得这与＝0是同一个方程，故D＝2，F＝．令＝0得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．所以圆C的方程为.（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点（0，1）．同理可证圆C必过定点（－2，1）．19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。解：首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则a2=(d-d0)(a+d0)由此得d0=0（1）(i)当n=4时,由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3①若删去，则由a1,a3,a4成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)因d≠0，故由上式得a1=－4d，即=－4，此时数列为－4d,－3d,－2d,－d，满足题设。②若删去a3，则由a1,a2,a4成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)97 因d≠0，故由上式得a1=d，即=1，此时数列为d,2d,3d,4d，满足题设。综上可知，的值为－4或1。(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a1,a2,……,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,……,an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。当n=5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5成等比数列，故(a1+d)2=a1(a1+3d)及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。综上可知，n只能为4.（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+d′,……，b1+(n-1)d′(b1d′≠0)，其中三项b1+m1d′,b1+m2d′,b1+m3d′成等比数列，这里0≤m10且A¹1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω¹1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）（3）函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来。5【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.【正确解答】的展开式通项为，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令97 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.6【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.【正确解答】设，，，则由，则，化简整理得所以选B【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.7【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解。【正确解答】因为由题意得所以选A【解后反思】对集合的子、交、并、补运算，以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三个抽象集合之间的关系，可以考虑借助与文氏图。8【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。【正确解答】运用排除法，C选项，当a-b<0时不成立。【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件如果如果a,b是正数，那么9【思路点拨】本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积【正确解答】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D.【解后反思】正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。10【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.97 【正确解答】将六个接线点随机地平均分成三组，共有种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是，选D【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已11【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，解得【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理12【思路点拨】本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.【正确解答】画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18【解后反思】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题。近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法。随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视。13【思路点拨】本题考查排列组合的基本知识.【正确解答】由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.14【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值97 【正确解答】【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.15【思路点拨】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式【正确解答】，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2【解后反思】应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。16【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法【正确解答】，0〈，.解得97 【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.17本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6∴,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16.所以所求双曲线的标准方程为18.本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解：设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得97 令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当10时，函数y=m(t),的图象是开口向上的抛物线的一段，由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t,,∴g(a)=2.(3)当a<0时,函数y=m(t),的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则97 若，即则综上有(3)解法一：情形1：当时，此时，由，与a<-2矛盾。情形2：当时，此时，解得，与矛盾。情形3：当时，此时所以情形4：当时，，此时，矛盾。情形5：当时，，此时g(a)=a+2,由解得矛盾。情形6：当a>0时，，此时g(a)=a+2,由，由a>0得a=1.综上知，满足的所有实数a为或a=197 21本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。证明：必要性，设是{an}公差为d1的等差数列，则bn+1–bn=(an+1–an+3)–(an–an+2)=(an+1–an)–(an+3–an+2)=d1–d1=0所以bnbn+1(n=1,2,3,…)成立。又cn+1–cn=(an+1–an)+2(an+2–an+1)+3(an+3–an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,…)所以数列{cn}为等差数列。充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bnbn+1(n=1,2,3,…)∵cn=an+2an+1+3an+2①∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4②①-②得cn–cn+2=（an–an+2）+2(an+1–an+3)+3(an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2∵cn–cn+2=(cn–cn+1)+(cn+1–cn+2)=–2d2∴bn+2bn+1+3bn+2=–2d2③从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=–2d2④④-③得（bn+1–bn）+2(bn+2–bn+1)+3(bn+3–bn+2)=0⑤∵bn+1–bn≥0,bn+2–bn+1≥0,bn+3–bn+2≥0,∴由⑤得bn+1–bn=0(n=1,2,3,…)，由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,…)则an–an+2=d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2=cn=4an+2an+1–3d3从而cn+1=4an+1+2an+2–5d3，两式相减得cn+1–cn=2(an+1–an)–2d3因此(常数)(n=1,2,3,…)所以数列{an}公差等差数列。【解后反思】理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.2005年高考数学江苏卷试题及答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的1.设集合，，，则=（）A．B．C．D．2.函数的反函数的解析表达式为（）A．B．C．D．97 3.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=（）A．33B．72C．84D．1894.在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为（）A．B．C．D．5.中，，BC=3，则的周长为（）A．B．C．D．6.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．B．C．D．07.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．B．C．D．8.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，，则其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．49.设，则的展开式中的系数不可能是（）A．10B．40C．50D．8010.若，则=（）A．B．C．D．97 11.点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A．96B．48C．24D．0二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置13.命题“若，则”的否命题为__________14.曲线在点处的切线方程是__________15.函数的定义域为__________16.若，,则=__________17.已知为常数，若，，则=__________18.在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆.圆的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程97 20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；⑶假设某人连续2次未击中目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，，⑴求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；⑵证明：BC⊥平面SAB；⑶用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小（本小问不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知，函数⑴当时，求使成立的的集合；⑵求函数在区间上的最小值97 23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分）设数列的前项和为，已知，且，其中A.B为常数⑴求A与B的值；⑵证明：数列为等差数列；⑶证明：不等式对任何正整数都成立2005年高考数学江苏卷试题及答案参考答案(1)D(2)A(3)C(4)B(5)D(6)B(7)D(8)B(9)C(10)A(11)A(12)B（13）若，则（14）（15）（16）-1（17）2（18）-2（19）以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则（-2，0），（2，0），97 由已知，得因为两圆的半径均为1，所以设，则，即，所以所求轨迹方程为（或）（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=1-P（）=1-=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；(Ⅱ)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则，，由于甲、乙设计相互独立，故答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；（Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击为击中”为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则A3=D5D4，且P（Di）=，由于各事件相互独立，故P（A3）=P（D5）P（D4）P（）=×××（1-×）=，答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是（21）（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=600，∴△CDF为正三角形，∴CF=DF又BC=DE，∴BF=EF因此，△BFE为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，∴SB=，同理SE=，97 又∠BAE=1200，所以BE=，从而，cos∠SBE=，∴∠SBE=arccos所以异面直线CD与SB所成的角是arccos(Ⅱ)由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE=600，∴∠ABC=900，∴BC⊥BA∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE，∴SA⊥BC，又SABA=A，∴BC⊥平面SAB（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小（22）（Ⅰ）由题意，当时，由，解得或；当时，由，解得综上，所求解集为(Ⅱ)设此最小值为①当时，在区间[1，2]上，，因为，，则是区间[1，2]上的增函数，所以②当时，在区间[1，2]上，，由知③当时，在区间[1，2]上，若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，所以97 若，则当时，，则是区间[1，]上的增函数，当时，，则是区间[，2]上的减函数，因此当时，或当时，，故，当时，，故总上所述，所求函数的最小值（23）（Ⅰ）由已知，得，，由，知，即解得.(Ⅱ)由（Ⅰ）得①所以②②-①得③所以④④-③得因为所以因为97 所以所以，又所以数列为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ)可知，，要证只要证，因为，，故只要证，即只要证，因为所以命题得证2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题一、选择题(5分×12=60分)1.设集合P={1，2，3，4}，Q={}，则P∩Q等于()(A){1，2}(B){3，4}(C){1}(D){-2，-1，0，1，2}2.函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为()(A)(B)(C)(D)3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()(A)140种(B)120种(C)35种(D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是()(A)(B)(C)(D)5.若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为()(A)(B)(C)4(D)0.5人数(人)时间(小时)2010501.01.52.0156.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了5097 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为()(A)0.6小时(B)0.9小时(C)1.0小时(D)1.5小时7.的展开式中x3的系数是()(A)6(B)12(C)24(D)488.若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则()(A)a=2,b=2(B)a=,b=2(C)a=2,b=1(D)a=,b=9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是()(A)(B)(C)(D)10.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是()(A)1，-1(B)1，-17(C)3，-17(D)9，-1911.设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f-1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于()(A)3(B)(C)(D)12.设函数，区间M=[a，b](a0的解集是_____________________.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________.15.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是_______________________.16.平面向量中，已知=(4，-3)，=1，且=5，则向量=__________.三、解答题(12分×5+14分=74分)17.已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值.·B1PACDA1C1D1BOH·18.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？97 20.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立.21.已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M.若，求直线的斜率.22.已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足和(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；(Ⅱ)证明；(Ⅲ)证明.97 2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题参考答案一、选择题：ABDCABCADCBA二、填空题；13、或；14、；15、2；16、。三、解答题17、解：由题意可知，18、解（1）（2）略（3）19、解：，设当时，取最大值7万元20、解：（1）（2）或或21、解：（1）（2）或022、解：（1）不妨设，由可知，是R上的增函数不存在，使得又（2）要证：即证：不妨设，由得，即，则（1）由得即，则（2）由（1）（2）可得（3）,97 又由（2）中结论97'