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'工程力学习题答案第一章静力学基础知识思考题：1.×;2.√;3.√;4.√;5.×;6.×;7.√;8.√习题一1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A点的约束反力方向。解：（a）杆AB在A、B、C三处受力作用。�����由于力p和R的作用线交于点O。B如图（a）所示，根据三力平衡汇交定理，可以判断支座A点的约束反力必沿通过A、O两点的连线。�����（b）同上。由于力p和R的作用线B交于O点，根据三力平衡汇交定理，可判断A点的约束反力方向如下图（b）所示。2．不计杆重，画出下列各图中AB杆的受力图。��解：（a）取杆AB为研究对象，杆除受力p外，���在B处受绳索作用的拉力T，在A和E两处还受B��������光滑接触面约束。约束力N和N的方向分别AE����沿其接触表面的公法线，并指向杆。其中力N与E杆垂直，����力N通过半圆槽的圆心O。AAB杆受力图见下图（a）。1 (b)由于不计杆重，曲杆BC只在两端受铰销B和C对它作用的约束力RB和RC，故曲杆BC是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B、C两点的连线，且RB=-RC。研究杆AB，杆在A、B两点受到约束反力RA和RBC，以及力偶m的作用而平衡。根据力偶的性质，RA和RBC必组成一力偶。(c)先对球进行受力分析。球除受主动力W作用外，����在D、E两处还受光滑支承面对球的约束反力N、D����N的作用，这三个力的作用线应交于球心。取EAB杆为研究对象，杆在D、B、A三处受力作用。����������杆在D处受球对它的作用力N，显然N与DD�������������N是互为作用力和反作用力，故N′=−N。DDD����������杆在B处受绳索作用的拉力T。由于T和N′BBD的作用线交于点O，如下图所示。根据三力平衡汇交定理，可以判断支座A对杆的约束反力必沿通过A、O两点的连线。������(d)由于不计杆重，杆AB在A、C两处受绳索作用的拉力T和T，AC����������在B点受到支座反力N。T和T相交于O点，BAC根据三力平衡汇交定理，����可以判断N必沿通过BB、O两点的连线。见图(d).3．画出下列各图中各物体和构件的受力图。图中未画重力的重量不计，所有接触均不计摩擦。解：图中指定物体和构件的受力图分别如下。(a)2 （b）(c)(d)3 (e)(f)4 (g)(h)5 (i)6 7 工程力学习题答案第二章力系的简化与平衡思考题：1.√;2.×;3.×;4.×;5.√;6.×;7.×;8.×;9.√.习题二1．平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm，求此力系向O点简化的结果，并确定其合力位置。���解：设该力系主矢为R′，其在两坐标轴上的投影分别为R、R。由合力投影定理有：xy角Rx=∑xi=1.53−=-1.5kNRy=∑yi=−2kN22R′=(∑xi)+(∑yi)=2.5kNsinα=∑yRi/′=−0.8；cosα=∑xRi/′=−0.6α≈53°（合力或主矢与x轴所夹锐角）由合力矩定理可求出主矩：���3M0=∑MF0()i=×30.310×−15000.21008020000.5×−−−×=−580N.m合力大小为：R=R"=2.5kN，方向α≈53°如图所示。580位置：d=M′/R==0.232m=23.2cm，位于O点的右侧。02500�2．火箭沿与水平面成β=25角的方向作匀速直线运动，如图所示。火箭的推力F=100kN与运动1�方向成θ=5角。如火箭重P=200kN，求空气动力F和它与飞行2方向的交角γ。解：火箭在空中飞行时，若只研究它的运行轨道问题，可将火箭作为质点处理。这时画出其受力和坐标轴x、y如下图所示，可列出平衡方程。1 ∑y=0；F2−Gcos(θ+β)=0（G应为P）�故空气动力F=Gcos30=173kN2��由图示关系可得空气动力F与飞行方向的交角为γ=90+α=95。（α应为Υ）23．如图所示，移动式起重机不计平衡锤的重为P=500kN，其重心在离右轨1.5m处。起重机的起重量为P=250kN，突臂伸出离右轨10m。跑车1本身重量略去不计，欲使跑车满载或空载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重量P以及平衡锤到2左轨的最大距离x。解：起重机整体受力如图。满载时要使起重机��不发翻倒，需同时满足FNA≥0和∑MB()F=0，Px(+3)3−F−1.5P−10P=02NA1解得：Px(+3)≥3250（1）2��空载时，要使起重机不翻倒，需同时满足∑MA()F=0，Px−3F−4.5P=0和F≥02NBNB解得：Px≤2250（2）2由（1）、（2）两式得：P≥333.3kN，x≤6.75m2即：P=333.3kN，x=6.75m2minmax4．梁AB的支承和荷载如图，CB⊥AB，梁的自重不计。则其支座B的反力R大小为多少？B解：梁受力如图所示：��由∑MA()F=0得：22�(−××+4211040−××−140××+4Rsin30×=40（40应为4）B22=-8+10-2√2–8√2+2RBRB=5√2–1=6.07kN（-4×2×1+10-40.sin45°×1-40.cos45°×4+RBsin30°×4=0）解得；(RB=502169.7−=kN)RB=5√2–1=6.07kN5．起重机构架如图示，尺寸单位为cm，滑轮直径为d=20cm，钢丝绳的倾斜部分平行于BE杆，吊起的荷载Q=10kN，其它重量不计。求固定铰链支座A、B的反力。解：先研究杆AD如图(a)2 (下面第一种解法是弯路,请看第二种解法)(a)(b)yAECyDyAAxAD600yBxAxDACDxBBQ3310(解法1)由几何关系可知：tanα=，sinα=，CD=45sinα��由∑MA()F=0，YDi800+Qsin(800α−CD)=0∑Y=0，YA+Qsinα+YD=0解得：Y=−5.875kN，Y=−0.125kNDA再研究整体，受力如图(b),由∑Y=0，YA+YB−Q=0∑X=0，XA+XB=0��∑MA()F=0，XBi600−Q(80030010++)=0解得：Y=10.125kN，X=−18.5kN，X=18.5kNBAB(解法2)解：（1）取整体为研究对象，画受力图，列平衡方程∑Yi=0，YA+YB–Q=0YA+YB=Q=10kN（1）∑Xi=0，XA+XB=0（2）∑MD=0，XB.6-YA.8-YB.8–Q.3.1=0XB=111/6=18.5kN代入(2)式,得XA=-18.5kN取ACD杆为研究对象,画受力图∑MD=0,-YA×8–Q×0.1=0YA=-10×0.1/8=-0.125kN代入（1），得Y=-Y+10=10.125kN3 6．平面桁架的支座和荷载如图所示，求杆1，2和3的内力。解：用截面法，取CDF部分，受力如图(b),D1CD1CF1Ca/2FCF32FADF2EFFF2F3a/2FFBFAa/3a/3a/3由∑X=0，−F3=0��2∑MD()F=0，−aF−aF2=032解得：F=0，F=−F（压）323再研究接点C，受力如图（c）��aa有∑MF()F=0，F1i−F2i=0(g为×号F1.a/2–F2.a/3=0)234解得：F=−F（压）197．梁的支座及荷载如图所示，求支座的约束力。解：(a)AB梁受力如图(a)所示。QFFAxMFAyFNBbbbb(a)由∑X=0，FAX=0∑Y=0，FAY−qbF−+FNB=0��b∑MA()F=0，FNBi2bM−−Fbqb+i=0(注意:式中的“g”是“×”号，以下同)24 FM5解得：F=0，F=−+qb，AXAY22b4FM1F=+−qbNBF22b4q（b）AB梁受力如图(b)所示。由∑X=0，FAX=0Y=0，−+FF−1qbFi3+=0AB∑AYNBFAx2��1FAyFNB∑MA()F=0，Fb−qbbFi3i+NBi2b=0b2bb23313解得：F=F+qb，F=−F+qbAYNB2424(c)先研究BC梁，如图(c)所示。1���由∑MB()F=0，FNCi6cos30−2063××=0（应为sin30°）�∑X=0，FBX−FNCsin60=0�∑Y=0，FBY−206×−FNCcos60=0解得：F=120kN，F=603kN，F=60kNNCBXBY再研究AB梁.受力如图(c2)所示。FAy40kNm由∑X=0,FAX−FBX′=0FAxBFBx"A∑Y=0,FAY−FBY′=0��MAFBy"∑MA()F=0,MA−3FBY′−40=0解得:F=104kN,F=60kN,M=220kΝimAXAYA(d)先研究CD梁,受力如图(d)。12.5kN/m5kN.m由∑X=0,FCX=0FCx∑Y=0,FND+FCY−2.52×=0C��∑MD()F=0,−4FCY−+52.523××=0FCyFND5 解得:F=2.5kN,F=0,CYCX2.5kN/mF=2.5kN5kNNDFAx再研究ABC梁,受力如图(d)所示。2A由∑X=0,FAX−FCX′=0��FAyFNB∑MB()F=0,−2FAY+×−512.5212××−FCY′=0∑Y=0,FAY+FNB−2.525×−−FCY′=0解得:F=0,F=−2.5kN,F=15kNAXAYNB�8.图示夹钳夹住钢管,已知钳口张角为20,F=F。问钢管与夹钳间的静摩擦因数至少应为多少1才夹得住而不至滑落?（应为F=F’）解:取钢管为研究对象,设管、钳摩擦力为F1、F1’,受力如图.列出平衡方程:�"��"�∑X=0，F1cos10+F1cos10−N1cos80−N1cos80=0①"""根据结构的对称性及F=F知:F=F,N=N②1111""钢管处于临界状态时:F≤fN,F≤fN③1111�cos80联立可解得:f≥=0.176�cos10既钢管与夹钳的静摩擦因数至少应为0.176才夹得住而不至滑落。(解法2):由考虑摩擦时物体平衡条件与主动力大小无关,而与其方向有关(见课本P61:(4)自锁现象),且当物体处于将要滑动的临界状态时Fmax=fN=tanfmN,fm=10°即f=tanfm=tan10°=0.1769.尖劈起重装置如图所示。尖劈A的顶角为α,B块受力F作用。A块与B块之间的静摩擦因数为1f（有滚珠处摩擦力忽略不计）。如不计A块与B块的重量，求能保持平衡的力F范围。2(a)6 解：当F较小时，B块有沿尖劈向下滑动趋势，此时B块及尖劈A受力如图（a）。2对滑块B有：∑Y=0，−F1+N1cosα+Fmaxsinα=0①处于临界状态时Fmax=fN1②F1将②代入①可得：N=③1cosα+fsinα""对于尖劈A：∑X=0，−F2+N1cosα+Fmaxcosα=0既：−F+Nsinα−fNcosα=0④211sinα−fcosαtanα−f联立③④可解得：F=F=F2min11cosα+fsinα1+ftanα再求F的最大值，此时B块有沿尖劈向上滑动趋势，受力如图(b)。用上述同样的办法可求得：2tanα+fF=F2max11−ftanα因此，使系统保持平衡的力F范围为：2tanα−ftanα+fF≤F≤F1211+ftanα1−ftanα10．杆子的一端A用球铰链固定在地面上，杆子受到30kN的水平力的作用，用两根钢索拉住，使杆保持在铅直位置，求钢索的拉力F、F和A点的约束力。T1T27 解：研究竖直杆子，受力如图示。���由∑MX()Fi=0，3049×−FT2cossinαβ=0①���∑MY()Fi=0，−6FT1+FT2coscosαβ=0②∑X=0，FT2coscosαβ+XA−FT1=0③∑Y=0，YA+FT2cossinαβ−30=0④∑Z=0，−FT2sinα+ZA=0⑤59由三角关系知：cosα==0.486，sinα==0.874106106sinβ=0.6，cosβ=0.8⑥将⑥代入①得：F=45.8kNT2将F=45.8kN代入②可得：F=26.7kNT2T1将F，F分别代入③、④、⑤可得：T1T2X=8.90kN，Y=16.67kN，Z=40.00kNAAA���既F=8.90i+16.67j+40.00k（kN）NA11．图示长方形均质薄板重P=200Ν，用球铰链A和蝶铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持在水平位置。求绳子拉力及支承约束力。（提示：由于间隙，蝶铰链约束相当于轴心为y轴的轴承，只有两个约束力分量。）解：研究板，受力如图。设CD=a，BC=b���b�由∑MY(F)=0，pi−bFTsin30=02���∑MX(F)=0，�aaFsin30−pi+Fa=0TBZ2���∑MZ(F)=0，−aFBX=0∑X=0，��F+F−Fcoa30sin30=0AXBXT��∑Y=0，FAY−FcoaT30cos30=0�∑Z=0，FAZ−PF+Tsin30+FBZ=0解得：F=200Ν，F=F=0，TBZBXF=86.6Ν，F=150Ν，F=100Ν。AXAYAZ12．作用于齿轮上的齿合力F推动胶带轮绕水平轴AB作匀速转动。已知胶带紧边的拉力为200N，松边的拉力为100N，尺寸如图所示。求力F的大小和轴承A、B的约束力。8 解：整体受力如图所示，由����∑MZ()Fi=0，−Fcos20×1202008010080+×−×=0可得：F=70.9Ν����∑MY()Fi=0−Fsin20×100+FBX×350100250200250+×+×=0可得：F=−207ΝBX����∑MX()Fi=0，−Fcos20×100−FBY×350=0可得：F=−19.1ΝBY�∑X=0，FAX+FBX+100200+−Fsin20=0可得：F=−68.4ΝAX�∑Y=0，FAY+FBY+Fcos20=0可得：F=−47.6ΝAY13.匀质杆AB长L，杆重P，A端用球铰固连于水平面上，B端靠在铅直墙壁上，如图所示。已知A点到墙的距离OA=a，杆的B端与墙面间的静滑动摩擦因数为f，试用最简单的方法求杆将要滑下时的临角角度a。解：设AB杆处于临界状态，受力如图，由∑X=0，FAX−FScosα=0���∑MZ()Fi=0，22−aF+Fl−asinα=0AXNB式中，F=fFSsNBafs解得：tanα=22l−a14．已知木材与钢的静滑动摩擦因数为f=0.6，动滑轮摩擦因数为f=0.4，求自卸货车车厢sd提升多大角度时，才能使重的木箱开始发生滑动？解：取木材为研究对象，受力如图所示由∑X=0，FS−psinθ=0（1）∑Y=0，N−pcosθ=0（2）9 式中FS=ƒSN（3）联立（1）、（2）、（3）可得：�tanθ=f=0.6，θ=arctan0.6=31S15．在图示匀质板中，已知：L=5cm，R=5cm。试求图示平面图形的形心。（提示：半圆形的形心到圆心的距离h=4/3Rπ）cy4L3L2LⅡLRⅠⅢ-2L-LL2Lx解：如图，匀质板可以看作是由三角形板，矩形板和半圆形板拼接而成122Ⅰ：∆A=×2L×3L=3L，x=−L，y=L111232Ⅱ.∆A=2L×4L=8L，x=L，y=2L222π24RⅢ.∆A=R，x=2L+，y=L33323π22π2A=∆A+∆A+∆A=3L+8L+R1232由形心公式（2-33）得：2222π24L3(L−L)8+LLi+Li(2L+)∑∆Axii323πx===3.9cm(L=R)（g应为×号）cA22π23L+8L+R222π24L3LLi+8Li2L+Li(2L+)∑∆Ayii23πy===8.18cmcA22π23L+8L+R216.房屋建筑中，为隔壁而采用的空心三角形楼梯踏步如图所示，求其横截面的形心位置。解：用负面积法122三角形：∆A=×2820×=280，x=×28，y=×20111233圆形：∆A=−16π，x=20，y=14222yA=A1+A2=280-16p28cm1020cmr=4cm20cm14cmx 2280××2816−π×203形心：x==18.4cmc28016−π2280××2016−π×143y==13.2cmc28016−π11 工程力学习题答案第七章思考题1．内力是由于构件受到外力后，其内部各部分之间相对位置发生改变而产生的。（对）2.若杆件截面性状及尺寸一定，则载荷越大，横截面上的应力越大。(对)3.在相同载荷作用下，杆件材料越软，则横截面上的应力越低。(错)4.对于各向同性材料，同一点在不同方向上的应力相等。(错)5.若杆件的总变形为零，则杆内的应力必须等于零。(错)6.若杆件在某个方向的应力等于零，则该方向的应变也必定为零。(错)7.在轴向拉伸杆中，若一横截面的位移大于另一横截面的位移，则其应力也必是前者大于后者。(错)8.对于静不定结构，各杆内力的大小与材料的弹性模量E杆的横截面面积A有关，而静定结构，各杆内力的大小与EA无关。(对)习题七1.图示阶梯杆，P=2kN、P=3kN，d=12mm、d=8mm，l=500mm。试求：（1）绘轴力1212图；（2）最大正应力。解：（1）取1-1截面右段：N=P+P=5kN112取2-2截面右段：N=P=3kN22NNi411(2)σ==12Aπd113510××4==44.2MPa2π×123NNi4310××422σ====59.7MPa222Aπdπ×822∴σ=59.7MPamax2.钢杆受力P=400kN，已知拉杆材料的许用应力[]s=100MPa，横截面为矩形，如b=2a,试确定a、b的尺寸。解：根据强度条件，应有PPσ==≤[]σAabi将b=2a代入上式，解得3P40010×a≥=m=44.72mm62i[]σ210010××由b=2a，得b≥89.44mm1 所以，截面尺寸为b≥89.44mm，a≥44.72mm。3.图示为钢制阶梯形直杆，材料比例极限s=200MPa，许用应力[]s=160MPa，各段截面面积分别为：p222A=A=400mm，A=200mm，E=200GNm/。（1）求直杆的总变形；（2）校核该杆的强度。132解：首先根据已知条件，求各段内力N=803050+−=60kN3N=3050−=−20kN2N=30kN1根据内力求各段应力3N6010×3σ==Pa=150MPa3−6A40010×33N−2010×2σ==Pa=−100MPa2−6A20010×23N3010×1σ==Pa=75MPa1−6A40010×1（1）因为σ,σ,σ均小于材料比利极限σ，所以用虎克定律求总变形123P3σL1ii△L=∑=[σ11L+σ2L2+σ3L3]i=1EE1666=⎡7510××−110010××−215010××1⎤m=0.125mm9⎣⎦20010×（2）因为σ<[]σ,σ<[]σ,σ<[]σ所以杆件满足强度要求。12324.图示AB杆在B、C两点分别受集中力作用，已知杆长2l=20cm,横截面积A=2cm，材料的比例极限s=210MPa，屈服极限s=260MPa，弹性模量E=200GPa,受力后AB杆的总伸长为0.9mm，求AC、ppBC段的应变。解：首先求各段内力N=60kNN=−40kNBCAC根据内力求各段应力3N6010×BCσ===300MPa>σBC−4PA210×3N−4010×ACσAC==−4=−200MPa<σP（这里σAC应取绝对值，去掉–号）A210×因为AC段在弹性变形范围内，可用虎克定律求应变2 6σ−20010×ACε===−0.001AC9E20010×因为BC段超过弹性范围，应该用定义求应变△L△L−εiLBCACACεBC==（eAC=DLAC/LAC）LLBCBC−3−20.910×+0.0011010××==0.01−21010×25.图示为二杆所组成的杆系，AB为钢杆，其截面面积为A=600mm，钢的许用应力s=140MPa；1p32BC为木杆，截面面积A=3010?mm，其许用拉应力[]s=8MPa，许用压应力[]s=3.5MPa。求最2tc大许可载荷P。解：B铰链的受力如图所示∑X=0-NAB+NBCcosθ=0∑Y=0-P+NBCsinθ=0解上式得N=PctgiθN=P/sinθABBC根据强度条件，求许用荷载NPctgiθAB杆：AB≤[]σ1≤[]σAA11得−662.2P1≤A1i[]σitgθ=60010××14010××=132kN1.4BC杆受压，用[σ校核强度]CNPBC2=≤[σC]AsinθiA2263−62.2得P≤[σi]Aisinθ=3.510××3010××10×2C2222.2+1.4=88.6kN3所以系统最大许可载荷P=88.6kN6.图示结构中，梁AB的变形及重量可忽略不计。杆①、②的22横截面积均为400mm，材料的弹性模量均为200GNm/。已知：L=2m,l=1.5m,l=1m,为使梁AB在加载后仍保持水平，12载荷P的作用点C与点A的距离x应为多少？解：对AB杆进行受力分析∑MB=0−NLPLx1i+i(−)=0∑MA=0−Px+NL2i=0PLx(−)Px解上二式得：N=N=12LL3 欲使加载后AB保持水平，应有△l=△l12NlNl1122△l==△l=12EAEAPLxl(−)iP(2−x)1.5iPxii11得：==L22解得：x=1.2m7.试校核图示联接销钉的剪切强度。已知P=100kN，销钉直径d=30mm，材料的许用剪应力[]t=60MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？P解：（1）剪切面上的剪力。Q=2校核销钉剪切强度3QPi410010××4τ====70.7MPa>[]τ22−6A2πd2××π30×10所以销钉强度不合格。QPi4（2）根据强度条件τ==≤[]τ2A2πd34iP410010××所以d≥==32.57mm62πτi[]2××π6010×8．木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，h=4.5cm。p=40kN。试求接头的剪应力和挤压应力。解：作用在接头上的剪力Q=P，剪切面积为bh3P4010×接头的剪切应力为τ==Pa=0.952MPa−4bh123510××作用在接头上的挤压力和挤压面积分别为P和bc，−3P4010×接头的挤压应力为σ==Pa==7.41MPaj−4bc124.510××29.由五根钢杆组成的杆系如图所示。各杆横截面积均为500mm，E=200GPa。设沿对角线AC方向作用一对20kN的力，试求A、C两点的距离改变。解：A铰链受力如图所示，4 由平衡条件°∑X=0N1−Pcos45=0°∑Y=0Psin45−N2=022解上式得N=P,N=P=10√2kN由于1222结构对称，故有N=N=10√2kN342=N=P=10√2kN12B铰链受力如图，由平衡条件∑X=0N5cos45°−N1=0解得N=P=20kN533DL1=N1.a/EA=10√2×10.a/200×10×-4500=√2×10.a33⊿L5=20×10×√2.a/200×10×500-4=2√2.×10.a22-4⊿LAC=2√(a+⊿L1)-(√2.a/2-⊿L5/2)-√2a=6.83×10.a-42-42=2√(a+√2×10a)-(√2a/2-√2×10a)-√2.a-4-8-4-8=(2√1+2√2×10+2×10-1/2+2×10-2×10-√2)a-4=(2√0.5+2×(√2+1)×10-√2)a=(2√0.5+0.0004828-√2)a=(2×0.70744809–1.414213562).a=(1.41489618-1.414213562）.a=0.0006826.a-4=6.83×10a22NiaN2a15杆系的总变形能为U=×4+2EA2EA2Pa(2+2)=2EA应用卡氏定理，A、C两点的距离改变为3∂UPa2010×aδ==(2+2)=(2+2)iA9−6∂PEA20010××50010×−3=0.68310×a5 10.厚度为10mm的两块钢板，用四个直径为12mm的铆钉搭接，若在上、下各作用拉力P=20kN，如图示，试求：（1）铆钉的剪应力；（2）钢板的挤压应力；（3）绘出上板的轴力图。解：（1）铆钉的剪应力P由题分析可得，每个铆钉剪切面上的剪力为43QPi42010×所以τ====44.23MPa22−6A4iπdπ×12×10（2）钢板的挤压应力PjPσ==jA4itdj32010×==41.67MPa−64101210×××（3）上板的轴力图11．求图示结构中杆1、2的轴力。已知EA、P、h，且两杆的EA相同。解：物块A受力如图∑X=0PN−−Nicos30°=0①12由图可知系统变形协调关系为⊿L2=⊿L1cos30°NLiNLi2211即=cos30°EAEA将L=2h，L=3h代入上式213得：N=N②214将②式代入①式，解得N=0.606PN=0.455P126 工程力学习题答案第八章轴的扭转判断题：1.传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩也越大。(错)2.扭矩是指杆件受扭时横截面上的内力偶矩，扭矩仅与杆件所收的外力偶矩有关，而与杆件的材料和横截面的形状大小无关。(对)3圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围内成立。(错)4.一钢轴和一橡皮轴，两轴直径相同，受力相同，若两轴均处于弹性范围，则其横截面上的剪应力也相同。(对)5.铸铁圆杆在扭转和轴向拉伸时，都将在最大拉应力作用面发生断裂。(错)6.木纹平行于杆轴的木质圆杆，扭转时沿横截面与沿纵截面剪断的可能性是相同的。(错)7.受扭圆轴横截面之间绕杆轴转动的相对位移，其值等于圆轴表面各点的剪应变。(错)习题八1．直杆受扭转力偶作用如图所示，作扭矩图并写出|T|max2．直径D=50mm的圆轴，受到扭矩T=2.15kN.m的作用。试求在距离轴心10mm处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。3−3TiρTiiρ322.1510××1010××32解：τ====35MPa（单位：ρ44−12IπiDπ×50×10P4Nm.m/m）3T2.1510××163截面上的最大剪应力为：τ===87.6MPa（单位：Nm/m）max3Wπ×0.05P1 3．功率为150kw，转速为15.4r/s的电动机轴如图所示，轴外伸端装有带轮，试对轴进行强度校核。已知：[τ]=30MPa，d=135mm，d=90mm，d=75mm,d=70mm,d=65mm。12345N150解：外力偶矩m=9550=9550=1550N.mn15.460×由题可知，d为危险截面。4T155016i155016×所以τ====23MPa<[]τmax33−9Wπidπ×70×10P4所以满足强度要求。4.传动轴的转速n=8.3r/s，主动轮1的输入功率N=368kw，从动轮2、3分别输出功率N=147kw、12�2N=221kw。已知[]t=70MPa，[]q=1/m，G=80GN/m。（1）试按强度条件与刚度条件求AB段的直3径d，（2）如AB段与BC段选用同一直径d，试确定d的大小。（3）按经济观点，各轮应如何安排更为1合理？解：首先计算外力偶矩N3681m=9550=9550=7057N.m1n8.360×N1472m=9550=9550=2819N.m2n8.360×m=4238N.m3所以AB段扭矩T=m=7057N.mAB1BC段扭矩TBC=m3=4238N.mT16iTABAB(1)根据强度条件τAB==3≤[]τWπdP116T167057×可确定轴AB段的直径d≥3AB=3=80mm16πτ[]π×7010×由刚度条件θAB=TAB×18032TAB180≤[]θ=×4GIπGπdπP可确定轴AB的直径：2 180TABi32180705732××2d≥4=4=84.7mm（单位：°Nm/NmNm/Nm/（/（（N/mN/N/mm°）1292Giπθ[]8010××π×1(2)因为T>T，所以若AB和BC选用同一直径，轴的直径取d=85mmABBC（3）主动轮放在两从动轮之间，可减小最大扭矩值、减小轴的横截面积，经济合理。5．实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器连在一起，已知轴的转速n=1.67r/s，传递功率N=7.4kW，材料的[]t=40MPa，试选择实心轴的直径d1和内外径比值为1/2的空心轴的外径D2。解：轴所传递的扭矩为N7.4T=9550=9550×=705N.mn1.6760×由实心轴强度条件：T16Tτmax==3≤[]τWπidρ1可得实心圆轴的直径为16T16705×d≥3=3=44.8mm16πτ[]π×4010×空心圆轴的外径为：16T16×705=45.7mm（参考例8-2，用W=πD3（1-α4）/16）D≥3=3p2464πτ[](1−α)π×4010××(1−0.5)6．机床变速箱第Ⅱ轴如图所示，轴所传递的功率为N=5.5kW,转速n=200r/min，材料为45钢，[]t=40MPa，试按强度条件设计轴的直径。解：轴所传递的扭矩为T=9549N=95495.5=263N.mn200由圆轴扭转的强度条件T16iTτ==≤[]τmax3Wπidρ可得轴的直径为16T16263×d≥3=3=32.2mm6πτ[]4010××π取轴径为d=33mm27.某机床主轴箱的一传动轴，传递外力偶矩T=5.4N.m，若材料的许用剪应力[]t=30MPa，G=80GN/m,3 �[]q=0.5/m，试计算轴的直径。解：由圆轴扭转的强度条件T16iTτmax==3≤[]τWπidρ1可得轴的直径为16T165.4×d≥3=3=9.7mm16πτ[]π×3010×由圆轴刚度条件32T180T180=i≤[]θθ=Q=i≤[θ]4GdππGIπ2P可确定圆轴直径180×Ti321805.432××d≥4=4=16.7mm2292Giπi[]θ8010××π×0.5所以取直径d≥16.7mm8．驾驶盘的直径Ø=520mm，加在盘上的力P=300N，盘下面竖轴的材料许用应力[]t=60MPa。（1）当d竖轴为实心轴时，试设计轴的直径；（2）如采用空心轴，且a==0.8，试设计轴的内外直径；（3）比D较实心轴和竖心轴的重量。解：方向盘传递的力偶矩−3m=PØ=30052010××=156N.m（1）由实心轴强度条件T16Tτ==≤[]τmax3Wπdρ得轴的直径：16T16156×d≥3=3=23.6mm6πτ[]π×6010×(2)空心轴的外径为：34（公式：τmax=T/WP≤[τ],Wp=πD（1-α）/16)16T16156×D≥3=3=28.2mm464πτ[](1−α)π×6010××(10.8)−d=Diα=28.20.8×=22.6mm2WAd实实实（3）===1.9622WAD−d空空空空9.图示圆杆两端固定，试求AB、BC段的扭矩与杆内最大切应力。4 解：由外力偶的作用，A、C两点对圆杆作用的外力偶分别为m,m。AC所以T=−mT=mABABCC由平衡条件有：m+m=m①AC由变形协调关系，ϕAB=ϕBC根据θ=ϕ/L，ϕ=TL/GIp−mLimi2LAC得+=0得到m=2m②（由ACGIρGIρ22将②代入①得：T=m=m=×30=20kN.mABA33m1T==×30=10kN.mBC33杆内最大切应力位于AB段取3T2010××1640ABτ====12.73MPamax3Wπ×0.2πP5 工程力学习题答案第九章梁的弯曲判断题：1.梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。（对）2.最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。（错）3梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。而与外力偶无关；其弯矩值等于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和。（对）4.两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图也不一定相同。（错）5.纯弯曲时，梁变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。（错，P201图9-15）6.平面弯曲时，中性轴垂至于载荷作用面。（对）7.若梁上某一横截面上弯矩为零，则该截面的转角和挠度必也为零。（错）8.若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零，则该段梁的挠曲线必定是一直线段。（对）9.两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同，而材料不同，则两梁的挠曲线方程相同。（错E不同）10.不论载荷怎样变化，简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。（错）习题九1．设P、q、M、l、a均为已知，如图所示试列0出各题的剪力方程和弯矩方程式，绘出Q、M图并出Q值和M值。maxmax（a）解：AB段：Qx()=−P(0≤x≤L)Mx()=−Px(0≤x≤L)BC段：Qx()=−P(L≤x≤2)LMx()=2PLPx−(L≤x≤2)LQ=PM=PLmaxmax（b）解：AB段Qx()=−qxL(0≤x≤)212Mx()=−qx2L(0≤x≤)29BC段Qx()=−qx+qL8L3L(≤x≤)221 12992Mx()=−qx+qLx−qL2816L3L(≤x≤)225qL12Q=M=qLmaxmax882．绘出图示各梁的剪力图和弯矩图，求出Q和M，maxmax并用微分关系对图形进行校核。（a）解：根据平衡方程求支反力16R=kN，A326R=kNB3做剪力图，弯矩图20Q=kN，max364M=kN.mmax9（b）解：根据平衡条件球求支反力2pR=A3pR=B3做剪力图、弯矩图2pQmax=3Mmax=pa2 3．（a）∑MB=0,-R2A.4a-qa+q.2a.a=0,RA=qa/4(b)∑MB=0，qa×5a/2–RA.2a+qa.a+qa.a/2=0RB=7qa/4RA=2qa,RB=qaQA=qa/4,QB=QC–q.2a=qa/4-2qa=-7qa/4(a)M22A=0,MD=0+qa/4×a=qa/4(b)MA=0,MB=MA+0.5(0-qa).a=-qa/2,M22222E=MD+qa=5qa/4MC=MB+qa.a=-qa/2+qa=qa/2M222C=ME+qa/4×a=3qa/2MD=MC+0.5.(0–qa).a=qa/2–qa/2=0顶点M2F=MC+0.5(qa/4+0)×(2a×1/8)=49qa/324.已知图示各梁的载荷P、q，M和尺寸。（1）作剪力图和弯矩图；（2）确定Q值和|M值。maxmax解（a）（a）(b)RA=4Pa/3RB=5Pa/3QQ4qa/33+qa/3xx--qa5qa/3 M5pa/3M4pa/3x+x-qa/223qa/22(d)∑MB=0,-RA.a+qa/2×3a/4=0,RA=3qa/8，RB=qa/8，QA=3qa/8，Q2C=3qa/8-q.a/2=-qa/8，MA=0，MF=0+0.5.（3qa/8+0）.3a/8=9qa/128M2C=MF–0.5.q.a/8.a/8=qa/16MB=MC–qa/8×a/2=0QQ3qa/83m/2ax++-xqa/8M3m/2a9qa/1282m/2Mx+-+-xm3m/275()eQmax=pMmax=pa22Q7p/2+x--p5p/2M5pa/2+x-pa4 (f)Qmax=30knMmax=15knm?（g）|Q|2max=qa|M|max=qa/2QQ30kN10kN+1x2x(g)Qmax=+qaMmax=qa-2-10kN-30kNqaMM2qa/2xx-+5kNm.-15kNm.15kNm.-qa12(h)Qmax=Mmax=qaqa/22228qa/2QA=RA=qa/2,QB=qa/2,QC=QA–q.a=-qa/2;MA=0,MC=MA+0.5(qa/2-qa/2)=0M2F=MA+0.5×(qa/2+0)×a/2=qa/8;Qqa/2qa/2x++-qa/2Mqa/82+x-2qa/85.设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。(a)q=1kN/m4kN3kN2kN3kNQ3kN1kNDx5BCA1kN3kN2m2m4m M6kNm.4kNm.4.5kNm.+xMA=0,MB=0+3×2=6,MC=6-1×2=4,MF=4+0.5×(1+0)=4.5,MD=4.5+0.5×(0-3)×3=0(b)20kN/m10kN20kN/m10kNQ10kNxABECD10kN10kN1m1mM2.5kNm.+x-2.5kNm.MB=0+0.5×(-10+0)=-2.5MC=0+0.5×(10+0)=2.5b26.矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m,=,q=10kN/m,[σ]=10MPa,试确定此梁横截面尺寸。h3解：梁的最大弯矩发生在固定端截面上，1212Mmax=ql=(104)=80knm223梁的强度条件m8010´[]s==?sw12bh66 632680103368010?3将b=h代入上式得£[s]，h³()m263221010hh×32所以h=416mm，b=h=277mm3d327．简支梁承受布载荷如图所示。若分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且D=40mm,=,1D52试分别计算它们的最大正压力。并问空心圆截面比实心截面的最大正应力减小了百分之几？解：因空心圆与实心圆面积相等，所以π2π22D=(D−d)1224422223242D=D−d=D−(D)=(D)12222255将D=40mm代入上式，得：1D=50mm，d=30mm22均布荷载作用下的简支梁，最大弯矩产生在梁跨度中间截面上232ql210××2M===1kN.mmax88实心圆截面梁的最大应力3M32M3210×maxmaxσ====159MPamax33wπDπ(0.04)11空心圆截面最大应力3MM3210×maxmaxσ′====93.6MPamax33w2πD2⎡d24⎤π(0.05)1()3⎡−4⎤⎢1(−)⎥⎢⎥32D⎣5⎦⎣2⎦空心圆截面梁比实心圆截面梁的最大正应力减少了σ−σ′15993.6−maxmax==41.1%σ159max8．T字形截面梁的截面尺寸如图所示，若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩M=30kNm,试求：（1）截面上的最大拉应力和压应力；（2）证明截面上拉应力和等于压应力之和，而其组成的合力矩等于截面的弯矩。解：（1）计算T字形截面对形心轴的惯性矩7 33I=50150×+50150××502+150×50+50150××502Z121244=5312.510×mm最大拉应力发生在截面最下边缘3−3Myi3010××7510×1σ===42.35MPatmax4−12I5312.510××10z最大压应力发生在截面最上边缘3−3Myi3010××12510×2σ===70.59MPacmax4−12I5312.510××10zy1（2）证明：①中性轴上侧压力之和为（拉、压力公式：Fc=∫0My/Iz×b1dy）0.125MyiMi0.050.125M−4F=i0.05idy=ydy=i3.9062510×C∫0∫0IIIZZZ2-4=M/IZ[（1/2）×0.125-0]=M/IZ0.05×0.5×0.015625=M/Iz×3.91×10Nm中性轴下侧拉力之和为0.025Myi0.075MyiF=i0.05dy+i0.15idyt∫0I∫0.025IZZM⎡0.0250.075⎤=0.05ydy+0.15ydyI⎢⎣∫0∫0.025⎥⎦ZM−4=i3.9062510iIZ∴F=F所以截面上拉力之和等于压力之和。ct②截面上合力矩为2220.125My0.125My0.075My∫0i0.05idy+∫00.05dy+∫0.0250.15dyIIIzzzM−9=i0.0510ii1062500Iz−90.0510ii1062500=Mi=M4−125312.51010ii所以合力矩等于截面上的弯矩。9.T形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示，材料的许用拉应力[σ]=40MPa，许用压应力t[σc]=80MPa，试求梁的许可载荷[p]解：梁的弯矩图如图，弯矩的两个极值分别为µ1=0.8P,MA=2P×1.4-P×2=0.8Pµ2=0.6P,MC=-0.6P截面对形心轴的惯性矩为8 32(Iz=bh/12+Ah1,h1腹=153.6–100=53.6mm,h1翼=200-153.6+25=71.4mm)33⎡50200×215050×2⎤4I=⎢+5020053.6××++5015071.4××⎥mmz⎣1212⎦M4=10180cm0.8p根据弯曲正应力强度条件+Mσ=y≤[σ],M≤[σ].Iz/ymax_XmaxmaxIz0.6p由A截面的强度要求确定许可荷载。由抗拉强度要求得(A截面下缘拉应力最大)6−81[σt]Iz14010××1018010×P≤×=×N=52.8KN（y1=200-153.6+50=96.4mm−20.8y0.89.6410×1–2=9.64×10m)由抗压强度要求得(A截面上缘压应力最大)6−81[σc]Iz18010××1018010×-1P≤×=×N=66KN(y2=153.6mm=1.536×10.)−20.8y0.815.3610×2由C截面的强度要求确定许可载荷：由抗拉强度得：(C截面上缘拉应力最大)6−81[σt]Iz14010××1018010×P≤×=×N=44.1KN−20.6y0.615.3610×2显然C截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。许用载荷为P≤44.1KN10．矩形截面的变截面梁AB如图示，梁的宽度为b,高度为2h（CD段）和h(AC、DB段许用应力为[σ]，为使截面C、E、D上的最大应力均等于[σ]，加强部分的长度2a应取多少？解：由题意可得C,D,E截面的弯矩值RA=RB=P/2PLM=M=i(−a)CD22PLM=iE22M截面上最大应力值为σ=maxWZMMCE欲使截面C,D,E上最大应力相等，则有=WWZ1Z2PLPL(−a)i2222即=12b2bh(2)h669 3L解得2a=411．直径d=7.５cm圆截面钢梁承受载荷如图示,钢的弹性摸量E=200GPa,试求梁内最大正应力,AB段变形后的曲率半径和跨度中点C的挠度。解：梁弯矩图如图所示MRA=RB=P，Mmax=10×0.4=4kNm梁内最大正应力3M410××32maxσ==max3−6Wπ×7.5×10z_X=96.58MPaAB段为线弯曲，变形后曲率半径4kN.m94−8EI20010×××π7.5×10zρ===77.4m（由P203公式9-8）3M410××64跨度中点C的挠度。2222y=ρ−ρ−L=77.4−77.4−0.75=3.6mmCAC212.筒化后的电动机轴受载及尺寸如图所示，E=200GN/m,定子与转子间的间隙δ=0.35mm，试校核刚度。解：电动机轴惯性矩44−12πdπ×130×1074I===1.410×mmZ6464C点的挠度34pl5gly=yp()+yq()=−−ccc48EI384EI（查表9-11⑤、⑦中ymax）3334−n⎡3.510××151.03510×××1⎤=⎢−⎥97−1220010××1.410××10⎣48384⎦=−0.0308mm因为y=0.0308<0.35c所以电动机轴满足刚度要求。13．用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。10 解：（a）查表9-1②、④32查表9-1②挠度方程，将x=c=ι/2代入y=-Px（3c–x）/6EI，得：yA1=-Pι/24EI，23查表9-1④将x=ι/2代入挠度方程；得：yA2=-m（ι/2）/2EI=-Pι/8EI22/将c=ι/2代入②，得θB=-P（ι/2）/2EI=-Pι8EI22plmlplQ=Q=−，Q=−=−B1AB28EIEIEI333pl由叠加原理有yA=yA1+yA2=-Pι/24EI-Pι/8EI=−6EI29plQ=Q+Q=−BB1B28EI（b）由图查表9-1⑦，将x=ι/2代入挠度方程和转角方程，得：当q满布整梁时x=ι/2处的挠度（当q不满布时，应乘以长度比值）。45qlyA1=fA1=384EI45ql所以，yA=1/2•yA1=()↓768EI由表9-1⑦，用ι/2代换转角公式中的ι，得当q满布时ι/2处的转角，332ql1qlQ=，所以Q=Q=(↗)(Q应为θ)B1BB1384EI2384EI11 工程力学习题答案第十章组合变形1.已知单元体应力状态如图示（应力单位为ΜΡα），试求：（1）指定斜截面上的正应力和剪应力；（2）主应力的大小、主平面位置；（3）在单元体上画出平面位置和主应力方向；（4）最大剪应力.°解：（1）α=30斜截面上的应力：3050+3050−σ=+cos(230)(20)sin(230)×°−−×°50α22=52.3ΜΡα2030°3050−30τ=sin(230)20cos(230)×°−×°α2=18.7−ΜΡα（2）主应力和主平面30+5030+5022σ1σ=+()+20max22σ2=62.36ΜΡα31.72°30+5030-5022σ=−()+20min22=17.64ΜΡα2(20)×−tg2α=−=−2°3050−σα=−31.72°2°σ1（3）图σ=62.36ΜΡα1σ=17.64ΜΡα23050−22（4）τ=()+20=22.36Mpamax22.图示起重机的最大起重吊重量为P=40kN，横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235，许用应力[σ]=120Mpa，试校核横梁的强度。解：（1）外力分析：取AC为研究对象，受力如图，小车位于AC中点（此时梁的弯矩最大），平衡条件∑M()F=0:CNsin30°×3.5−×P1.75=0ABN=P=40kNAB∑F=0:Y°NABY+Nsin30−P=0YcCAB30°PXcY==20kNC2p1.75m1.75m∑F=0:X1 X=Ncos30°=34.64kNCAB（2）内力分析：见轴力图，弯矩图。AC梁为压，弯组合变形，危险截面位于AC中点。Mmax=201.75×（=YC×3.5/2）N=35kN.mX(-)34.64kNM35KN.M（3）应力分析18号槽钢(P388)3XW=×2152.2cmZ2A=29.292cm×363σ=σ′+σ′′=34.6410/(29.292100)3510/(2152.210)×××+×××=121ΜΡαmaxmax(σ拉+α弯max=N/A+Mmax/wz，二应力均为拉应力)（4）强度分析：∆σ121120−−3==8.310×=0.83%<5%满足要求（分母应为[σ]）[]∆120为什么小车位于AC的中点时AC杆的弯矩最大：NABYc（1）由截面法可知：小车左侧剪力为YC＞0，右侧为YC-P＜0，30°故小车P的作用点为弯矩图直线升、降区间的转折点，该截面Xcp弯矩最大。求小车位于距C端为x截面上的弯矩：1.75m1.75m由∑MA=0，P×(L-x)-YC.L=0,得YC=(L-x)P/L2由YC对小车作用点之矩:M=YC•x=(L-x)P/L•x=-Px/L+Px，当M’=-2Px/L+P=0时,即x=L/2时,弯矩M值最大.3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径d=30mm,材料为Q235钢，[]σ=80Mpa，试按第三强度理论求最大起重载荷Q。解：（1）轴的外力Q向轴简化为Q—弯曲力偶M=200Q=T—扭转n（2）内力—见图危险截面位中点：M=200Q（T=200Q）nQLM=max4MnQ600×==150Q（Nmm）200Q42X 轴发生弯曲与扭转组合变形（3）强度计算：22M+Mnmax应为T）σxd3=（MnWMZ22(200+150)×Q150Q=≤[]σ30.130×30.130××80Q≤X22150+200=860N∴最大起重载为860N.4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮C直径为d=300mm,其上作用着铅直切向力P=5kN，齿c1轮D的直径为d=150mm,其上作用着水平切向力P=10kN。若[σ]=100Mpa，试用第四强度理论求轴D2的直径。解：（1）外力分析，将P，P向AB轴简化，如图12CABd300Dcm=P•=×5122=750KN.mm（2）内力分析：P1P2150300150在m作用下轴发生扭转，在P、P作用下轴发生弯曲变形，所以AB轴为弯曲组合变形。123M:M=P×150ZC114P2P1=562.5KN.mmmm1MnM=×562.5D23=187.5KN.mmX3M:M=P×150MzyD124562.5N.m750N.m=1125KN.mm1XM=×1125C23=375KN.mmMY1125N.m22M:M=562.5+375C=676.1KN.mmX22M=1125+187.5D=1140.5KN.mm1140.5N.mM676.1N.m3X (3)强度运算：22M+MDnσ=≤[]σxd4WZ223(1140.5+750×10)32×d≥3=51.8mmπ×1005．已知应力状态如图所示（应力单位为：MPa）。（1）分别用图解法和解析法求（a）、(b)中指定斜截面上的应力；（2）用图解法求（c）、（d）、（e）、（f）上主应力的大小与方向，在单元体上画出主平面的位置，求最大剪应力。3020（1）（a）解析法解：5030+5030−°20σ=+cos60α50502230°5045°=45MPa5030−°τ=sin60=8.66MPaα(b)2解析法求解：(a)5050σ=+cos90°−20sin90°45°2250D1=5MPa(0,50)50τ=sin90°+20cos90°2a45°250BA(50,0)=25MPa0（2）图解法：����⎧⎪σ=OA=50ΜΡa(c)1D2(0,-50)⎨����⎪⎩σ=OB=−50ΜΡa3σσ13τ=OD=50MPa40max120主平面位置（d）解：作应力图45°����40σ1=OA=55MPaσ3σ����1σ=OB=−35MPa3�����(d)ττ=CD=45MPamax13555�2α=270D1(-30,20)a（e）解：作应力图x����40σ1=OA=45MPa5520B0C2a0A����σ=OB=−45MPaD2(50,-20)335����40τ=OD=45MPaτmaxDD1(40,20)4(e)2aB0AD2(-40,20) �2α=270����（f）σ1=OA=5MPaσ3����σ3=OB=−85MPaσ1����τmax=CD1=45MPa�2α=27τ0a0σσ3120σσ3σ31(0,20)2a80B8040AC0a020(f)σ401σ3�−46.图示一钢质圆杆，直径D=200mm,已知A点在与水平线60方向上的正应变ε�=4.110×，试602求载荷P。已知E=210GNm/,µ=0.28。解：（1）绕A点取一单元体，应力状态如图：σσ�360°σ�=−cos120=σ60224Aσσ�1llσ�=−cos(60)−=σ−30224（2）由广义虎克定律得：1ε�=⎡σ�−µσ�⎤60⎣60−30⎦Epσ2.72σ=[3−µ=]σσ�604E4E3−460°421010×××4.110×σ�σ=−302.72=126.6ΜΡα（3）载荷P：2σ�2σ�πD126.6××π200605−30P=σiA=126.6×==39.7810×Ν44σ327．扭矩M=2.510×Ν⋅m作用在直径D=60mm的钢轴上，若E=210GNm/,µ=0.28，试n�求圆轴表面上任一点在与母线成α=30方向上的正应变。解：（1）绕A点取一单元体，Mn应力状态如图：DaA5 332.510××10σ�τ=−603π×60=−58.9ΜΡα�（2）σ�=−τsin230×σ3030��=58.9sin60=51ΜΡα30°�σ−60�=−τsin2(60)⎡⎣×−⎤⎦=−51ΜΡασ�−601（3）ε30�=[σ30−µσ−60]E510.28(51)−×−−3==0.31110×321010×8．薄壁圆筒扭转一拉伸试验的示意图如图所示。若P=20kN,m=600N.m,且d=50mm,δ=2mm,试求：（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主应力的大小及方向（用单元体表示）。τσmmp30°pσdσA解：（1）绕A点取单元体，应力为：33σP2010×2010×3σσ====63.66ΜΡασ11Aπδdπ×502×a03Mn60010×τ===70.63ΜΡα222πγδ2××π26×2σσ��（2）σ−60�=+cos(120)−+τsin(120)−σ122σ31�=×63.6670.63sin(120)+−4=−45.5ΜΡασ��τ�=sin(120)70.63cos(120)−−−−602=8.1ΜΡα（3）σσ2263.6663.6622σ=+()+τ=+()+70.63=109.3ΜΡαmax2222σσ2263.6663.6622σ=−()+τ=−()+70.63=−45.6ΜΡαmin2222σ=109.3ΜΡασ=-45.6ΜΡα136 2τ2(70.63)×−tg2α=−=−=2.220σ63.66��2α=65.74α=32.87007 Zy-第十章组合变形补充习题解答图10-1210-1若在正方形横截面短柱的中间开一槽，使横截面面积减少为原横截面面积的一半，如图10-13所示。试问开槽后的最大正应力为不开槽时最大正应力的几倍?图10-13−N−PP解：（1）开槽前为单向压缩状态则σ===max122A2(a)4a（2）开槽后中间段受力与轴线平行为压缩与弯曲的组合变形则aP−NM−P28Pσ=|−||=−|=max222AW(2)a124aZ2aa62(=-P/2a.a–p.0.5a/2a.a/6=2p/a)8Pσ4a2max2（3）最大应力比值为==8倍。σPmax124a10-2小型铆钉机座如图10-14所示，材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30MPa，许4用压应力［σc］=80MPa。I—I截面的惯性矩I=3789cm，在冲打铆钉时，受力P=20kN作用。试校核I—I截面的强度。图10-141 解：（1）分析铆钉机座受力，由于外力与立柱轴线平行，故其发生拉弯组合变形（2）由于材料抗拉压性能不同，需校核拉压强度33NMy2010×2010××(40087.5)+tσ=+=+=22.52.67+=25.2MPa<[]30σ=MPat4AI(100200)25+×378910×Z(第2个分子应×87.5)33MyN20010××(40087.5)(22587.5)+×−2010×cσ=−=−c4IA378910×(100200)25+×Z=22.52.67+=32.7MPa<[σ]80=MPac3(第一个分子应为20×10,结果|-35.38+2.67|=32.7MPa)所以强度足够。10-3如图10-15所示电动机带动皮带轮转动。已知电动机功率P=12kW，转速n=900r/min，带轮直径D=200mm，重量G=600N，皮带紧边拉力与松边拉力之比为T：t=2，AB轴为直径d=45mm，材料为45号钢，许用应力［σ］=120MPa。试按第四强度理论校核该轴的强度。图10-15解：（1）计算拉力T,t，由轴的平衡条件知pD9549×=(T−t)n212D9549×=t9002t=1273NT=2t=2546N（2）计算轴危险截面的扭矩和弯矩DT=(T−t)=127Nm211M=FL=(T++tG)0.8×441=(12732546600)0.8++×4=884Nm（3）由第四强度理论2 2222M+0.75T884+0.75127×σ==xd3W0.145×Z=100MPa<[]120σ=MPa所以该轴强度足够。10-4如图10-16所示圆截面杆受载荷P和m的作用。已知:P=0.5kN，m=1.2kN·m，圆杆材料为45号钢，［σ］=120MPa。力P的剪切作用略去不计，试按第三强度理论确定圆杆直径d。图10-16解：（1）计算危险截面的扭矩和弯矩T=m=1.2KNm3M=pl=0.510××0.9=450Nmmax(2)由第三强度理论22223M+T450+1200×10W≥=Z[]σ1202331440000202500+×10d≥1π×12032d≥47.5mm取d=48mm10-5如图10-17所示拐轴在C处受铅垂力P作用。已知，P=3.2kN。轴的材料为45号钢，许用应力［σ］=160MPa。试用第三强度理论校核AB轴的强度。图10-17(1)计算危险截面的扭矩和弯矩3M=p×140=3.214010××3 3T=p×150=3.215010××(2)由第三强度理论22223M+T(3.2140)×+(3.2150)××10σ==xd33W0.150×Z=52.5MPa<[]120σ=MPa轴的强度足够10-6如图10-18所示，在AB轴上装有两个轮子，轮上分别作用力P和Q而处于平衡状态。已知:Q=12kN，D1=200mm，D2=100mm，轴的材料为碳钢，许用应力［σ］=120MPa。试按第四强度理论确定AB轴的直径。(1)计算外力P，由轮的平衡条件知DD12P=Q22QD12100×2P===6KND2001(2)计算扭矩D12005T=P=×6=×610Nmm22(3)计算AB支座反力∑mF()=0AN×500150=P=350QB（应为=150P+350Q）N=10.2KNBN=7.8KNA(4)画弯矩图,经分析知D截面为危险截面4 (5)由第四强度理论确定AB轴的直径22M+T0.75σ=≤[]σxdWZ22150+6000.7522≤120（根号内应为1530+600×0.7530.1d3261090010×d≥3=51.3mm1200.1×3(根号内10应在2次根号外面)取d=22mm10-7两端装有传动轮的钢轴如图10-20所示，轮C输入功率NP=14.7kW，转速n=120r/min，D轮上的皮带拉力F1=2F2，材料的许用应力［σ］=160MPa。按第四强度理论设计轴的直径。NN(F+F)AB12Mx4.2KNm(1)计算扭矩和皮带拉力FF,12p14.7m=9549×=9549×=1170NMn120D(F−F)×=m122(T=m)1170F=N=4679N20.25F=2F=9358N12(2)画轴的受力图，计算A、B支座约束力。5 ∑mF()=0BN×350=(F+F)300,×N=12KNA12A（3）画弯矩图，经分析知B截面为危险截面（4）由第四强度理论设计轴的直径22M+0.75TDσ=≤[]σxd4WZ224210+0.751170×W≥Z[]σ3433110×0.1d≥,d≥64.6mm1603(0.1d)取d=65mm6'