《泛函分析》课后习题答案(张恭庆).pdf 58页

'1.3.1在度量空间中求证；为了子集A是列紧的，其充分且必要条件是对

0存在A的列紧的
网．证明必要性显然,只证充分性.

0,设N是A
的列紧的2网;
N0是N的有限2网,则有
xA,N,
x,
2N,x

N0,
,x
2
x,x

x,
,x



.22N0是A的有限
网.1.3.2给定距离空间
X,,设MX是紧集,求证M上连续函数必有界,亦达到它的上,下确界.证明f
x0f
xnk,supf
xf
xxM

0,x
M,f
x

x1n,nf
xnf
x0f
xnkf
x0.注紧集条件不可少.例
0,1上考虑1xn
t,xn
ttn,f
x
x2
tdt01f
tn
t2ndt1inff
tn0,02n1n10
0,1.1.3.3在度量空间中求证：完全有界的集合是有界的,并且通过考虑2的子集1 ekk1,ek0,0,,1,0,k来说明一个集合可以是有界但不完全有界.证设M是完全有界集,那么

0,M的有限的
网.特别对
1,设nMB
xk,1Nx1,x2,,xn,则有k1.于是
xM,设a为空间X的一个固定元.我们有
x,a
x,xk
xk,a1max
xk,a,1kn即M是有界的.下面说明ekk1有界但不完全有界.首先,对
k,2
ek,1,其中0,0,,0,.由此可见ekk1有界.再注意到eiej0,0,,1,0,0,0,,1,0,ijj0,0,,1,0,,1,
ji.i12
k
k2
ei,ejeiej2
ji.k1由此可见,ekk1与其任意子列都不收敛,从而ekk1不是列紧的,根据Hausdorff定理,也就不完全有界.1.3.4设
X,是度量空间，F1，F2是它的两个紧子2 集，求证x1F1,x2F2,使得
F1,F2
x1,x2,其中def
F1,F2inf
x,y.xF1,yF2证明记d
F1,F2,
xF1,yF2.
nN,xnF1,ynF2,d
x1n,yndn设xnkx1F1,相应的ynkF2,序列yn未必收敛,kynk但因为F2紧,存在它们的子序列j收敛,设ynkx2F2,j即有jdx1.nk,ynkdnkd
x1,x2jjj1.3.5设M是Ca,b中的有界集,求证集合xMF
x
f
tdt|fMa是列紧集.xEF
x
f
tdt|fM,证:设a
fM,|f
t|M0

ta,bxb|F
x|
f
tdt
|f
t|dtM0
baaa

FE.即E一致有界.x2x2|F
x2F
x1|
f
tdt
|f
t|dtM0|x2x1|x1x1
,

0,M03 |x2x1||F
x2F
x1|


FE.即E等度连续.1.3.5设M是Ca,b中的有界集,求证集合xMF
x
f
tdt|fMa是列紧集.xEF
x
f
tdt|fM,证:设a
fM,|f
t|M0

ta,bxb|F
x|
f
tdt
|f
t|dtM0
baaa

FE.即E一致有界.x2x2|F
x2F
x1|
f
tdt
|f
t|dtM0|x2x1|x1x1
,

0,M0|x2x1||F
x2F
x1|


FE.即E等度连续.1.3.6求证sinntn1在C0,中不是列紧的.证:只要证sinntn1非等度连续.对
01,
0,取kN,使得1,nkk2k,t0,,tk4k00,1,|tk0|4kk|sinnktksinnk0|sin1
0.2由此可见,sinntn1非等度连续.1.3.7空间S中集合A的列紧性条件.A在S中是列紧的，当且仅当，对于任何n
,Cn0,使得对

1,2,,n,A,的点的第n个坐标的4 数集是有界的，即|n|Cn
n1,2,.证必要性.因为A在S中是列紧的,任意一个无穷点列
mA可以取出收敛子序列
mk.因为S中的收敛与按坐标收敛等价,所以点列
m中的每一
mn个点(固定m)的坐标序列
n1,2,也可以从其任意无穷子集中取出收敛子序列,而坐标序列构成数集，要从其任意无穷子集中取出收敛子序列显然应该要求它们有界.为了证明充分性,根据习题1.3.1,只要构造A的列紧的
网,

0,取定一个n充分大,使得hn
1,2,,n,0,0,1
2n,考虑形如n的点的集合H,其中
1,2,,n,n1,A.因为1|k|11
x,hn
.2k1|2k2nk|kn1kn1所以H是A的
网.再证H是在S中列紧的.事实上,可以将H看做是元素为
1,2,,n的n维空间中的子集,由假设|k|Ck
k1,2,n,即每个坐标都是有界的,所以H可看做是n维空间中的有界集.从而是列紧的.1.3.8设
X,是距离空间,M是X中的列紧集,若映射T:XM满足
Tx,Ty
x,y

x,yX,xy,求证T在X上存在唯一的不动点.证记dinf
x,f
x|xM,5 证明先证存在x0M,使得
x0,f
x0d.这从下确界的定义出发,
n
,xnM,使得d
x1n,f
xndn,又因为M列紧，故存在xnkx0,将上面不等式中的n改为nk,即d
xd1nk,f
xnknk,并令k.再证d0.用反证法．如果d0,则有d
f
x0,f
f
x0
x0,f
x0d，矛盾．1.3.9设
M,是一个紧距离空间,又EC
M,E中函数一致有界并满足下列:|x
t1x
t2|c
t1,t2
xE,t1,t2M,其中01,c0,求

0,证E在C
M中是列紧集.证取1
C,当
t1,t2时,注|x
t1x
t2|C
t1,t2
.所以E是等度连续的.
注C
t1,t2

t1,t2C1

t1,t2C6 21.4.1在R中，
z

a,b，令z1
|a||b|;z2
a2b2;1z3
max
|a|,|b|;z4

a4b42.2(1)求证i,i
1,2,3,4都是R上范数；(2)画出2
R,ii
1,2,3,4各空间中的单位球面图形；(3)取O

0,0,A

1,0,B

0,1，试在上述四种不同范数下求出OAB三边的长度.|AB|1
|10||01|
2.|AB|2
2.|AB|3
max
|10|,|01|
1.1|AB|4
24.1.4.2C
0,1表示
0,1上连续且有界的函数x
t全体．
x

sup|x
t|.对
xC
0,1，令0t1求证：(1)

是C
0,1空间上的范数；(2)l与C
0,1的一个子空间是等距同构的．解
xC
0,1,1,,x
1,lx
x
1,xn21
1x

sup|x
n|
x
.n1反之,


,1,2,,n,l1,,,
1,将点列
1,1,22nn,用折线连接起来,得到一个函数x
tC
0,1.
x
sup|n|


.n1
x

x




x
.
x


11,2,n2n(1,)1

1111n32注折线函数在每一个折线段上的最大值由端点值决定.xt()()xbxa()tabx
t
x
abxx
bxabababx|x
b|xamax|x
a|,|x
b|.|x
t||x
a|baba2 1.4.3在C1a,b中令1b2x1


|x
t|2|x
t|2dt
xC1a,ba(1)求证1是C1a,b上的范数;(2)问
C1a,b,1是否完备？考虑C10,1中的函数列:f21
1x1n
x
xn2可以验证fn
x1按范数

1是基本列.但是fn
x|x|C10,1.f
x
x,nx21n2mn2
fm
xfn
x
1
2

x21x2120m2n2x2
112dxx21x21m2n2
I1I221I
211

12dx1n2m202121xxm2n220
n.n21I
2
x2
112dx20x21x21m2n22x21x2112n2m2
2
xdx0x21x21m2n23 12
1dxn402121xxxn2n2111
1ndx


001x21x21xnn2n21
n1dxn30x21x21xn2n211
1dx
dx121211221nxxxnnn2n2n2
11n3n3nI20
n.2n但是fn
x|x|C10,1.1.4.4在C0,1中，对每个xC0,1令111212x1

|x
t|2dt;x2


1t|x
t|2dt,00求证1和2是C0,1中两个等价范数.证明显然x1x2.1x2


1t|x
t|2dt20111

|x
t|2dt
t|x
t|2dt2
|x
t|2dt
2x21000x22x1.1.4.5设BC0,表示0,上连续且有界的函数f
x全体，对于每个fBC0,及a0,定义1ax22
f


e|f
x|dxa0.(1)求证

a是BC0,上的范数．(2)若a,b0,ab4 求证

a,

b作为BC0,上的范数是不等价的．证明不妨假设ba0,显然有
f
b
f
a,由此可见,为了证明不等价性,只要证不存在c0,使得
f
c
f


fBC0,.只需证abfnBC0,,使得2
fn
a.2
fn
beax,0xndefgn
x
eax
n1x,nxn10,xn1deffn
x
gn
x2n
f

eaxeaxdx
n,a021
f

ebxeaxdx

e
baxdx
b00ba2
fn
an.
f2ban
b1.4.6设X1,X2是两个线性赋范空间，定义X
X1X2

x1,x2|x1X1,x2X2称为X1与X2的Decard笛卡尔空间.规定线性运算如下：
x1,x2
y1,y2

x1y1,x2y25 ,K,x1,y1X1,x2,y2X2，并赋以范数
x1,x2
max
x11,x22其中1和2分别是X1和X2的范数，求证：如果X1,X2是B空间，那末X也是B空间.证明设x
n是X中的基本列.则
x
nx
m
0
n,m
n
mx1x10
n,m1
n
mx2x20
n,m2
n因为X1是B空间,所以x1X1使得x1x1;又因为X2是B空间所以x2X2使得
nx2x2.def

x

x1,x2.下证x
nx.事实上,
0,
nx
m


n,mNN
使得
x2
n
mx1x12

n,mN1
n
mx2x22


n,mN2
nmx1x112

nN
nx2x22


nN2
x
nx

max
x
nx,x
nx112212

nN.21.4.7设X是B空间,求证：X是B空间，必须且仅须对6 
xnX,
xn
xnn
1n
1收敛.mpmpxn
xn
证
由mm显然.
设xn是基本列,由1.2.2只要xn存在一串收敛子列.
1,事实上,对
k
,取k2k因为xn是基本列,所以Nk,使得
n,mNk,有
x1nxm
,2k于是nk,nk1nkNk,使得
x1nxn
,kk12k取yk
xnk
k
1,2,.改写kyk
y1
yi1yi,i
1因为
yy1i1i
k
1,2i
1i
1
yi1yi由
假设,i
1收敛.即yk收敛,也就是xnk收敛.即xn存在一串收敛子列.1.4.9在2中,对
x

x1,x22,定义范数
x

max
|x1|,|x2|,并设x0

0,1,e1

1,0.1
x0ae1

min
x0e1
,求a适合17 并问这样的a是否唯一?请对结果作出几何解释．解
x0ae1



a,1
|a|
|a|1
max|a|,1
1
|a|12.01.51.00.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.0amin
x0ae1

1,a1最佳逼近元ae1|a|1,不唯一.
2,

非严格凸,如图所示,xy
x


y


1.2xy+2xy11.4.11设X是线性赋范空间，函数:x称为凸的，如果不等式
x
1x
x
1
x成立.求证凸函数的局部极小值必然是全空间最小值．证明用反证法.设x0是局部极小点,则x1U
x0
x1
x0.如果x2X8 使得
x2
x0,那么(xx10)()+(1x )(2)<()x100+() ()()xx=0,
x1
x0
x1
x01.4.12设
X,

是一线性赋范空间，M是X的有限维子空间e1,e2,,en是M的一组基．给定gX,引进函数F:n1,规定nF
c
F
c1,c2,,cn
ckekg.k
1(1)求证F是一个凸函数；(2)若F
c的最小值点是c

c1,c2,,cn,ndeff
ckekk
1给出g在M中的最佳逼近元.证明9 nF
c
1c

c
1ce

1gkkkk
1nnn
ceg
1cegkkkkk
1k
1k
1nncekkg+()1 cekkgk1==k1=Fc()(+1 )()Fc.
xMc

c1,c2,,cn,
xg

min
xg

minF
c
F
cxM
c1,c2,,cnn1.4.13设X是B空间，X0是X的线性子空间，假定c
0,1，使得inf
yx
c
y
xX0求证:X0在X中稠密.证
y

1
y,X0
inf
yx
c
y

c,c
0,1xX0X0X0
y,X0
inf
yx
inf
yx

y,X0c.xX0xX0用反证法．X0X,由Riesz引理，对
0,
y,X01.yX0,
y

1,使得
1c0,于是取2便有
y,X1ccc
c.022矛盾．10 1.4.14设C0表示以0为极限的函数全体，并在C0中赋以范数
x

max|n|.n1又设defnM
x
n|n
1C0|2n
0n
1(1)求证:M是C0的闭线性子空间．inf
x0z

1,(2)设x0＝
2,0,,0,，求证:zM但是
yM,
x0y
1.x
n

n,
n,,
n,M,证(1)12kx

1,2,,k,.x
nxlimsup
n
0
0,nkkk1
nsupkk
nN.k1
N
Nk
kkk2k2k2kk
1k
1k
1||0
Nk
kkk
02k2k2kk
1k
1k
1故x

1,2,,k,M.11 (2)x0

2,0,,0,,
m
,x
mdef

11,1,,1,0,0,M,2m1mm
x,x
m
11
x,M102m10
yM,要证
x0y
1,用反证法．设y

1,2,,k,M,使得
x0y
1.x0y

21,2,,k,,|k|1
k2
x0y
1.211k|k|注11|k|1
k2
.2k2k2k2k
2k
2k
2注：|k|k
2因为|k|0,所以当k足够大，|k|1.又由M的定义，1
k1
k122k22k2k
2k
2|1|1.这与211,矛盾．所以
yM,
x0y
1,两边取下确界，得到12 
x0,M1
x0,M1
x0,M
1
x0,M1.注本题提供---个例子说明：对于无穷维闭线性子空间M来说，给定其外一点x0，未必能在其上找到一点y适合
x0y


x0,M.换句话说，给定M外一点x0,未必能在M上找到最佳逼近元．1.4.15设X是B空间,M是X的有限维真子空间，求证:yX,
y

1,使得
yx
1.d
inf
y0x
0,证
y0XM,xM
n
,xnM,s.t.d
yx10n
dn
xn

y0xn

y0

y0
d1,即xn有界.又M是有穷维的,所以xn有收敛子列,不妨就是整个序列.设xnx0M,d
yx1

d,0n
dn
y0x013 y
y0x0,d则
y

1,对
xM,M
yx

y0x0x
1y
xdxd
1dd00d

xM.1.4.17(商空间)设X是线性赋范空间，X0是X的闭线性子空间，对于x,yX0，若xyX0，称x与y等价.将X中向量按等价分类.把每一个等价类看作一个新的向量，这种向量的全体组成的集合用X/X0表示，并称为商空间.(1)设xX/X0，求证xx的充分必要条件是x
xX0.(2)在X/X0中引入加法与数乘如下：xyxyX0x,yX/X0;xxX0xX/X0,K,其中x和y表示等价类x,y的任一元素.又规定范数x
infx|xx
xX/X0,求证
X/X0,是一个线性赋范空间.(3)
xxinfxX0|X0X0
x.(4)定义映射:XX/X0为
x
x14 求证是线性连续映射.(5)
xX/X0，求证xX使得
x
x，且x2x.(6)设X是Banach空间，求证X/X0也是Banach空间.(7)设X
C0,1,X0
fX|f
0
0，求证：X/X0与K等距同构.解(1)X0X,x
zX|zxX0
xX0x
yxyX0zxz
xX0z
xzxX0(2)
x

inf
z
,
x

x
,00zx
x
0,
x

0inf
z

000zxinf
z

0znx,
zn
0znxzxx

X0.
xx,yy
xy

inf
xy

xy

x

y
0xxyy先对后式xx取下确界,再对yy取下确界，上式保持不变，即得15 
xy
inf
x
inf
y


x

y
.000xxyyy
x
0

x
0
inf
y

inf||


||inf
x

|yxyxxx(3)
x
0

x,X0.xx,
x


x

x,X0
x
0
x,X0;
0,xx,zX0,
xz

x,X0.x
xz
zX0,xzx
x.0
x
0
xz

x,X0
x
0
x,X0.(4)
x
x:XXX0.

x


x

x
连续．0(5)
xXX0,x,inf
z


x
0,zx2
x
0根据定义，下确界是最大下界，所以非下界．于是存在zx,使
z
2
x
0(6)设xn是XX0的基本列，不妨设
xn1xn
0n
1收敛．由(5),16 1
yynxn1xn,
xn1xn
02n
,补充x0
.
yn
ynx
yn.n
0收敛n
0收敛,令n
0则xlimnxn||||
x

yn
xn1xnn
0n
0(7)
fXX0,
ff,f
0
f0K.T:XX0K,Tf
f0.下证：|Tf|

f
.事实上，0f
xf0f
f
0
inf
f
|f0|;ff
0,f1f,使得[f]+>=fmaxftf0f11()1()=00t0,1[]0[]ff.00于是
f
0
|f0|.,即|Tf|
|f0|.17 2.1.1求证：TX
L(,Y)的充要(1)AA=supx;(2)x1条件是T为线性算子并将X中AA=supx.的有界集映为Y中的有界集.证x<1明必要性显然.下证充分性.证明(1)一方面,x1是X中的有界集,依题supAxsupAx=A;xx11=意,另一方面,M>0,使得AxAxTxM(xx,1).于是对AA=supxsupxsupxxxx1xX
,x1x*因为左边分母x1,到右边x,有TM,即x放大为1,所以分式变小了.TxMx.而对于x=,(2)一方面,由(1)TxMx自然成立,从而AA=supxAsupx.TxMx(x
X).即知x1x<1TX
L(,.Y)另一方面,另一方面,x1=, >0,2.1.2．设AX
L(,Y)，求证12(1)xxAx=+()1Afx()=xf(x)xsupfyxf()=0,上式令 0即得xA=supAxsupAx.fx()=+(11)f(1+)(+)x1=0,根上必有零点,所以在每个区间据yt()在[0,1]上的一致连上有yt()<.定义xt()续性,n,
N将[0,1]n等分,
C[0,1,]使得函数在每一等分区间上的振幅图2小于.我们把所有的等分区间分为两类:图156!!ytdt()ytdt()1=ytdt2()!ytdt()0>10ytdt2.() 又x1,1ffx()>0ytd()t2 01fy()tdt.01ytdt()2!ytdt()0同时，如果第二类区间的端点是a或b，则令xa()=0或>1ytdt2() 0xb()=0.又x1,则有fx()=1xtytdt()() 0011ffx()>00ytdt2() fytdt.()=+!!xtytdt()()xtytdt()()78 fx()=1x1f,0,取1+fx便有1f1.<+再令x0,使得f()x10x1fx(0)x01xf0=f()x.f,1xf00()xf2.1.7x0注意到f=1,故有(fx()0)1d.证(1)显然．(2)举一个反例．fd1f于是d=1,即$1f%&dfX,=<"(()##12,,#nn,|!#+$,1)*n=1f=.dx=sup#,nn1a=(1,1,0,)
X.证明">0,x,使得1x=(##,,,,#)
X,定fx()12n1>f"x$1两边取倒数,并乘以f义fx()=!#n,显然n=1910fa()=0.再证T无界．事实上，从x=(##12,,,,#n)
X,定Tx=xafx()afx()=xTx.义Tx=xafx().下面看用反证法．如果Tx有界，NT()=?则xTx有界，从而a=1Tx=xafx=()fxfafx()=()(fx()==afx()afx()=xTxMxxafx==(),即f即NT()={}.闭．有界，矛盾．下面证明T无界．先证(3)()即(1).(-),用反$证法．n
N,xx,1=,nnfx()=!#n不连续．令n=1fx(n)n.kek={0,0,0,1,0,},xxn1nyfnn=f()xnfx()1(y)=0,yn
N(f)x=!e
X,x=1,x1nkn但yNnfx.(f).与k=1()1fx(n)Nf()闭矛盾．fx(n)=nx=n$.即fn02.1.8(1)记NfH()=,就是无界，故不连续．f1112 要证fx()=f/(xNf,.())即fx/(,.N(ff))(x)0>0,yNf
(),(2)xH
f,xy<+/ (xNf,,())fx()=0.(1)0/0(xH,.f)==fx()fx()=fxy()fxy0,s.t.一个yY
有解xX
，并且TB(,1)U(,).取=1.m>0，使得并设Uxmx,.x
X1B(,1)X中的开单位球;求证：U有连续逆U，并且121?Um1/.xRA
(()),证明由条件,U是满射,且是单20=|(Axx,)|mxx=,射.所以根据Banach定理,?1故有(RA())={}.UY
L(,,X)yYy
,1=,1所以RA()是稠的.设{y}设Uyx=,则n1==yUxmxmUy=1是RA()中的基本列,并设11Ax=y,UU=supy1/m.nny=1则由Axmx{x}是基n2.3.3设H是Hilbert空间，本列.AH
L()并且m>0，使得2|(Axx,)|mx,x
H.1xxHyAnn00

=xAnxRA().求证AH
L().证明由条件,xH
,RA()是闭的.RARA()=()2=H即A是满射.mx|(Axx,)|xAxAxmx所以根据Banach定理,1AH
L().所以A是单射.2.3.4设XY,是线性赋范空间，34 D是X的线性子空间，A闭算子ADY:是线性映射.求证:(2)如果A连续，又Y完(1)如果A连续，D是闭集，则备,那么根据定理2.3.12(B.L.T),A是闭算子;A能一地延拓到(2)如果A是连续且是闭算子，则D上成为连续线性算子Y完备蕴含D闭;AAA,|,=AA=.本题D(3)如果A是一一的闭算子，则A1也是闭算子;还有一个条件A是闭算子,(4)如果X完备，A是一一的闭下面证明D闭.设算子，RA()在Y中稠密，并且xDxxnn
,.则有A1连续，那末RAY()=.Ax=AxAx,于是因为Ann(1)如果A连续且D是闭的，则A是闭算子,闭算子；所以xDAnn
(),xxxDxxnn
,设,AxnyDx
D(A)AxAxnAy,=Ax56XA1xD
,且Ax=Ax.11A(3)如果A是单射的闭算子，则A(2)1也是闭算子.RADA()=()设yRAnn

(),,yyxDAnn()xx闭.xAyx=1yA=xyY().RAnnnnRA()因为A是闭算子,所以最后RA()()Y.==RA()xDA
,yA=x2.3.5用等价范数定理证明1yRA
(),xAy=.i.e.([0,1],C)不是Banach空间，其11A是闭算子.1中ff=!|()|tdtf
C[0,1].0(4)如果X完备，A是单射的闭证明用反证法.假如算子,RA()在Y中稠密,1(C[0,1,])是B空间,并且A连续，那末11RA()=Y.ff=max(tf).!0(t)dtfmax(t01tt01(3)1A是单射的闭算子A也是闭算子.78 是比强的范数,用等pxx()1+212px()+px(),xx12
X1价范数定理,与等价,;1(4)当xx时，px()()px.即M>0,s.t.nnfMf即求证:M>0，使得11px()MxxX
.maxft()Mftdt!()001t证明令(fC
[0,1.])令$xx=+supp()x,1x=110Mt(t1)x是X上的完备范数,然ft()=M1M1=112M0()Mt1后用等价范数定理.矛盾.所给的条件(4),有两处发挥作用.2.3.6Gelfand引理.设X是其一是证明p()=0:1Banach空间，pXR:满足&xp0,0()limp(11x)=limp((1)px()0xX
;00nnnn%%(2)其二是证明(X,x)完备时,1px()""=px()">0,xX
;从(3)910yex=i(y=1i(pex()=py()suppy()=suppx()xxnm100xxnm,(X,x)yx==11完备,x
X,使得i(xxn.suppex()suppx();()xx==11"
0,1,N
N,i(yex="ii((i(xxnm1<2(nN>),px()=peex()(=pey)m%y=1ppp(xxnm)<""(xxn)lim(xxnm)i(xxnm22xxnxxnmsuppey()m%y=1(nN>)i(i(suppx()suppex().suppx((()=suppex()xx==11xx==11i(==((suppex()suppx()&xp0,0()limp(1x)xx==1100nn%((x=11==lim1px()0p()=0.x((
R).n01n%注x
X,x=1下面证明(X,x)完备.11112 xxnmn100xxm,(X,x)""完备,x
X,s.t.xxxxnn+22=+(1)xxnxx.n3""
(0,1,)N
N,<22<"(nN>).xx<"(nN>),nm12根据等价范数定理,M>0,使得xMxpxMx().1p(xxnm)<"xx2nm注:存在某个线性空间上的强、弱m%ppxxnnlimxxm"()xnnxx()xm2两个范数，m%使弱范数完备而强范数不完备．见()nN>反例p36,12."xxAXn
L(,)(1,2,)Yn=.又对n2xX
，{}Ax在Y中收敛.n求证AX
L(,)Y，使得A强xxxxnn=+suppxx(n)n1xxn=1收敛到A，且AAlim.n1314p证明x
X,x={})
保证*a)收敛，kkk$q求证{}a
.又若Ax=limAxnn,{}Ax在kn%pfxa:
*)，求证f作为kkY中收敛,{Ax}在Yn上的线性泛函，有中有界,即%1fa=(||).*qqkk=1supAxn<%(x
X)pn1证x={)k}
,令%由共鸣定理2.3.15,M>0,fx,;=*()kkk=1s.t.AMn.(1.)于是nnfxnk,=*()kk=1+Ax=limAxlimAxMxAppnn%nn%fn
()=L,(K,)且limn%fx,,=fx.由习题2.3.7,n
LX,Y,()并且AAlimn.p+n%f
().2.3.8设1< (=argkk(f(n)p11联合qf=(.x
,1+=,pqqf(nq(n)q1i一方面fx,=*((ekkkk=11nn2.3.9证x={)}
,qq1iik=**((eekk=(;%kkkkk==11令fx,;=*()kk另一方面,k=1n1-.-np()qpq1=fx,.=()fx,()nnfx()==f/0/(()q1pfnk0*k*kk=1121k=1211+11f
()=L,,(k)且limnnnpqnq-.qq-.n%***((((kkkff/0/0=(fxk,,=fx.由习题2.3.7,nkkk===1111212+1且f
().(f.%下面证明((={}
.qk1718k$2.3.10用Gelfand引理证明共鸣定1设e={0,0,1,0,0,}
,则k理.(kk=f(e.)$px()=supAxAW
e1k=pxMx()AxMx((kk=fff()eek=={}(k
,()AMAW
.且(f.又%2.3.11设XY,是Banach空间，nnAX
L(,)Y是满射.求证如果在fxnk,**()ksup(k)ksup(kxkk==1111knknY中yy，则c>0与n0fnksup((%xxn0使Axnn=y，且1knxcy.nn证明由习题2.3.7,设NA()=={x
X|Ax0,}考fflim(n%n%虑映射A:X
NA()(f.Y,[x]
X
NA(),%f==((sup.%kf(k1Ax[]=Ax,xx
[].证明A%1920 3单射、满射.再由yn0xxnn
456733x,且Ax=Ax4567nnn3[][]定义yAxnn,Ax=Ax33Ax2,AxY1Y3则有xCy,CA=2.nn推出A有界.由Banach逆算设yyn&0,记11子定理，4567xA==yxA,,4567ynn001111AN
L,(YX
()A).不妨假45456767xxA=yAyAyynn00n0设y0=0,yn0,记31取xx00
4567,满足4567xAnn=y,3xx2,456700114567xA=yAy.xx3
4567,满足nnnnn33于是,取xxnn
4567,使得xxnn002.45456767xx于是xx2,4567便有nn3333xxx+xCyy+CyxCy,其中nn00n00nn1CA=2.Cy+2.Cyn02122再想办法将y折合到y射．0n上去．条件A满射，y
Y,yy&,N,x3
X,使得n00nN>0Ax33=yAx[]==Ax3y.A满射．1yyyyyyy2.0nn0002n1.4.175()3Ax[]=Ax33Ax2,Ax[]于是对nN>0,xn按YY上面取法，xC35.ynnA有界．nN,取xx3
4567,由Banach逆算子定理，0nn1满足xx32,4567则有AN
L,(YX
()A).nn1Ax3==Ax4567ynnn设yn0,记4567xAnn=y,11134567xA=yAy.xxAnn224567ynn=CynnnAx[]=00Ax=(x
[x])注意到这个结论与要证的结果十分1xNA
()[x]=.A单类似，其中A相当于C.2324 3下面要做的事就是将4567xnxx002,4567中的[],去掉，过河拆桥．3xx
4567,满足nn取xx3
4567,使得33nnxx2.45456767xx于是nn00131xxA224567y33nnnxxCyyCA,2.=nn003yn0xxnn
4567333x,且Ax=Ax4567xCynnn00333定义yAx,xxnnn0133则有xC3y,CA=2.yA==xA,xynnnn00设yyn&0,记3333xxx+xCyy+Cy11nn00n004567xA==yxA,,4567ynn00Cy+2.Cyn011145456767xnnx00=AyAyAyyn0再想办法将y折合到y0n上去．3yy&,N,取xx
4567,满足n0000nN>02526xaTxxD
()Tyyyyyyy12.0nn0002n3于是对nN>,x按(3)RT()在Y中闭的充分必要0n上面取法，xC35.y条件是a>0，nnnN,取xx3,dxNT(,())aT(xDT
()).
45670nn3其中dxC(,)表示x到X的子满足xx2,4567则有nn集C的距离.3Ax==Ax4567ynnn证明13xxAnn224567ynn=CyxNTn
()xxn(1)2.3.12设XY,是Banach空间，TxxnTxn=00是闭线性算子，0.=Txx
NT()即得DT()XRT,()Y，求证(1)NT()是X的闭线性子空NT()闭间;(2)()RT()是B空间,(2)NT()={0}，RT()在Y中TDTRT:()()闭的充分必要条件是a>0，使单射、满射,由逆算子定理知2728 1TR
L((T),.X)(>0,s.t.Ty1(y(yRT
()).于(3)注意到X
NT()是B空间.是x
X,考虑T:X
NT()Y.令yT=x,即有xT(x.(){[]()()}(8)DT=x

X
NT|,xDTRT()ynyxDn
(T),TxTx[]=.s.t.yT=xy,nn显然NT()=[],()()由所给的不等式,RT=RT.如果T是闭算子,用(2)的结果,xx(TxTxx
X即得结论.nmnm,s.t.xx.于是nxxT下面证明T是闭算子.就看nyT=xyRT
().Txyn即证得RT()闭.2930RT()闭:RT()闭(T单射)(2):(>0,s.t.[xT]([x],即0[xDT]
(),(())dxNT,.(TxDT()4567x[xnyTx=[].2.3.13设axy(,)是Hilbert空间Tx4567yH上的一个共轭双线性形式，满足n(1)M>0，使得|(,)|axyMxy;9(2)>0，使得2T()|(,)|axyx.xDnn
()Txx,xDT
,yTx+求证:fH
，!yH
，f24567xxn0使得Tx=Tx4567yaxy(,)f=fx()xH
,nn3132 而且yf连续依赖于f.,.xH
3取xyy=,便有ff证明根据Lax-Milgram定理2.3.17,必存在唯一的有连续逆的(2)233330,=ayyyy(ffff)yyffyyff=连续线性算子AH
L(),s.t.axy(,,)=(xAy).又根据Riesz22.3.14设;是R中边界光滑+表示定理,对fH
,11的有界开区域,(:;R有界zH
,使得fx()=(xz,,)对ff可测并满足此z,求解方程2f0,<((0fL
(;).规定1Ay=zff1,y=Azffx()=(xzfxAy,faxy,f.auv(,,)=!;(<0,ptx()=limtxnn(3)令Xx={},00==txtlimpx().nfxfx()===()fx()px()n000000==11pxy(+=)lim(xynn+)nfx00()===fx0()0px()()0px0.xy+=+p(x)p(y)limnnlim.xX,是否有nn02.4.3令fxpx0()()?即=1R,1fxpx?Xxf=={}()(),xfx00()(0)000000=10显然是正确的.当<0,==px()()00px.12fx00()===fx(00)fx(0)||px(0)supxfnn,=supfx,nn==pxpx(0)()=0，求证:为xx=kk
E,了存在fX
，满足k=1定义

fM，nfx(),1jj==cj,2,,n，必须且仅fx0()=kkC,k=1须对,,,
K,有12nnn特别是fxC0(kk)=,并由充分性||jcMjj

xj.假设,jj==11()56nf
X,使得ifx0()=kkCMxf0MxEk=1"fi=1fi"fi=d再根据Hahn-Banach定理,"if
X,使得#fMi()ii=00fx()j=()ji&,""fxfxxE()=0()
,"fxdi()ii=$#ffM=.$0fx()=1.ii2.4.7设xx,,,x是线性赋范12n2.4.8空间X中线性无关元，求证M是极大线性子空间的充分且ff,,,fX
，使得12n必要条件是，M是线性真子空间,fx()==%ij,1,2,,.nijij并且11求证=(),但()&.xM
X
有0证X={xM|
R.1}(0Mxdij==span{},,i()xiMi,思路:对照命题2．4．101jnji&证如果M是线性真子空间,并则di>0.且xM0
X
有1由推论2.4.7,对Mi,di>0,X={xM0|
R.}(那么78 []i
i
xM
X,xx
[],fex()=Refex()1xM1
,
R,使得2.4.10xxx=+01证由Ascoli定理,存在实线性连[xx]=+=+,-.01x+,-.x0故续泛函gx()及0>0使得dimX(M)=1.gx()<<0g(x0)如果dimX(M)=1,那么supgxgx()<(0)xE
xM
X,
[xM]
X,0(1)1
R,[x]=+,-.x0令fx()=gxi()+gi(x),则+,-.xx
0=[]xxMxx0


{M2.4.9(1)1supfx()=0,0efxi
()supRefex(i
)!xE
xE则有||//910fx()supfx()<0,使得Bxd(1,,)C=+xy2(1.)
C便与xC
2的假设矛盾.12.4.13x
C,3%>0,使得证0Bx(0,.%)C这样,y
Bx(0,,%)都有zx=+2(1.)yC
根据定理2.4.15,存在"xx1=+20(1)xf

X,R,1使得#zx=+()1y$2fy()fzyMzBxd()(

,,()),zx10=(1)(yx)dx()=(xM,.)zx10=(11)yx<()%1314supfy()inffz()fx()=+ 405表示点yM
zBxd
(),x=(45,)到通过原点的直线(即=inffxdy()yB
()
,1含有零点的超平面)=inf+,fxdfy()()0-.Hxf=={(45,|)f(x)=+= 4050}yB
()
,1的距离,即=fxdx()()supfy()0yB
()
,1fx()=+= 405(xH,,f)2fxdxf()().x=(45,R)
.f2取f1=f即为所求.2,4.14设M为R中的闭2注我们先说明这个定理的几何意凸集，x=(45,R)
，为确定起2见，不妨假定fx()>0.那么，实义：设XR,=f
X2x=(45,R)
,数值fx()supfz()便是由zM
fx()=+ 4050点x到平行于直线H的f其中( 0,)是由f确定的rM的支撑直线Hf22实数对.如果f=+= 01,(r是某个实常数)的距离则根据平面解析几何知识,r(xH,f)．由此可见，本题的结果1516 说明：当f
X,f=1,x
M时等式成立.使得点x在M的支撑直线xM
X,
1>0,Hr0上的投影y恰好是MzM
,使得f010中,对点x的最佳逼近元时,这xzdx1<+()1.个距离"6sup#7fx()supfz()sup{fxfz()()1}(xH,r0)达到最大.ff

XX$8zM
f0ff==11证记dx()=infzM
xz.sup{fxz(1)}f
X如果x
M,左边:f=1dx()=0.sup{fxz1}<+dx()1.右边:一方面对f
X,f
Xf=1fx()supfz()0,蕴含右边0.zM
根据1>0任意性，有另一方面,又存在f
X,"6sup#7fx()supfz()dx().fM()=0,f=1,蕴含右边f
X$8zM
f=10,另一方面，根据习题2.4.13，必故右边也=0.因此当ff
X,=1,使得001718dx()fx00()supfz(),zM
所以dx()"6=sup#7fx()supfz().并且右f
X$8zM
f=1端上确界在f达到.019 xABx==2.6.1设X是B空间，求证：1Bx=x=B.即B单L(X)中的可逆(有有界逆)算子集射.是开的.
BA=Iy
X,Bx=y1证明设A,A
L(X,)有解x==ABxAy.即B满射.1考虑当>0充分小时,是否BAI==BBI111BB==BAA.有(AI+)
L(X.)注意到2.6.2设A是闭线性算于，1AIA+=+(IA,)根据引理1n,,
p(A)两两互异．又1设x是对应于的本征元2.2.6,当A1<时,ii11(i1=,2,,n)求证x,x,,x(IA+)
L(X)故当12n1是线性无关的．11<1时,(IA+)
A证明用反证法.令x为第一个mL(X,)而可由它的前面m1个向量线11()AI+=+(IAA11)
性表出的向量,即m1L(X.)xx=(1)mkkk1=这里用到,A,B
L(X,)且x,x,,x线性无关,对(1)112m1AB==BAIB=A.事实上,两边施以IA得到m12nnnAxxA1rAl==()==imA1.nm10=()mmkIAx=()mkIAx=0,k1=()m1IAx0A=x0x0===()xkmkk0,(IAx0)=k1=
x,x,,x12m1线性无关kk1=0k(
Z)kmk()==0k1,2,,m1()(1)mk==0k1,2,,m1.()=11==1,k10,2102,于是(1)x0=.与x为特征=1同理=nmmn0n,n0,向量矛盾.由此可见,如果=0,则022.6.3在双边l空间上，考察右推=0z(
Z)x0=.n移算于A：如果0,(0x,=nn,,+1,10,,1,,,n1n,l+++2222<+++<+,n0nnyA==x(,,nn+1,,,10,1,,,,n1nnn===1n1即得Ax=xA=1,34 ++nn+122+112n+22n<+000x()nn=(0,0,,0,,0,),Ax()=(0,0,,0,1,0,n1==n10矛盾.xA(n)n1+因此只能=00n()n=0z(
Z)x0=.于是x=(0,0,,,1,0,)(nn)()(A?)=.(xAx,z0)=pzz0=(n
Z)再证nn+1(A?)=.RIA()=2.(2)r即证RIA()={}.(2)与(1)完全类似,同理可得设zRIA,()则对z.=2再证c(A)={=1.}要证x,
((IAx,)z0=RIA()+()z0=kk1kk=nRIA()=()n2x=(0,0,,0,1,0,)
,56先看=1.222取N,s.t.<,x,
nnN1=+(IAxyyxx)=kkk=1(k
Z).(jN)j特别对令y,=jk0=!0j()>+N1y=(,0,0,,0,1,0,,0,)2
,但是y=(,0,0,,,,,,0,0)yN10,1,Nxx1=,012x
xxx012===x00=为了证明yRIA,
()即xx0=x
201证x,
2s.t.==xxx0=211(IA)xyyxxk==(
Z)kkk1矛盾.由此可见,yRIA.()即有2j(jN)RIA().再证注意到y,=j2!0j()>+N1RIA()=.设()xxkk1k=(kN.)=,,nn+1,,,10,1,,,,n1n
l78 xx0kk1=>(kN1xx+)k=N1+kN1.yI=(A)xkkk=1k1kk1yxx=yxx=kkk1kkk1令N1+当=1时,()kNj22x,k=jk1=+显然={k}

x.0k()"N+1={}

22y!k2xx={k}
,并满足重复上面证明即可.yxxk.=(
Z)kkk12从而(IAxy,)=即2.6.4在l空间上,考察左推yRIA.
()1A
c().移算子对于一般的=1,可以化归A:xx,(1,2,xn1,x,n)(x,,x2n1,x,n=1,情况.求证:(A)={
C|<1;}p910cp(A)={
C|=1;A}()=(A)
cA.>=1A时,#
(A.)证明(1)>1时,(2)(A)={
C|<1.}p#
(A.)记D={
C|<1.}2xx=(1,x2,,x,n1xn,l)
对于
D,数列{n2}
l0.y==Ax(x,,x,x,),2n1n即222
A1(,,,)=(,,)=(1,,,,)(Ax)12==x,Ax23()x,,Ax()k=x,k+12
(A,)而(1,,,)p便是相应的特征向量.2222Ax=xx=xA1.nnn2==n1反之,设Ax=x,x,又2xl
2x=(0,1,0,,0,)
,0.则Ax=(1,0,,0,)0AxA1"0=,A1=当nnnx0xAxx,x,==(n1++n2)01112 1<1D
.出x,即(IA.)(3)显然,非零分量个数有限的y在$c(A){
C|=1.}RIA()中.事实上,设y的非C={
C|=1.}零分量个数为K,取记K2x=()xx,,x1,2n1n,x,
lxy1j=,j=1先看=1,yIAx=()yxx=kkk+1kyxx112=xxykk1+=1j()=1,2,,K2j1=xl.
yxx=223!x0k=()>K.k+1yxx=334注意到非零分量个数有限的y在yxx=k1k1k22l中稠密,故有RIA()=l.yxx=kkk+12RIA()l.例如kk12yl={j}
,但是yRIA.()yxx=xxy=,j1=j1k1++k11jj1==j1k事实上,按xx,=1求得利用这个公式,我们可以从y求k+11jj=113142的xx,={}使得x.2.6.5在L0,()上,考察微分算kk1=k故xl.2子于是1A
().cdx1对于适合=1的一般，可以A:xt()dt,DA()=H0,()化归=1情形．事实上,求证(1)(AR)={
Ce<0};p(IAxy)=xxkk+1k=y(2)c(AR)={
Ce=0};xxykk+1k==(k1,2,.)(3)(A?)=.kk1++k1rdefdefdbittxy(1)(ee)=,令kk,k()1,2,,dtkk=kk==+1=+aib,则有当Re=a0<,时,=(k1=,2,.)此即kk+1ktatibt2eeeL0=&
(,,)化归=1情形.于是dtt2总结起来，我们有dt(ee)=
L(0,)t1p(A)={
C|<1,}eH0
(,.)c(A)={
C|=1,}
p(A.)即得r(A.)=%p(AR)={
Ce<0}.1516 dx?(2)dtbix=ydx(0()dtxy()""d=0()xDA
()y("dbitbitdt(xe)=ye x,y
C(0,),0bitbitt"bixc=+eeyed(0("")((dxxy)("")d=00dtbitt"bixecyed=+((0("")),((ydx("")dx""yd0()=00dtn"当y(")
span{"e}2d时,yL(")
(0,),且当"((0dtyxd()(")"+0""xyd0()=dcn=(+1)!时,使得(0(dtyy(")+"""())x()d=0t2"dyy0()+"()=cydL0+(0("")
(,)dtRe>0n""xDA,
()因为{"e}构"yC()=eC=0.2()成L0,()的完全系,所以"y0=.Re0>n"2RA(IL0,)=2()span{"e}在L0,()中稠2(A)密.即RAbiL0,.()=()由此rRe0(A)推出 b,
RbiA
().即得rcRe>0(A))c(AR)={
Ce=0}.r*Re0()A+(3)当Re=a0>时,r(A?)=.r1718计算细节:xxntibn(tib)Lxn()==((00teedttedtxn1+(tib)Lxtedn1+()=(0tn1xib+xn(tib)=xee++(n1te)(0dtn1xib+=xee++(n1Lx)()n(tib)Lxn!enn()=+Px()(tib)Lxn1()=++()!ePx()n1++n12Lxn!L0,n()
()19 2.3.1设X是Banach空间，X0U(,1)X
X0中的开单位球.是X的闭子空间，映射下面证明UB( ,1)=(,1.)
:/XXX0，定义为xB
(,1)x<1[x]x<1
:[xxxX
]
，其中[]x表 xxU=[]
(),1示含x的商类.求证
是开映 BU(,1)(,1)射.反之,证法1用开映射定理,只需证明满射.事实上,[xU]

(,1)[x]<1xx[],[x]
XX,
0任取xx
[],使得则有x
X,xx=[].xx<1,
Bx( 1),[]=x.UB( ,1)(,1)证法2不用开映射定理.教材p94,定理2.3.8的证明中的2.3.2设XY,是Banach空间.(1)为了证T是开映射，必须且仅UX
L(,)Y，设方程Ux=y对每须>0,s.t.一个yY
有解xX
，并且TB(,1)U(,).取=1.m>0，使得并设Uxmx,.x
X1B(,1)X中的开单位球;求证：U有连续逆U，并且121?Um1/.xRA
(()),证明由条件,U是满射,且是单20=|(Axx,)|mxx=,射.所以根据Banach定理,?1故有(RA())={}.UY
L(,,X)yYy
,1=,1所以RA()是稠的.设{y}设Uyx=,则n1==yUxmxmUy=1是RA()中的基本列,并设11Ax=y,UU=supy1/m.nny=1则由Axmx{x}是基n2.3.3设H是Hilbert空间，本列.AH
L()并且m>0，使得2|(Axx,)|mx,x
H.1xxHyAnn00

=xAnxRA().求证AH
L().证明由条件,xH
,RA()是闭的.RARA()=()2=H即A是满射.mx|(Axx,)|xAxAxmx所以根据Banach定理,1AH
L().所以A是单射.2.3.4设XY,是线性赋范空间，34 D是X的线性子空间，A闭算子ADY:是线性映射.求证:(2)如果A连续，又Y完(1)如果A连续，D是闭集，则备,那么根据定理2.3.12(B.L.T),A是闭算子;A能一地延拓到(2)如果A是连续且是闭算子，则D上成为连续线性算子Y完备蕴含D闭;AAA,|,=AA=.本题D(3)如果A是一一的闭算子，则A1也是闭算子;还有一个条件A是闭算子,(4)如果X完备，A是一一的闭下面证明D闭.设算子，RA()在Y中稠密，并且xDxxnn
,.则有A1连续，那末RAY()=.Ax=AxAx,于是因为Ann(1)如果A连续且D是闭的，则A是闭算子,闭算子；所以xDAnn
(),xxxDxxnn
,设,AxnyDx
D(A)AxAxnAy,=Ax56XA1xD
,且Ax=Ax.11A(3)如果A是单射的闭算子，则A(2)1也是闭算子.RADA()=()设yRAnn

(),,yyxDAnn()xx闭.xAyx=1yA=xyY().RAnnnnRA()因为A是闭算子,所以最后RA()()Y.==RA()xDA
,yA=x2.3.5用等价范数定理证明1yRA
(),xAy=.i.e.([0,1],C)不是Banach空间，其11A是闭算子.1中ff=!|()|tdtf
C[0,1].0(4)如果X完备，A是单射的闭证明用反证法.假如算子,RA()在Y中稠密,1(C[0,1,])是B空间,并且A连续，那末11RA()=Y.ff=max(tf).!0(t)dtfmax(t01tt01(3)1A是单射的闭算子A也是闭算子.78 是比强的范数,用等pxx()1+212px()+px(),xx12
X1价范数定理,与等价,;1(4)当xx时，px()()px.即M>0,s.t.nnfMf即求证:M>0，使得11px()MxxX
.maxft()Mftdt!()001t证明令(fC
[0,1.])令$xx=+supp()x,1x=110Mt(t1)x是X上的完备范数,然ft()=M1M1=112M0()Mt1后用等价范数定理.矛盾.所给的条件(4),有两处发挥作用.2.3.6Gelfand引理.设X是其一是证明p()=0:1Banach空间，pXR:满足&xp0,0()limp(11x)=limp((1)px()0xX
;00nnnn%%(2)其二是证明(X,x)完备时,1px()""=px()">0,xX
;从(3)910yex=i(y=1i(pex()=py()suppy()=suppx()xxnm100xxnm,(X,x)yx==11完备,x
X,使得i(xxn.suppex()suppx();()xx==11"
0,1,N
N,i(yex="ii((i(xxnm1<2(nN>),px()=peex()(=pey)m%y=1ppp(xxnm)<""(xxn)lim(xxnm)i(xxnm22xxnxxnmsuppey()m%y=1(nN>)i(i(suppx()suppex().suppx((()=suppex()xx==11xx==11i(==((suppex()suppx()&xp0,0()limp(1x)xx==1100nn%((x=11==lim1px()0p()=0.x((
R).n01n%注x
X,x=1下面证明(X,x)完备.11112 xxnmn100xxm,(X,x)""完备,x
X,s.t.xxxxnn+22=+(1)xxnxx.n3""
(0,1,)N
N,<22<"(nN>).xx<"(nN>),nm12根据等价范数定理,M>0,使得xMxpxMx().1p(xxnm)<"xx2nm注:存在某个线性空间上的强、弱m%ppxxnnlimxxm"()xnnxx()xm2两个范数，m%使弱范数完备而强范数不完备．见()nN>反例p36,12."xxAXn
L(,)(1,2,)Yn=.又对n2xX
，{}Ax在Y中收敛.n求证AX
L(,)Y，使得A强xxxxnn=+suppxx(n)n1xxn=1收敛到A，且AAlim.n1314p证明x
X,x={})
保证*a)收敛，kkk$q求证{}a
.又若Ax=limAxnn,{}Ax在kn%pfxa:
*)，求证f作为kkY中收敛,{Ax}在Yn上的线性泛函，有中有界,即%1fa=(||).*qqkk=1supAxn<%(x
X)pn1证x={)k}
,令%由共鸣定理2.3.15,M>0,fx,;=*()kkk=1s.t.AMn.(1.)于是nnfxnk,=*()kk=1+Ax=limAxlimAxMxAppnn%nn%fn
()=L,(K,)且limn%fx,,=fx.由习题2.3.7,n
LX,Y,()并且AAlimn.p+n%f
().2.3.8设1< (=argkk(f(n)p11联合qf=(.x
,1+=,pqqf(nq(n)q1i一方面fx,=*((ekkkk=11nn2.3.9证x={)}
,qq1iik=**((eekk=(;%kkkkk==11令fx,;=*()kk另一方面,k=1n1-.-np()qpq1=fx,.=()fx,()nnfx()==f/0/(()q1pfnk0*k*kk=1121k=1211+11f
()=L,,(k)且limnnnpqnq-.qq-.n%***((((kkkff/0/0=(fxk,,=fx.由习题2.3.7,nkkk===1111212+1且f
().(f.%下面证明((={}
.qk1718k$2.3.10用Gelfand引理证明共鸣定1设e={0,0,1,0,0,}
,则k理.(kk=f(e.)$px()=supAxAW
e1k=pxMx()AxMx((kk=fff()eek=={}(k
,()AMAW
.且(f.又%2.3.11设XY,是Banach空间，nnAX
L(,)Y是满射.求证如果在fxnk,**()ksup(k)ksup(kxkk==1111knknY中yy，则c>0与n0fnksup((%xxn0使Axnn=y，且1knxcy.nn证明由习题2.3.7,设NA()=={x
X|Ax0,}考fflim(n%n%虑映射A:X
NA()(f.Y,[x]
X
NA(),%f==((sup.%kf(k1Ax[]=Ax,xx
[].证明A%1920 3单射、满射.再由yn0xxnn
456733x,且Ax=Ax4567nnn3[][]定义yAxnn,Ax=Ax33Ax2,AxY1Y3则有xCy,CA=2.nn推出A有界.由Banach逆算设yyn&0,记11子定理，4567xA==yxA,,4567ynn001111AN
L,(YX
()A).不妨假45456767xxA=yAyAyynn00n0设y0=0,yn0,记31取xx00
4567,满足4567xAnn=y,3xx2,456700114567xA=yAy.xx3
4567,满足nnnnn33于是,取xxnn
4567,使得xxnn002.45456767xx于是xx2,4567便有nn3333xxx+xCyy+CyxCy,其中nn00n00nn1CA=2.Cy+2.Cyn02122再想办法将y折合到y射．0n上去．条件A满射，y
Y,yy&,N,x3
X,使得n00nN>0Ax33=yAx[]==Ax3y.A满射．1yyyyyyy2.0nn0002n1.4.175()3Ax[]=Ax33Ax2,Ax[]于是对nN>0,xn按YY上面取法，xC35.ynnA有界．nN,取xx3
4567,由Banach逆算子定理，0nn1满足xx32,4567则有AN
L,(YX
()A).nn1Ax3==Ax4567ynnn设yn0,记4567xAnn=y,11134567xA=yAy.xxAnn224567ynn=CynnnAx[]=00Ax=(x
[x])注意到这个结论与要证的结果十分1xNA
()[x]=.A单类似，其中A相当于C.2324 3下面要做的事就是将4567xnxx002,4567中的[],去掉，过河拆桥．3xx
4567,满足nn取xx3
4567,使得33nnxx2.45456767xx于是nn00131xxA224567y33nnnxxCyyCA,2.=nn003yn0xxnn
4567333x,且Ax=Ax4567xCynnn00333定义yAx,xxnnn0133则有xC3y,CA=2.yA==xA,xynnnn00设yyn&0,记3333xxx+xCyy+Cy11nn00n004567xA==yxA,,4567ynn00Cy+2.Cyn011145456767xnnx00=AyAyAyyn0再想办法将y折合到y0n上去．3yy&,N,取xx
4567,满足n0000nN>02526xaTxxD
()Tyyyyyyy12.0nn0002n3于是对nN>,x按(3)RT()在Y中闭的充分必要0n上面取法，xC35.y条件是a>0，nnnN,取xx3,dxNT(,())aT(xDT
()).
45670nn3其中dxC(,)表示x到X的子满足xx2,4567则有nn集C的距离.3Ax==Ax4567ynnn证明13xxAnn224567ynn=CyxNTn
()xxn(1)2.3.12设XY,是Banach空间，TxxnTxn=00是闭线性算子，0.=Txx
NT()即得DT()XRT,()Y，求证(1)NT()是X的闭线性子空NT()闭间;(2)()RT()是B空间,(2)NT()={0}，RT()在Y中TDTRT:()()闭的充分必要条件是a>0，使单射、满射,由逆算子定理知2728 1TR
L((T),.X)(>0,s.t.Ty1(y(yRT
()).于(3)注意到X
NT()是B空间.是x
X,考虑T:X
NT()Y.令yT=x,即有xT(x.(){[]()()}(8)DT=x

X
NT|,xDTRT()ynyxDn
(T),TxTx[]=.s.t.yT=xy,nn显然NT()=[],()()由所给的不等式,RT=RT.如果T是闭算子,用(2)的结果,xx(TxTxx
X即得结论.nmnm,s.t.xx.于是nxxT下面证明T是闭算子.就看nyT=xyRT
().Txyn即证得RT()闭.2930RT()闭:RT()闭(T单射)(2):(>0,s.t.[xT]([x],即0[xDT]
(),(())dxNT,.(TxDT()4567x[xnyTx=[].2.3.13设axy(,)是Hilbert空间Tx4567yH上的一个共轭双线性形式，满足n(1)M>0，使得|(,)|axyMxy;9(2)>0，使得2T()|(,)|axyx.xDnn
()Txx,xDT
,yTx+求证:fH
，!yH
，f24567xxn0使得Tx=Tx4567yaxy(,)f=fx()xH
,nn3132 而且yf连续依赖于f.,.xH
3取xyy=,便有ff证明根据Lax-Milgram定理2.3.17,必存在唯一的有连续逆的(2)233330,=ayyyy(ffff)yyffyyff=连续线性算子AH
L(),s.t.axy(,,)=(xAy).又根据Riesz22.3.14设;是R中边界光滑+表示定理,对fH
,11的有界开区域,(:;R有界zH
,使得fx()=(xz,,)对ff可测并满足此z,求解方程2f0,<((0fL
(;).规定1Ay=zff1,y=Azffx()=(xzfxAy,faxy,f.auv(,,)=!;(<