to三种情形讨论其通解当t+oo时的性答:特征方程为A2+2nA+o;2=0,当系数n〉0,u;〉0时特征值的实部都小于零,所以任一通解当t4+⑴时都趋向零.10.对于二阶线性方程x"+2nx"+uj"�x=/isin(pt),(w>0,w>n>0,/i〉是常数)试讨论这个方程的通解在下列情况下当t—+oo时的性质:1)n=0且或n=0且p=w的情形:23n〉0且或n〉0且p=w的情形.41,+、I,+、If(Sm⑷—fl(t)IP2{S),.X=Cl(/9i⑴+C2ip2⑴+/-TT77T-f[S)ds
解:1)n=0且p/w时,通解为a;⑷=cisin{ujt+�2)+�-�sin(pt),解是两个正弦波的叠加.随着时间t的增加,波幅不衰减.当n=0且P=U!的情形,通解为;C⑴=cisin{cvt+C2)-�tcos{ujt),随着时间t4+00,波幅无限地增大,产生所谓的共振现2)n〉0且时,通解为HH=](0)2—p2)2+0是常数,COS0=�,sin0=解是一个衰减的正弦波和一个正弦波的叠加.随着时间t4+00,解渐近向这个正弦n>0KP=iv的情形.通解为X(t)=cie_""亡sin(f3t+C2)+-——sin(ujt——�,zntoV2/解是一个衰减的正弦波和一个正弦波的叠加.随着时间t4+00,解趋向这个正弦波.11.求解单摆运动方程+Jsin<�=0,(其中U;2=g/l是正常数)的小振幅近似方程的初值问题:4>"+o#0,0"(o)=0答:(p{t)=(pQcos{ujt)12.假设0;=⑴是二阶常系数线性微分方程初值问题x"+ax"+bx=0,x(0)=0,x"(0)=1的解,试证a;⑷=Jof{t-s)f(s)ds是二阶非齐次方程x"+ax"+bx=f⑴的一个特解,其中/⑷为已知的连续函数.证:x"⑷=(�(0)/⑴+Jqip"(t-s)f(s)ds=Jqip"(t-s)f(s)ds,x"⑴=(0)f(t)+/oif"{t-s)f(s)ds=f(t)+Jqif"{t-s)f(s)ds,所以a:丨丨⑷+ax"⑷+hx⑷==/⑴+/oW{t-s)+aip"{t-s)+bif{t—s)]/0)ds=f⑴.证毕.12*.验证积分-微分方程x{t)=w{t)+JGi2{t,s)f{s,x(s),x"(s))ds:(1)在解集相同意义下与边值问题x"=/(t,X,x"),x(a)=a,x(b)=/3:(2)42X(t)=cie"""*sin+C2)+�sin{pt—9),其中,f3=l—r?,
的等价性,以及验证估计式j:GMt,.0,02>0.4.三次实系数多项式A3+aiA2+a2A+a3的根都具有负实部的充要条件是ai>0,a2>0,as>0,>�3.1.对于非定常系统X"=:c,y"=y+t,检验平移不变性和群性质是否成立?答:不成立.因为解为a;=cie*,y=C2e*-(1+t).2.考虑平面定常系统x"=y+X(l-,y"=-X+y(l-,利用极坐标变换:;c=rcos0,y=rsin0,求出它的奇点、闭轨和整个轨道族的方程,并画出它们的分布草图.解:盖=r(1——),盖=—1,奇点为工=0,y=0,闭轨为r=1.除奇点外,轨道族方程的参数方程为Vl+cie-*可见这些轨道随着时间的增加,都是顺时针方向围绕原点盘旋,除7闭轨r=1外,都邊向丨运轨r=1.消i参数得除奇点夕轨道方程图略.3.试证以下论断1)若Z是自治系统的闭轨,则=々=L2)若有界轨道;的a;(a)极限集合��⑷是只由一点Q构成的,艮={Q},则Q必为奇点,并且当t4+oo(-oo)时轨道I趋向于这个奇点.之,舍—t—+oo(-oo)时轨道I趋向于一个点QeG,则Q必为奇点,且有ni(A)={g}.证:1)设闭轨Z的周期为r,任取闭轨Z上一点f⑷,则f(i+A;:r)=x{t),keZ,所以闭轨I上任一点是闭轨I的W(a)极限点,因此ICfti{Ai),另一方面,由于闭轨I是有界闭集,I上的任意无穷点列;?(tk)的极限点都属于I,即(A)cZ,所以=▲=Z.44r=,1丨1=f,0=-t+C2.at
2)因为={Q},而{Q}是由若干整条轨道组成的集合,因此Q是奇点.且由于极限集只有一点,所以当t4+oo(-oo)时轨道I趋向于这个奇点.反之,舍—t—+oo(-oo)时轨道I趋向手一个点QeG,则I的极限集只由一点QeG构成.由前证它必为奇点.4.试证:任何闭轨I都存在一个包围该闭轨的环域,使得在此环域内不存在奇点.证:因为在有界集合I上每一点至,都有f=fix)/0,由/(f)的连续性,存在包围Z的充分小的环域,使在此环域中/⑶+0,即在此环域中不存在奇点.5.找出下列方程组的奇点,判别在奇点处的一次近似方程组的奇解的稳定性:1)=X(1—X—,y,=y{2—如一y),解:奇点为(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2),矢量场f{x,y)的Jacobi阵为41—2x—y—X-3y2-3x-2y,奇点(0,0)处,02特征值大于零,奇点不稳定..特征值都小于零,奇点渐近稳定.,特征值都小于零,奇点渐近稳定.2A的特征方程为A2+2A-2=0,有大于零的特征值,奇_点不稳运.2)x"=9x—6y+4xy—5x�,y"=6x—6y—5xy+4y�,解:求奇点:除了明显的奇点(0,0)外,由3{3x—2y)=X(5x—4y),6{x—y)=y(5x—4�),消去5;c-4y得(y-2x)(a:-2y)=0,即y=2a:或:r=2y,从而分别得奇点(1,2)和(2,1).「矢量场的Jacobi阵为A9+4y—lOx4x—66—5y8y—5x—(在奇点(0,0)处3-22-2♦的特征方程A2—A-2(A-2)(A+1)=0有大于零的特征值,奇点不稳定.在奇点(1,2)处47-2-45特征方程A2—12A+27=(A-3)(A-9)0有大于零的特征值,奇点不稳定.在奇点(2,1)处4-721-8特征方程A2+15A+54=(A+6)(A+9)0,特征值都小于零,奇点渐近稳定45奇点(0,2)处,A=-1-60-2奇点(1,0)处,A=■-10-1‘-1奇点(1/2,1/2)处,丄4=-2.-1-3
3)y—X,y"=y——{y—x)(y2—2xy+|x"解:奇点为(0,0)及(1,1).在奇点(0,0)处矢量场的Jacobi阵为4征值1,奇点不稳定有正的特在奇点(1,1)处4513213特征方程+1=0的特征值的实部都是负的,故奇点渐近稳定.判别下列线性微分方程组A?零解的稳定性:1)�11I101I2)A22120-14)1-103-1-15)A答:1)特征方程为A3-A2-5A+51),所以零解不稳定.答:2)特征方程为(A+1)(A2+1)=0,特征值的实部都不大于零,并且特征值的实部等于零的特征值都是一重的,所以零解稳定.答:3)特征方程为A3+4A2+9A+10=0,它的系数都是正的,而且系数满足关系ai(p2=4x9=36>03=10,所以特征值的实部都小于零,所以零解渐近稳定(实际上特征多项式可分解为(A+2)(入2+2A+5).)答:4)矩阵4命阶n=3,特征方程为A3=0,A=0为二重特征值,但特征矩阵A/-yl=4的核=2/n-3=0,所以零解不稳定.答:5)特征方程为A(A+1)2=0,特征值都不大于零,并且特征值A=0是一重的,所以零解稳定.答:6)特征方程为(A+1)3=0,特征值都是负的,所以零解渐近稳定.
462-2--3221-2;3M=--3-112-3.—1200-1-1“01-1-1-10;6)A=10-110-122-35A+5=0,它有正的特征值(A=
习题3.2对于二维常实系数线性方程组f/,其中4是非奇异二阶实方阵,/是二维实常矢量.则方程有惟一的奇点.这奇点的类型为:1)当4的两特征值非零,同号时奇点是结点,特征值都为正时是不稳定结点,对应的定常解是不稳定的;特征值都为负时奇点为稳定结点,对应的定常解是渐近稳定的.(结点又可细分为正常结点(当两特征值同号但不相等时);星形结点(当4是数量矩阵A/,A/0时);退化结点(当4不是数量矩阵A/,但两特征值是相等的非零实数时).2)当4的两特征值非零,异号时奇点是鞍点,对应的定常解是不稳定的;3)当4的两特征值是实部非零的一对共轭虚数时,奇点是焦点,实部为正时奇点是不稳定焦点,对应的定常解是不稳定的;实部为负时奇点为稳定焦点,对应的定常解是渐近稳定的.4)当4的两特征值是一对非零的共轭纯虚数时,奇点是中心,对应的定常解稳定但不是渐近稳定的.平面直角坐标系中的微分方程=f{x,y),y"=g{x,y)化为极坐标(r,0)中的微分方程的公式:r"=[xf{x,y)+yg{x,y)]r-9"=[xg{x,y)-yf{x,y)]r-"�其中X=rcosQ,y=rsin0.1.求出下列方程的平衡点(奇点),并判别其类型和稳定性:1)=—4x—y—2,y"=2x—y--A]解:奇点(-1,2),特征方程A2+5A+6=0,特征值A=-2,—3,奇点为稳定结点.2)=3x+4�—2,=2x+y—3:解:奇点(2,-1),特征方程A2-4入-5=0,特征值A=5,-1,奇点为鞍点(不稳定).3)x"=X—2y,=y—1.解:奇点(2,1),特征方程入2-2入+1=0,特征值》=1,相应的特征矩阵的秩为零,故奇点为不稳定星形结点(奇结点).4)=2y—3x—2,=y—2x1:解:奇点(4,7),特征方程A2+2A+1=0,特征值A=-1,(二重),相应的特征矩阵的秩为一,所以奇点为稳定单向结点(退化结点).5)x"=X—y—3�=y—Ax1:解:奇点(2,-1),特征方程A2—2A-3=0,特征值A=-1,3,奇点为鞍点(不稳定).47
6)2x—7y--19,X—2�+5奇点(1,3),特征方程A2+3=0,特征值Ai,奇点为中心点.7)=—X一y+1,y"=X—y—h.解:奇点(3,-2),特征方程入2+2入+2=0,特征值》=-1±€,奇点为稳定焦点.8)=4x—3�—1,=2x—y—1.解:奇点(1,1),特征方程A2—3A+2=0,特征值A=1,2,奇点为不稳定结点.2.确定下列方程组的彳,限环,并判别其稳定性:1)1x"=-X+(x-y)Jx"�+y2,Iy"=-y+{x+y)[x"�de答:在极坐标下:有方程dt因此系统有闭轨r=1,根据在r定极限环.1的附近i的正负号可以判定这闭轨是不稳2)y—X(x�+一1)a/x�+’0:—X—y{x�+y2一1)+ix,y)/(0,0),ix,y)=(0,0).{x,y)+(0,0),(a;,y)(0,0).在极坐标下:有方程drdt1—r石=-因此系统有闭轨r=1,根据在r限环.dr1的附近i的正负号可以判定这闭轨是稳定极3)y"■X(x�+一1)(工2+#2一9)一y(冗2+一4):y—1)—9)+X—4).drdtr(7*2—1)(”2—9)dedt一4,因此系统有闭轨drr=l,根据在r=l的附近i的正负号可以判定这闭轨是稳定极限环.同理可得r=3是不稳定极限环.4)yy--X+?-1)X+y(x�+-1)�de因此系统有闭I·nj乂V"■工df"VJ‘d力n-y-rJUnjI"JJ1,根据在r=1的附近g的正负号可以判定这闭轨是半稳482--atdt在极坐标下:有方程二dt在极坐标下:有方程d”dtat
定极限环.3.判别下列方程是否存在极限环:1)x"=X+y+a;3/3—xy"�,y"=—x+y+x�y+2y�/3答:不存在,因为方程的方向场的散度=2+2:r2+y2〉0.2)x"=—2x+y—y"=y+—x�y.答:不存在,因为方程的方向场的散度=-(l+;z�2+2y2)<0.3)x"=y—X+y"=—x—y+y�.答:知在,因为系统只有一的奇点(0,0),(因为奇点应满足方程y=x{l-a;2),X=y(y2—1),除了原点外的#;应满足1=(1—x�)(y�—1),及1=(1—+(y2—1)2,即(1—a;2)2—(1—;r2)(y2—i)+(y2—1)2=0,从而得1—a;2=0,y2—1=0,矛盾,故没有原点外的奇点)在极坐标下有dr/dt=-r[l-r2(cos40+sin46%由于I/2Scos46»+sin46»S1,所以�在以原点为心的充分小的圆(00}的一个非空的连通分支.且foe反且设V0?)在B上连_可微,在B的闭包5上连续,且V(fo)=0.若在B上关于方程盖=f{x)的全导数I=W{x)./(f)>0,且集合M={XeBVV{x)■m=0}中不含方程的平衡点f=:?o以外的整条轨道,则平衡点是不稳定的.注:当在G上>0,且全导数在G上是正定时,这时M={0},这V函数就满足不稳定性定理的条件.1.求出下列方程组的所有平衡点(奇点),并讨论相应定常解的稳定性:_1)=ln(l+�+sinx),=2+�3sinx—8;解:奇点为〜0),在奇点处的Jacobi阵为A(-1产当k是奇数时,特征值X=-i稳定.当k是偶数时,两特征值异号,不稳定.2)x"=y,y"=-X+II{y-x"�),II>0]解:奇点(0,0),(-/x-i,0),特征方程分别为A2-4+1=0和A2-M-1=0,特征值有正的实部,所以奇点都不稳定.3)x"=y—X,y"=y——{x—y){y�—2xy+解:1.奇点为(0,0),在奇点处的Jacobi阵为at
有正的特征值1,所以奇点不稳定.2.奇点为(1,1),在奇点处的Jacobi阵为特征方程为A2++1=0,特征值都具有负实部,渐近稳定.2.研究下列线性微分方程零解的稳定性:1)x""+hx"+6x"+X=0;答:特征方程为A3+5A2+6A+1=0,0_1>0,02>0,aiO2=5.6=30>as=1>0,根据Hurwitz定理,根的实部都小于零,所以零解渐近稳定.2)x"=IIX-y,y"=ny-z,?=/xz—a:,O为常数):答:特征方程为(A—;U)3+1=(A+1—/Lt)(入2—(1+2�)A++�+l)=0,当">时零解不稳定.=-·时,零解稳定,当P<-|时,零解渐近稳定.3)=—X—yz,=X—2y+2�,=x2yz.答:特征方程A3+2A2-5A-9=0在区间(2,3)中有正根.所以零解不i急定.3.讨论VanderPol方程x"+(xa:"+X=0,(iJ,>0)解:li、为当/X〉0时,对应的方程的线性近似方程CC"—/j:c"+0:=0的特征方程A2-M+1=0有正的特征值,所以原方程的零解不稳定.4.讨论下列非线性微分方程组零解的稳定性:1)x"=y,y"=a{l—x�)y—bx,{a>0,b>0)答:零解a〉0时不稳定,a=0时稳定(取V{x,y)=hx�+y�),奇点(0,0)在a2246时是不稳定结点,00,6>0)答:零解a〉0时渐近稳定,a=0时稳定(取{x,y)=b{l-cosx)+奇点(0,0)在(X2246时是稳定结点,0<(J2<46时,是稳定焦点,a=0时是中心点.5.判别下列函数的定号性:1)V(x,y)=:2)V(x,y)=—2xy�:3)V(x,y)=—2xy�+:4)V(x,y)=+2xy+:5)V(x,y)=XcosX-hysiny.答:1)常正2)变号3)正定4)正定5)变号6.试用形如(x,y)=ax�+y�,(a〉0)的Liapunov函数确定下列方程组零解的稳定性:51
1)y"=—x"�y.解:取正定函数V{x,y)=;r2+y2,全导数�=-4;rV<0,所以方程的零解是稳定的,但不是渐近稳定的.(这从轨道方程:c2-y2=c2,当t4+00时趋向定常解(a;,y)=(±c,0),轨道方程a;?—々2=—�2,当t+00时趋向定常解(;r,y)=(0,±c)看出).2)=—X+:cy2,]/=—2x�y—y�.解:取正定函数V{x,y)=2a;2+y2,全导数—2(2x"�+是负定的,所以方程的零解是渐近稳定的.3)=—X+2一,y"=—2xy�.解:取正定函数V{x,y)=a;2+y2,全导数|=-2x�<0,所以方程的零解是渐近稳定的.因为1=0的集合{(:r,y)|a:=0}中除了奇点以外不包含其他整条轨道.4)x"=x�-2y3,y"=xy�+x�y+-y�.解:取正定函数V{x,y)=x�/2+y�,全导数|=(工?是正定的,所以方程的零解是不稳定的.7.研究下列非线性方程组零解的稳定性:1)x"=—X—y+{x—y){x�+y�)’y"=x—y+{x+y){x�+y�).解:由于线性近似方程的特征值-l±i都具有负实部,所以原方程的零解是渐近稳定的.2)x"=—y2+(x�+y�)’y"=—x�—{x�—y�)M-在区域E={lx,y)x+y<0}上V"{x,y)=-{x+y)>0,全导数�={x"+y")-{x"+y")在原点的充分小的邻域上是正定的.而(0,0)eE,因此零解是不稳定的.3)y,=:解:取正定的函数+y4,全导数I三0.因此零解稳定的但不是渐近稳定的.(因为从轨道方程就是=x�+y�=c2可见)4)—ax—xip"�y,=2x�y:(a为参数):解:取正定的函数V"(;c,y)=a;4+y2,全导数=4ax�.当a<0时零解稳定,但不是渐近稳定的.因为有定常解Or,y)=(0,c).当〉0时零解是不稳定的.因为原方程的线性近似方程有正的特征值a.、5)x"=ax-y"=2x�y,(a为参数)解:取正定的函数{x,y)=全导数$=4aa;4.当a=0时零解稳定但不是渐近稳定的.因为有轨道=x�W=c2,当a>0时零解是不稳定的,因为方程的线性近似方程有正的特征值52at
a.当a<0时零解是渐近稳定的,因为=0的集合{(a;,y)|;r=0}中除了奇点(0,0)以外不包含其他整条轨道.8.给定方程组x"=y-xf{x,y),y"=-X-yf{x,y):其中对其变量连续可微.试证:在原点的去心邻域内,若/〉0,则零解为渐近稳定:若/<0,则零解不稳定.证:取正定的Liapunov函数(a;,y)=a;?+y2,全导数I=-2(工2+y")fix,y),因此在原点的去心邻域内,若/〉0,全导数是负定的,则零解为渐近稳定的:若/<0,全导数是正定的,则零解不稳定.9.给定二阶半线性方程x"+f{x)=0,其中/(0)=0,且当;c7�0时有;c/Or)〉0(对—0)试将它化为二维一阶方程组(令;c=x,y=x"),并用形如V(x,y)=“2+Jof(s)ds的Liapunov函数讨论方程组零解的稳定性.解:将二阶方程化为二维方程组如下:x"=y,y"=-f(x).由题设条件,Liapunov函数是正定的,全导数g=0,因此零解是稳定的.10.一小珠子光滑地串在一个半径为i?的圆上(圆垂直于水平面(X-y平面),z轴与圆的一直径重合,当这个圆以常角速度>0绕(整直向上的)Z轴转动时,珠子的运动方程为——sinv—u)cosysind=j,dtR这里将极坐标固定在圆上(以圆心为极点以Oz为极轴),0为极角,f?〉0为重力加速度常数.试将珠子运动方程化成二维一阶方程组,找出其平衡点(即奇点),并讨论平衡点的稳定性.解:设:r=0,y=则方程化为方程组:x"=y,y"=sinxcosa;)·奇点为A=(0,0),B=(7r,0),当g〈io2R时,还有奇点C=(xe,0)=(±arccos(-Jjj,0),奇点4是鞍点(不稳定).当9<时,奇点B539.a2a■anfat
是鞍点(不稳定),C是线性近似方程的中心.当g>u;"R时,B是线性近似方程的中心.当g=uPR时,奇点B是非正则奇点(特征值全为零).对于中心时的B,C,和非正则奇点的B的稳定性,可仿习题9的方法构造Liapunov函数来穷j定.但根福物理意义可知,它们如应该是稳定的.实际上,当g>cv"R时,对于B点,取正定的T/函数(实际上是轨道方程的积分)V{x,y)=y2+4sin2f�cos�而全导数�=0,因此,i?点是稳定的.当50,y>0)即这个生态系统的数学模型为Volterra-Lotka捕食方程:‘dx.n——=Ax—Bxy�0,仅在平衡点T/=0,全导数dt所以平衡点稳定.(注,因为容易证明es21+S,S〉-1时不尋式两边取对数得S>ln(l+s),令s=p-1,因此1>Inp,从而1�(2;,y)在第一象限上非负,仅在平衡点为零)13*.讨论下列方程组的分支问题.1.x"=X—2y—y"=y—x"�+IX.解:奇点是y)=([1±(1+8⑷i/2]/4,[1±(1+8⑷1/2—4/x]/8).在奇点的线性近似方程的特征方程的根是:Ai=l+[2±(l+8/x)i/2]i/2,A2=1-[2±(1+8/x)i/2]i/2,因此对于奇点=([1+(1+8�)�2]/4,[1+(1+8�)—4�]/8)在Pe[-1/8,00)时保持为&点.�<—1/8时,这奇点消失.对于奇点Or,y)=([1-(1+8⑷1/2]/4,[1-(1+8⑷I/2-圳/8)在[-1/8,0)时保持为鞍点.-1/8时,这奇点消失.在/xe[0,3/8]时,奇点为不稳定结点,在〉3/8时,奇点为不稳定焦点.因此分支值为/U=3/8(结点变焦点,稳定性不变)II=0(鞍-结分支),及�=-1/8(奇点消失).2.x"y,y"=[{x+1)2-i�+y][{x-1)2+/x+y].解:奇点是(;r,y)=(-1±乂/2,0)及Or,y)点的线性近似方程的特征方程分别为:2(2干2/�1/2+⑷入干4乂/2(2干2/�1/2+n)(1±(—/x)i/2,0)在奇0及入2—2(2土2(——n)干4(—⑷1/2(2土2(—⑷1/2=0.奇点(a;,y)=(-1±/�1/2,0)当/X=0时是木i急定结点,当〉0时变为一个鞍点和一个不稳定结点,因此分支值是H=0(鞍-结分支值)奇点=(l±(-/U)i/2,0)当"=0时是不稳定结点,当/x<0时变为一个鞍点和一个不稳定结点,因此分支值是/X=0(鞍-结分支值).3.X-jx—Xy(p-2x)解:奇点是0,y,")=(0,0,c);{x,y,ii)=(-/x,0,�);及(a;,y,/x)(0,c,0),在奇点的线性近似方程的特征方程的根分别为A=±551
入=2/�土叫及入=0,当"=0时,轨线是:y=c;c2及a;=o,y=C,原点是稳定退化结点,/i/0时,原点变为鞍点而奇点(0,c(/0),0)消失.但从原点分出结点=(-/X,0,�(/0)),fi>0时是不稳定结点,/u<0时是稳定结点;因此分支值为/i=0(超临界分支值).4.X"=-[xx+y+x/{l++y�),y"=-x-[xy+y/(l++y�).解:将程角极▲标(r,60Ik为:r"=r[l/(l+7*2)—6"=-1,可见原方程只有一个奇点(x,y)=(0,0),当pe(-⑴,1)时,奇点是不稳定焦点,当/i〉l时,奇点是稳定焦点,且仅当pe(0,1)时,有一个极限环(稳定)r=[(l-WAu]i/2.因此分支值"=0及"=1都是Hopf分支值.(注:及时无极限环的结论可以从求极坐标下的方程得到,也可从求出方向场的散度(=2(l/(l+r〒-⑷得出).
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