四川省资阳市今科状元堂教育咨询服务有限公司九年级数学华师大版 圆的基本性质学案 10页

圆的基本性质知识梳理1.圆的定义1）在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合(2)要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小(3)不在同一直线上的三点可以确定一个圆(4)连结圆上任意两点之间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦(5)圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．因此半圆不包含直径(6)在同一个圆中大于半圆的弧叫优弧，用小于半径的弧叫劣弧，用(7)圆心相同的圆叫同心圆，半径相等的圆叫等圆2.圆的简单性质定理及推论基本图形几何语言垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧ABCDM∵CD是直径,且CD⊥AB∴,,.垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦∵CD是直径，且AM=BM∴,,BC⌒AC⌒.∵CD是直径，且=∴,,.圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.A′∵∠AOB=∠A′O′B′∴,, ·OBB′A圆周角定理及推论：定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半推论:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径ABCOD●OBACEAC⌒∵对∠B、∠D和∠E∴∠B=∠D=∠E=∵AB是直径∴∠ACB=°反之∵∠ACB=90°∴AB是典型例题垂径定理的应用例1.如图，A为⊙O内一点，OP=3，⊙O的半径为5，过点A作⊙O的弦，最长的和最短的弦分别是多长？·O·P·O·PABDC例2.如图在⊙O中，直径AB和弦CD都经过点P，∠APD=30°,AP=6cm,PB=2cm,弦CD的长度是多少？ 例3.如图，直径为8m的圆形戏水池中有一个支点P，现准备搭建两座浮桥，CD，与MN,CD=,C是的中点，你能帮设计师设计出两座浮桥的夹角∠MAC吗？·O·PNMCD例4.已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数例5.已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．例6.如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。例7.如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证：PB=PD，若角的顶点P在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。 练习1．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．2．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．3．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．4．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，．O点到AB的距离=______5．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．6．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．7．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．例1、已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于P，且∠APD＝60°，∠COB＝30°，求∠ABD的度数．例2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E．求所对圆心角的度数．例3.如图，BC为半圆O的直径，点F是弧BC上一动点（点F不与B、C重合），A是弧BF上的中点，设∠FBC＝α,∠ACB＝β.⑴当α＝50°时，求β的度数。⑵猜想α与β之间的关系，并给与证明。例4.如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，∠P＝28°，∠AQC＝92°，求∠ABC的度数． 例5.如图，△ABC内接于⊙O，AE⊥BC于D，交⊙O于E，AF为⊙O的直径．⑴求证：∠BAF＝∠CAE．(2)求证：AB·AC＝AD·AF；(3)若过O作ON⊥AB于N，则ON与CE之间有何数量关系？例6.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．⑴P是弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD＝∠COB；⑵点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．例7.如图，在⊙O中，弦AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，求⊙O的半径例8.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF． ⌒⌒（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？练习（1）已知∠AOB＝75°，则∠ACB=（2）已知∠ACB＝60°则∠AOB=（3）已知∠ACD＝30°，则∠AOB=（4）已知∠AOB＝110°则∠ACB=第1题第2题第3题第4题2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A．AB=2CDB．AB>CDC．AB