《电磁场与电磁波》试题含答案.pdf 82页

'《电磁场与电磁波》试题1填空题（每小题1分，共10分）��µ1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度B和磁场H满足的方程为：。2∇φ=02．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。���3．时变电磁场中，数学表达式S=E×H称为。4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。��A(r)5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。二、简述题（每小题5分，共20分）��∂B∇×E=−11．已知麦克斯韦第二方程为∂t，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。12．试简述唯一性定理，并说明其意义。13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？三、计算题（每小题10分，共30分）15．按要求完成下列题目�2B=−yeˆ+xzeˆ（1）判断矢量函数xy是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。��A=2eˆ+eˆ−3eˆB=5eˆ−3eˆ−eˆ16．矢量xyz，xyz，求��（1）A+B��（2）A⋅B17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为�()−jkzE=eˆ3E−eˆ4Eex0y0 （1）试写出其时间表达式；（2）说明电磁波的传播方向；四、应用题（每小题10分，共30分）Q18．均匀带电导体球，半径为a，带电量为。试求（1）球内任一点的电场强度（2）球外任一点的电位移矢量。19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。图1U20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为0，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程；（2）求槽内的电位分布无穷远图2五、综合题（10分）21．设沿+z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图3所示，该电磁波电场�−jβzE=eˆEe只有x分量即x0(1)求出入射波磁场表达式；(2)画出区域1中反射波电、磁场的方向。 区域1区域2图3《电磁场与电磁波》试题2一、填空题（每小题1分，共10分）��1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D和电场E满足的方程为：。φρV2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为，电位所满足的方程为。3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为。4．在理想导体的表面，电场强度的分量等于零。���∫A(r)⋅dS��SA(r)5．表达式称为矢量场穿过闭合曲面S的。6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生。7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互。9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为。10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。二、简述题（每小题5分，共20分）11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。���∂B�∫E⋅dl=−∫⋅dS∂t13．已知麦克斯韦第二方程为CS，试说明其物理意义，并写出方程的微分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？三、计算题（每小题10分，共30分）�2A=−yxeˆ+yzeˆ15．矢量函数xz，试求�（1）∇⋅A�（2）∇×A��16．矢量A=2eˆx−2eˆz，B=eˆx−eˆy，求��（1）A−B（2）求出两矢量的夹角222u(x,y,z)=x+y+z17．方程给出一球族，求（1）求该标量场的梯度；(1,2,0)（2）求出通过点处的单位法向矢量。四、应用题（每小题10分，共30分）�18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为�qE=eˆ2r4πεr0（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求（1）画出镜像电荷所在的位置(x,y,z)（2）直角劈内任意一点处的电位表达式图120．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：����E=Ecos(ωt−φ)H=Hcos(ωt−φ)0e0m（1）写出电场强度和磁场强度的复数表达式�1��S=E×Hcos(φ−φ)av00em（2）证明其坡印廷矢量的平均值为：2五、综合题（10分） 21．设沿+z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场�−jβzE=eˆEe只有x分量即x0(3)求出反射波电场的表达式；(4)求出区域1媒质的波阻抗。区域1区域2图2《电磁场与电磁波》试题3一、填空题（每小题1分，共10分）1．静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或方程的解是唯一的，这一定理称为唯一性定理。2．在自由空间中电磁波的传播速度为m/s。3．磁感应强度沿任一曲面S的积分称为穿过曲面S的。4．麦克斯韦方程是经典理论的核心。5．在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生，使电磁场以波的形式传播出去，即电磁波。6．在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为。7．电磁场在两种不同媒质分界面上满足的方程称为。8．两个相互靠近、又相互绝缘的任意形状的可以构成电容器。9．电介质中的束缚电荷在外加电场作用下，完全脱离分子的内部束缚力时，我们把这种现象称为。10．所谓分离变量法，就是将一个函数表示成几个单变量函数乘积的方法。二、简述题（每小题5分，共20分）���∂D∇×H=J+11．已知麦克斯韦第一方程为∂t，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述什么是均匀平面波。13．试简述静电场的性质，并写出静电场的两个基本方程。14．试写出泊松方程的表达式，并说明其意义。三、计算题（每小题10分，共30分）�25E=eˆr215．用球坐标表示的场r，求E（1）在直角坐标中点（-3，4，5）处的；E（2）在直角坐标中点（-3，4，5）处的x分量�2A=−xeˆ+yeˆ+xeˆ16．矢量函数xyz，试求�（1）∇⋅A�xy（2）若在平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A穿过此正方形的通量。22u(x,y)=x+y17．已知某二维标量场，求（1）标量函数的梯度；(1,0)（2）求出通过点处梯度的大小。四、应用体（每小题10分，共30分）�−jkzE=eˆ3Ee18．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为x0（3）试写出其时间表达式；（4）判断其属于什么极化。q=−4Cq=4Cy=4(0,0,4)19．两点电荷1，位于x轴上x=4处，2位于轴上处，求空间点处的（1）电位；（2）求出该点处的电场强度矢量。U20．如图1所示的二维区域，上部保持电位为0，其余三面电位为零，（1）写出电位满足的方程和电位函数的边界条件（2）求槽内的电位分布 ba图1五、综合题（10分）21．设沿+z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波为沿x方向的线极化，设电场强度幅度为E0，传播常数为β。(5)试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式；(6)求出反射系数。区域1区域2图2《电磁场与电磁波》试题（4）一、填空题（每小题1分，共10分）�A=eˆ+eˆ+eˆ1．矢量xyz的大小为。2．由相对于观察者静止的，且其电量不随时间变化的电荷所产生的电场称为。3．若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是直线，则波称为。4．从矢量场的整体而言，无散场的不能处处为零。5．在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，使电磁场以的形式传播出去，即电磁波。6．随时间变化的电磁场称为场。7．从场角度来讲，电流是电流密度矢量场的。8．一个微小电流环，设其半径为a、电流为I，则磁偶极矩矢量的大小为。9．电介质中的束缚电荷在外加作用下，完全脱离分子的内部束缚力时，我们把这种 现象称为击穿。10．法拉第电磁感应定律的微分形式为。二、简述题（每小题5分，共20分）11．简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。12．试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。13．试简述静电平衡状态下带电导体的性质。14．什么是色散？色散将对信号产生什么影响？三、计算题（每小题10分，共30分）23z()ψ(x,y,z)=xy+eP1,−1,015．标量场，在点处（1）求出其梯度的大小（2）求梯度的方向��16．矢量A=eˆx+2eˆy，B=eˆx−3eˆz，求��（1）A×B��（2）A+B�17．矢量场A的表达式为�2A=eˆ4x−eˆyxy�（1）求矢量场A的散度。�(1,1)（2）在点处计算矢量场A的大小。四、应用题（每小题10分，共30分）+q(−a,0,0)−2q(a,0,0)18．一个点电荷位于处，另一个点电荷位于处，其中a>0。(x,y,z)（1）求出空间任一点处电位的表达式；（2）求出电场强度为零的点。ρ19．真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为a，试求（1）球内任一点的电位移矢量（2）球外任一点的电场强度µ和µ20．无限长直线电流I垂直于磁导率分别为12的两种磁介质的交界面，如图1所示。（1）写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程B和B（2）求两种媒质中的磁感应强度12。 �B1µ1�B2µ2图1五、综合题（10分）21．设沿+z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，入射波电场�−jβzE=eˆEe的表达式为y0（1）试画出入射波磁场的方向（2）求出反射波电场表达式。图2《电磁场与电磁波》试题（5）一、填空题（每小题1分，共10分）1．静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一定理称为。2．变化的磁场激发，是变压器和感应电动机的工作原理。3．从矢量场的整体而言，无旋场的不能处处为零。4．方程是经典电磁理论的核心。5．如果两个不等于零的矢量的点乘等于零，则此两个矢量必然相互。6．在导电媒质中，电磁波的传播速度随变化的现象称为色散。7．电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的称为极化。8．两个相互靠近、又相互的任意形状的导体可以构成电容器。 9．电介质中的束缚电荷在外加电场作用下，完全分子的内部束缚力时，我们把这种现象称为击穿。10．所谓分离变量法，就是将一个多变量函数表示成几个函数乘积的方法。二、简述题（每小题5分，共20分）11．简述高斯通量定理，并写出其积分形式和微分形式的表达式。12．试简述电磁场在空间是如何传播的？13．试简述何谓边界条件。��∫B⋅dS=014．已知麦克斯韦第三方程为S，试说明其物理意义，并写出其微分形式。三、计算题（每小题10分，共30分）�2A=eˆx+eˆxy+eˆyz15．已知矢量xyz，（1）求出其散度（2）求出其旋度��16．矢量A=eˆx+2eˆy，B=eˆx−3eˆz，��（1）分别求出矢量A和B的大小��（2）A⋅B�E=eˆy+eˆx17．给定矢量函数xy，试�（1）求矢量场E的散度。()�3,4（2）在点处计算该矢量E的大小。四、应用题（每小题10分，共30分ρ18．设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为l如图1所示，求（1）空间任一点处的电场强度；（2）画出其电力线，并标出其方向。图119．设半径为a的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I的电流，设柱外为自由空间，求（1）柱内离轴心r任一点处的磁场强度；（2）柱外离轴心r任一点处的磁感应强度。q20．一个点电荷位于一无限宽和厚的导电板上方，如图2所示，P(x,y,z)（1）计算任意一点的的电位；（2）写出z=0的边界上电位的边界条件。 图2五、综合题（10分）ε=9εε=4ε21．平面电磁波在10的媒质1中沿+z方向传播，在z=0处垂直入射到20的µ=µ=µ媒质2中，120，Ek如图3所示。入射波电场极化为+x方向，大小为0，自由空间的波数为0，（1）求出媒质1中入射波的电场表达式；（2）求媒质2中的波阻抗。媒质1媒质2图3《电磁场与电磁波》试题（6）一、填空题（每小题1分，共10分）1．如果一个矢量场的旋度等于零，则称此矢量场为。2．电磁波的相速就是传播的速度。3．实际上就是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。4．在导电媒质中，电磁波的传播随频率变化的现象称为色散。5．一个标量场的性质，完全可以由它的来表征。6．由恒定电流所产生的磁场称为。7．若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是圆，则波称为。8．如果两个不等于零的矢量相互平行，则它们的叉积必等于。 9．对平面电磁波而言，其电场和磁场均于传播方向。10．亥姆霍兹定理告诉我们，研究任何一个矢量场应该从矢量的两个角度去研究。二、简述题（每小题5分，共20分）��A(r)11．任一矢量场为，写出其穿过闭合曲面S的通量表达式，并讨论之。12．什么是静电场？并说明静电场的性质。13．试解释什么是TEM波。14．试写出理想导体表面电场所满足的边界条件。三、计算题（每小题10分，共30分）�2E=−xeˆ+yeˆ15．某矢量函数为xy（1）试求其散度（2）判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度（静电场）？�������16．已知A、B和C为任意矢量，若A⋅B=A⋅C，则是否意味着��（1）B总等于C呢？（2）试讨论之。⎛2π⎞⎜4,,3⎟17．在圆柱坐标系中，一点的位置由⎝3⎠定出，求该点在（1）直角坐标系中的坐标（2）写出该点的位置矢量。四、应用题（每小题10分，共30分）18．设z=0为两种媒质的分界面，z>0为空气，其介电常数为zε=εε=5ε10，z<0为介电常数20的媒质2。已知空气中的�E=4eˆ+eˆ电场强度为1xz，求（1）空气中的电位移矢量。I（2）媒质2中的电场强度。19．设真空中无限长直导线电流为I，沿z轴放置，如图1所示。求�（1）空间各处的磁感应强度B（2）画出其磁力线，并标出其方向。图120．平行板电容器极板长为a、宽为b，极板间距为d，设两极板间的电压为U，如图2所示。求（1）电容器中的电场强度； （2）上极板上所储存的电荷。图2五、综合题（10分）ε=9εε=4ε21．平面电磁波在10的媒质1中沿+z方向传播，在z=0处垂直入射到20的媒质2中，µ=µ=µ120。电磁波极化为+x方向，角频率为300Mrad/s，如图3所示。（1）求出媒质1中电磁波的波数；（2）反射系数。媒质1媒质2图3《电磁场与电磁波》试题（7）一、填空题（每小题1分，共10分）1．如果一个矢量场的散度等于零，则称此矢量场为。2．所谓群速就是包络或者是传播的速度。3．坡印廷定理，实际上就是定律在电磁问题中的具体表现。4．在理想导体的内部，电场强度。��A(r)5．矢量场在闭合曲线C上环量的表达式为：。 q6．设电偶极子的电量为，正、负电荷的距离为d，则电偶极矩矢量的大小可表示为。PP7．静电场是保守场，故电场强度从1到2的积分值与无关。8．如果两个不等于零的矢量的叉积等于零，则此两个矢量必然相互。9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的三者符合右手螺旋关系。10．所谓矢量线，乃是这样一些曲线，在曲线上的每一点上，该点的切线方向与矢量场的方向。二、简述题（每小题5分，共20分）11．什么是恒定磁场？它具有什么性质？12．试简述法拉第电磁感应定律，并写出其数学表达式。13．什么是相速？试写出群速与相速之间的关系式。�∇⋅D=ρ14．高斯通量定理的微分形式为，试写出其积分形式，并说明其意义。三、计算题（每小题10分，共30分）S(−3,1,4)P(2,−2,3)15．自由空间中一点电荷位于，场点位于（1）写出点电荷和场点的位置矢量�（2）求点电荷到场点的距离矢量R2u=y−x16．某二维标量函数，求（1）标量函数梯度∇u（2）求梯度在正x方向的投影。�A=eˆx+eˆy+eˆz17．矢量场xyz，求（1）矢量场的散度�(1,2,2)（2）矢量场A在点处的大小。四、应用题（每小题10分，共30分）q18．电偶极子电量为，正、负电荷间距为d，沿z轴放置，中心位于原点，如图1所示。(x,y,z)求（1）求出空间任一点处P的电位表达式；（2）画出其电力线。 图119．同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间介质为空气，其间电压为U（1）求rc处的磁场强度。图120．平行板电容器极板长为a、宽为b，极板间距为d，如图2所示。设x=d的极板上的Q自由电荷总量为，求 （1）电容器间电场强度；（2）电容器极板间电压。图2五、综合题（10分）ε=9εε=4ε21．平面电磁波在10的媒质1中沿+z方向传播，在z=0处垂直入射到20的µ=µ=µ媒质2中，120。极化为+x方向，如图3所示。（1）求出媒质2电磁波的波阻抗；（2）求出媒质1中电磁波的相速。媒质1媒质2图3《电磁场与电磁波》试题（9）一.填空题（共20分，每小题4分）��1.对于某一标量u和某一矢量A：��∇×（∇•u）＝；∇•（∇×A）＝。2.对于某一标量u，它的梯度用哈密顿算子表示为；在直角坐标系下表示 为。3.写出安培力定律表达式。写出毕奥－沙伐定律表达式。4.真空中磁场的两个基本方程的积分形式为和。5.分析静电矢量场时，对于各向同性的线性介质，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为。二.判断题（共20分，每小题2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。1.电磁场是具有确定物理意义的矢量场，但这些矢量场在一定的区域内并不具有一定的分布规律。（）2.矢量场在闭合路径上的环流和在闭合面上的通量都是标量。（）3.按统一规则绘制出的力线可以确定矢量场中各点矢量的方向，还可以根据力线的疏密判别出各处矢量的大小及变化趋势。（）4.从任意闭合面穿出的恒定电流为零。（）5.在无界真空中，如果电荷分布状态已确定，则他们的电场分布就可以确定。（）6.一根微小的永久磁针周围的磁场分布与微小电流环周围的磁场分布是不同的。（）7.电场强度是“场”变量，它表示电场对带电质点产生作用的能力。（）8.导体或介质所受到的静电力可以由能量的空间变化率计算得出。（）9.静电场空间中，任意导体单位表面所受力等于该导体单位表面的电荷量与该点的电场强度的乘积。（）10.无自由电流区域的磁场边值问题和无自由电荷区域的静电场边值问题完全相似，求解方法也相同。（）三.简答题（共30分，每小题5分）1.解释矢量的点积和差积。2.说明矢量场的通量和环量。3.当电流恒定时，写出电流连续性方程的积分形式和微分形式。4.写出真空中静电场的两个基本方程的积分形式和微分形式。5.写出静电场空间中，在不同的导电媒质交界面上的边界条件。6.说明恒定磁场中的标量磁位。四.计算题（共30分，每小题10分）2ϕ=ax+b1．已知空气填充的平面电容器内的电位分布为，求与其相应得电场及其电荷的 分布。2．一半径为a的均匀带电圆盘，电荷面密度为，求圆盘外轴线上任一点的电场强度。3．自由空间中一半径为a的无限长导体圆柱，其中均匀流过电流I，求导体内外的磁感应强度。《电磁场与电磁波》试题（10）一、填空题（共20分，每小题4分）�������������1.对于矢量A，若A＝exAx＋eyAy＋ezAz，������������则：ey•ex＝；ez•ez＝；������������ez×ex＝；ex×ex＝。��2.对于某一矢量A，它的散度定义式为；用哈密顿算子表示为。��3.对于矢量A，写出：高斯定理；斯托克斯定理。4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为和。5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为。二.判断题（共20分，每小题2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（）2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（）3.梯度的方向是等值面的切线方向。（）4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（）6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（）7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（）8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（）9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（）10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（）三.简答题（共30分，每小题5分）1.用数学式说明梯无旋。2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。3.说明真空中电场强度和库仑定律。4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。四.计算题（共30分，每小题10分）ρ1．半径分别为a,b(a>b),球心距为c(cR）处有一点电荷q。问需要在球上加多少电荷Q才可以使作用于q上的力为零，此时球面电位ϕ为多少？3．（10分）半径为R的薄金属圆柱壳等分为二，互相绝缘又紧密靠近，如图所示。上半圆柱壳的电位为（+U），下半圆柱壳的电位为（-U）。圆柱壳内充满介电常数为ε的均匀电介质，且无空间电荷分布。写出阴影区内静电场的边值问题。l1yhl磁轭2Uaε样品Rxd-U磁轭题3图题4图 4．（10分）图示装置用以测量磁性材料的特性，上下为两个几何形状对称，相对磁导率为µr1的U形磁轭，被测样品的相对磁导率为µr2（磁轭和样品的磁导率均远大于µ0），磁化线圈的匝数为N，电流为I，尺寸如图所示。求：（1）样品中的磁场强度H；（2）样品中的磁化强度M与线圈电流I间的关系。u=Ucosωt5．（12分）面积为A的平行圆形极板电容器，板间距离为d，外加低频电压Sm，板间介质的电导率为γ，介电常数为ε。求电源提供的复功率S。6．（12分）一内阻为50Ω的信号源，通过50cm长的无损耗传输线向负载馈电，传输线上电磁波的波长为100cm，传输线终端负载ZL=50+j100Ω，信号源的电压u=210cosωtS，传输线单位长度的电感L0=0.25µH，单位长度的电容C0=100pF。求：（1）电源的频率；（2）传输线始端和终端的电压、电流相量；（3）负载与传输线上电压最大值处间的距离；（4）传输线上的驻波比。7．（10分）均匀平面波从理想介质（µr=1，εr=16）垂直入射到理想导体表面上，测得理想介质中电场强度最大值为200V/m，第一个最大电场强度值与理想导体表面的距离为1m，求：（1）该平面波的频率和相位常数；（2）试写出介质中电场和磁场的瞬时表达式。8．（12分）y方向线性极化的均匀平面电磁波在ε=9ε0的理想介质中沿x方向传播，在x=0处垂直入射到ε=4ε0的理想介质表面，如图所示。若入射波的角频率ω=300rad/s，在介质分界面处电场强度的最大值为0.1V/m。求：（1）反射系数和透射系数；（2）两种介质中电场、磁场的瞬时表达式；（3）两种介质中坡印亭矢量的平均值。 9．（10分）如图所示，有两对短传输线平行放置。传输线1接低频电源，传输线1与传输线2之间存在电容性耦合干扰和电感性耦合干扰。试：（1）标出该系统中的部分电容并说明抑制电干扰的方式；（2）说明抑制磁干扰的方式。μ,ε=9εμ,ε=4ε0000E+uxS0-题8图题9图《电磁场与电磁波》试题（13）一、填空题（每题8分，共40分）1、真空中静电场高斯定理的内容是：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。2、等位面的两个重要性质是：①_____________________________________________,②____________________________________________________________________。3、真空中的静电场是__________场和__________场；而恒定磁场是____________场和__________场。→→J=___________Jd=___________4、传导电流密度。位移电流密度。 电场能量密度We＝___________。磁场能量密度Wm＝___________。→5、沿Z轴传播的平面电磁波的三角函数式：E=_____________________，→H=_________________________________；其波速V＝__________________________，波阻抗η＝__________________，相位常数β＝_______________________。二、计算题（共60分）1、（15分）如图内外半径分别为r、R的同轴电缆，中间充塞两层同心介质：第一层ε1＝2ε0，其半径为r＇；第二层ε2＝3ε0。r现在内外柱面间加以直流电压U。Rr0求：①电缆内各点的场强E。ε2ε1②单位长度电缆的电容。③单位长度电缆中的电场能。2、（15分）在面积为S、相距为d的平板电容器里，填以厚度各为d／2、介电常数各为εr1和εr2的介质。将电容器两极板接到电压为U0的直流电源上。求：①电容器介质εr1和εr2内的场强；②电容器极板所带的电量；③电容器中的电场能量。3、（10分）有一半径为R的圆电流I。→B求：①其圆心处的磁感应强度0＝？→②在过圆心的垂线上、与圆心相距为H的一点P，其B＝？4、（10分）在Z轴原点，安置一个电偶极子天线。已知电偶极子轴射场的表示式为：I0lµ0j(ϖt−kr)1Eθ=jsinθeH=EφQ2λrε0η求：①在Y轴上距O点为r处的平均能流密度。②和天线成450而距O点同样为r的地方的平均能流密度。5、（10分）有一根长L＝1m的电偶极子天线，，其激励波长λ＝10m，激励波源的电流振幅I＝5A。试求该电偶极子天线的辐射电阻Rr和辐射功率PΣ。 《电磁场与电磁波》试题（14）一、问答题（共40分）1、（8分）请写出时变电磁场麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，并写出其辅助方程。2、（8分）在两种媒质的交界面上，当自由电荷面密度为ρs、面电流密度为Js时，请写出→→→→E,D,B,H的边界条件的矢量表达式。3、（8分）什么叫TEM波，TE波，TM波，TE10波？4、（8分）什么叫辐射电阻？偶极子天线的辐射电阻与哪些因素有关？5、（8分）什么是滞后位？请简述其意义。二、计算题（共60分）1PcosθΦ=24πεr1、（10分）在真空里，电偶极子电场中的任意点M（r、θ、φ）的电位为0∂Φ→1∂Φ→1∂Φ→Φ=r+θ+φ000P=ql∂rr∂θrsinθ∂φ（式中，P为电偶极矩，），而∇。→试求M点的电场强度E。2、（15分）半径为R的无限长圆柱体均匀带电，电荷体密度为ρ。请以其轴线为参考电位点，求该圆柱体内外电位的分布。3、（10分）一个位于Z轴上的直线电流I＝3安培，在其旁边放置一个矩形导线框，a＝5米，b＝8米，h＝5米。最初，导线框截面的法线与I垂直（如图），然后将该截面旋转900，保持a、b不变，让其法线与I平行。求：①两种情况下，载流导线与矩形线框的互感系数M。②设线框中有I′＝4安培的电流，求两者间的互感磁能。4、（10分）P为介质（2）中离介质边界极近的一点。→E已知电介质外的真空中电场强度为1，其方向与电介质分界面的夹角为θ。在电介质界面无自由电 →E荷存在。求：①P点电场强度2的大小和方向；５、（１５分）在半径为Ｒ、电荷体密度为ρ的球形均匀带电体内部有一个不带电的球形空腔，其半径为ｒ，两球心的距离为ａ（ｒ<ａ<Ｒ）。ROr介电常数都按ε０计算。x求空腔内的电场强度Ｅ。a《电磁场与电磁波》试题（15）一、填空题（每题8分，共40分）1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单位是____________；磁感应强度的单位是___________；真空中介电常数的单位是____________。→→→2、静电场E和电位Ψ的关系是E＝_____________。E的方向是从电位_______处指向电位______处。3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。位移电流存在于____________和一切___________中。→→4、在两种媒质分界面的两侧，电场E的切向分量E1t－E2t＝________；而磁场B的法向分量B1n－B2n＝_________；→电流密度J的法向分量J1n－J2n=___________。→E=_____________________5、沿Z轴传播的平面电磁波的复数表示式为：, →H=____________________。二、计算题（共60分）1、（15分）在真空中，有一均匀带电的长度为L的细杆，其电荷线密度为τ。求在其横坐标延长线上距杆端为d的一点P处的电场强度EP。2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为c，在a﹤r﹤b(b﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。3、（10分）一根长直螺线管，其长度L＝1.0米，截面积S＝10厘米2，匝数N1＝1000匝。在其中段密绕一个匝数N2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M。4、（10分）某回路由两个半径分别为R和r的半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I。→求中心点O处的磁感应强度B。→→8E=aY37.7COS(6π×10t+2πZ)5、（15分）电场强度为伏／米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不是均匀平面波？并请说明其传播方向。求：（1）波阻抗；（2）相位常数；（3）波长；→（4）相速；（5）H的大小和方向；（6）坡印廷矢量。《电磁场与电磁波》试题（1）参考答案二、简答题（每小题5分，共20分）11．答：意义：随时间变化的磁场可以产生电场。（3分）���∂B�其积分形式为：∫E⋅dl=−∫⋅dS（2分）∂tCS12．答：在静电场中，在给定的边界条件下，拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，这一 定理称为唯一性定理。（3分）它的意义：给出了定解的充要条件：既满足方程又满足边界条件的解是正确的。13．答：电磁波包络或能量的传播速度称为群速。（3分）vp群速v与相速v的关系式为：v=（2分）gpgωdvp1−vdωp��∂D14．答：位移电流：J=位移电流产生磁效应代表了变化的电场能够产生磁场，使d∂t麦克斯韦能够预言电磁场以波的形式传播，为现代通信打下理论基础。三、计算题（每小题10分，共30分）15．按要求完成下列题目�2（1）判断矢量函数B=−yeˆ+xzeˆ是否是某区域的磁通量密度？xy（2）如果是，求相应的电流分布。解：（1）根据散度的表达式�∂B∂B∂Bxyz∇⋅B=++（3分）∂x∂y∂z�将矢量函数B代入，显然有�∇⋅B=0（1分）故：该矢量函数为某区域的磁通量密度。（1分）（2）电流分布为：�1�J=∇×B（2分）µ0eˆeˆeˆxyz∂∂∂=（2分）∂x∂y∂z2−yxz01=[−xeˆ+(2y+z)eˆ]（1分）xzµ0��16．矢量A=2eˆ+eˆ−3eˆ，B=5eˆ−3eˆ−eˆ，求xyzxyz��（1）A+B��（2）A⋅B ��解：（1）A+B=7eˆ−2eˆ−4eˆ（5分）xyz��（2）A⋅B=10−3+3=10（5分）17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为�()−jkzE=eˆ3E−eˆ4Eex0y0（5）试写出其时间表达式；（6）说明电磁波的传播方向；��jωt解：（1）该电场的时间表达式为：E(z,t)=Re(Ee)（3分）�E(z,t)=(eˆ3E−eˆ4E)cos(ωt−kz)（2分）x0y0−jkz（2）由于相位因子为e，其等相位面在xoy平面，传播方向为z轴方向。（5分）四、应用题（每小题10分，共30分）18．均匀带电导体球，半径为a，带电量为Q。试求（3）球内任一点的电场（4）球外任一点的电位移矢量解：（1）导体内部没有电荷分布，电荷均匀分布在导体表面，由高斯定理可知在球内处处有：��∫D⋅dS=0（3分）S故球内任意一点的电位移矢量均为零，即（1分）�E=0ra的球面上的电位移矢量的大小处�处相等，方向为径向，即D=Deˆ，由高斯定理有0r��∫D⋅dS=Q（3分）S2即4πrD=Q（1分）0�Q整理可得：D=Deˆ=eˆr>a（1分）0r2r4πr19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），求（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。解：建立如图坐标 （1）通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为eˆ方向。y（5分）（2）在xoz平面上离直导线距离为x处的磁感应强度可由下式求出：��B⋅dl=µI（3分）∫0c�µI0即：B=eˆ（1分）y2πx通过矩形回路中的磁通量��d+ba/2µ0Iµ0Iadψ=∫∫B⋅dS=−∫∫dxdz=ln（1分）2πx2πd+bSx=dz=−a/2无穷远zx图2图120．解：（1）由于所求区域无源，电位函数必然满足拉普拉斯方程。设：电位函数为φ(x,y)，则其满足的方程为：222()∂φ∂φ∇φx,y=+=0（3分）22∂x∂y（2）利用分离变量法：φ(x,y)=f(x)g(y)2df2+kf=02xdx2dg2+kg=0（2分）2ydy22k+k=0xy根据边界条件φ=φ=φ=0，φ(x,y)的通解可写为：x=0x=ay→+∞∞nπ()⎛nπ⎞−ay（1分）φx,y=∑Ansin⎜x⎟en=1⎝a⎠ 再由边界条件：∞⎛nπ⎞φy=0=∑Ansin⎜x⎟=U0n=1⎝a⎠2U0求得AA=(1−cosnπ)（1分）nnnπ∞nπ2U0⎛nπ⎞−y槽内的电位分布为φ(x,y)=(1−cosnπ)sinxea∑⎜⎟n=1nπ⎝a⎠五、综合题（10分）�1�(7)21．解：（1）H=eˆ×E（2分）zη0�E0−jβzH=eˆe（2分）yη0η=120π（1分）0(2)区域1中反射波电场方向为−eˆ（3分）x磁场的方向为eˆ（2分）y《电磁场与电磁波》试题（2）参考答案二、简述题（每小题5分，共20分）11．答：磁通连续性原理是指：磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零，或者是从闭合曲面S穿出去的通量等于由S外流入S内的通量。（3分）��其数学表达式为：∫B⋅dS=0（2分）S12．答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。（3分）亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究。（2分） 13．答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。（3分）��∂B方程的微分形式：∇×E=−（2分）∂t14．答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分）极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。（3分）三、计算题（每小题10分，共30分）�215．矢量函数A=−yxeˆ+yzeˆ，试求xz�（1）∇⋅A�（2）∇×A�∂A∂A∂Axyz∇⋅A=++（3分）解：（1）∂x∂y∂z=−2xy+y（2分）eˆeˆeˆxyz�∂∂∂∇×A=(3分）（2）∂x∂y∂z2−yx0yz2=eˆz+eˆx（2分）xz��16．矢量A=2eˆ−2eˆ，B=eˆ−eˆ，求xzxy��（1）A−B（2）求出两矢量的夹角��A−B=2eˆ−2eˆ−(eˆ−eˆ)(3分）xzxy解：（1）=eˆ+eˆ−2eˆ（2分）xyz��（2）根据A⋅B=ABcosθ（2分）��A⋅B=(2eˆ−2eˆ)⋅(eˆ−eˆ)=2xzxy21cosθ==（2分）2222�所以θ=60（1分） ∂u∂u∂u∇u=eˆ+eˆ+eˆ（3分）xyz17．解：（1）∂x∂y∂z=eˆ2x+eˆ2y+eˆ2z（2分）xyz∇u（2）nˆ=（2分）∇ueˆ2+eˆ4eˆ+eˆ2xyxy所以nˆ==（3分）4+165四、应用题（每小题10分，共30分）�18．放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为�qE=eˆ2r4πεr0（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。��qqrq解:（1）E=eˆ==(eˆx+eˆy+eˆz)（2分）2r33xyz4πεr4πεr4πεr000由力线方程得xyz==（2分）dxdydz对上式积分得y=Cx1（1分）z=Cy2式中，C,C为任意常数。12（2）电力线图18-2所示。（注：电力线正确，但没有标方向得3分）图18-2图1 19．设点电荷位于金属直角劈上方，如图1所示，求（3）画出镜像电荷所在的位置（4）直角劈内任意一点(x,y,z)处的电位表达式解：（1）镜像电荷所在的位置如图19-1所示。（注：画对一个镜像得2分，三个全对得5分）−q+q−q图19-1图19-2（2）如图19-2所示任一点(x,y,z)处的电位为q⎛1111⎞φ=⎜−+−⎟（3分）⎜⎟4πεrrrr0⎝1234⎠()2()22r=x−1+y−2+z1()2()22r=x−1+y+2+z2其中，（2分）()2()22r=x+1+y+2+z3()2()22r=x+1+y−2+z420．设时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：����E=Ecos(ωt−φ)H=Hcos(ωt−φ)0e0m（3）写出电场强度和磁场强度的复数表达式�1��（4）证明其坡印廷矢量的平均值为：S=E×Hcos(φ−φ)av00em2 解：（1）电场强度的复数表达式��E=Ee−jφe（3分）0电场强度的复数表达式��H=He−jφm（2分）0�1��*（2）根据S=Re(E×H)得（2分）av2�1(��−j(φe−φm))1��S=ReE×He=E×Hcos(φ−φ)（3分）av0000em22五、综合题（共10分）21．设沿+z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场�−jβz只有x分量即E=eˆEex0(8)求出反射波电场的表达式；(9)求出区域1媒质的波阻抗。解：（1）设反射波电场区域1区域2�jβzE=eˆEerxr图2区域1中的总电场为��−jβzjβzE+E=eˆ(Ee+Ee)（2分）rx0r根据z=0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得E=−E（2分）r0因此，反射波电场的表达式为�jβzE=−eˆEe（1分）rx0（2）媒质1的波阻抗µ0η=（3分）ε0因而得η=120π=377(Ω)（2分） 《电磁场与电磁波》试题（3）参考答案二、简述题（每小题5分，共20分）��∂D11．答：它表明时变场中的磁场是由传导电流J和位移电流共同产生（3分）。∂t该方程的积分形式为���⎛�∂D⎞�∫H⋅dl=∫⎜⎜J+⎟⎟⋅dS（2分）CS⎝∂t⎠12．答：与传播方向垂直的平面称为横向平面；（1分）电磁场E和H的分量都在横向平面中，则称这种波称为平面波；（2分）在其横向平面中场值的大小和方向都不变的平面波为均匀平面波。（2分）13．答：静电场为无旋场，故沿任何闭合路径的积分为零；或指出静电场为有势场、保守场静电场的两个基本方程积分形式：��∫D⋅dS=qS��∫lE⋅dl=0或微分形式�∇×E=0�∇⋅D=ρ两者写出一组即可，每个方程1分。14．答：2∇φ=−ρ/ε（3分）V它表示求解区域的电位分布仅决定于当地的电荷分布。（2分）三、计算题（每小题10分，共30分）�2515．用球坐标表示的场E=eˆ，求r2r（3）在直角坐标中点（-3，4，5）处的E；（4）在直角坐标中点（-3，4，5）处的E分量x解： （1）在直角坐标中点（-3，4，5）在球坐标中的矢径大小为：()222r=−3+4+5=52（2分）故该处的电场大小为：251E==（3分）2r2（2）将球坐标中的场表示为�2525�25E=eˆr=r=(xeˆx+yeˆy+zeˆz)（2分）233rrr故25xE=（2分）x3r将r=52，x=−3代入上式即得：32E=−（1分）x20�216．矢量函数A=−xeˆ+yeˆ+xeˆ，试求xyz�（1）∇⋅A�（2）若在xy平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A穿过此正方形的通量。解：（1）�∂A∂A∂Axyz∇⋅A=++（3分）∂x∂y∂z=−2x+1（2分）�（2）xy平面上面元矢量为dS=eˆdxdy（2分）z穿过此正方形的通量为��+1+1∫A⋅dS=∫∫xdxdy=0（3分）Sx=−1y=−12217．已知某二维标量场u(x,y)=x+y，求（1）标量函数的梯度； （2）求出通过点(1,0)处梯度的大小。解：（1）对于二维标量场∂u∂u∇u=eˆ+eˆ（3分）xy∂x∂y=2xeˆ+2yeˆ（2分）xy（2）任意点处的梯度大小为22∇u=2x+y（2分）则在点(1,0)处梯度的大小为：∇u=2（3分）四、应用题（每小题10分，共30分）�−jkz18．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为E=eˆ3Eex0（7）试写出其时间表达式；（8）判断其属于什么极化。解：��jωt（1）该电场的时间表达式为：E(z,t)=Re(Ee)(2分)�E(z,t)=eˆ3Ecos(ωt−kz)（3分）x0(2)该波为线极化（5分）19．两点电荷q=−4C，位于x轴上x=4处，q=4C位于轴上y=4处，求空间点(0,0,4)12处的（3）电位；（4）求出该点处的电场强度矢量。解：（1）空间任意一点(x,y,z)处的电位为：qq()12φx,y,z=+（3分）()2222()224πεx−4+y+z4πεx+y−4+z00 将x=0,y=0,z=4，q=−4C，q=4C代入上式得空间点(0,0,4)处的电位为：12φ(0,0,4)=0（2分）（2）空间任意一点(x,y,z)处的电场强度为�q1�q2�E=r+r（2分）31324πεr4πεr0102��其中，r=(x−4)eˆ+yeˆ+zeˆ，r=xeˆ+(y−4)eˆ+zeˆ1xyz2xyz将x=0,y=0,z=4，q=−4C，q=4C代入上式12r=r=4212��r=−4eˆ+4eˆr=−4eˆ+4eˆ（2分）1xz2yz空间点(0,0,4)处的电场强度�q1�q2�2()E=r+r=eˆx−eˆy（1分）31324πε0r14πε0r264πε020．如图1所示的二维区域，上部保持电位为U，其余三面电位为零，0（3）写出电位满足的方程和电位函数的边界条件（4）求槽内的电位分布b解：a（1）设：电位函数为φ(x,y)，图1则其满足的方程为：222()∂φ∂φ∇φx,y=+=0（3分）22∂x∂yφ=φ=φ=0x=0x=ay=0φ=U（2分）y=b0（2）利用分离变量法：φ(x,y)=f(x)g(y) 2df2+kf=02xdx2dg2+kg=0（2分）2ydy22k+k=0xy根据边界条件φ=φ=φ=0，φ(x,y)的通解可写为：x=0x=ay=0∞()⎛nπ⎞⎛nπ⎞φx,y=∑Ansin⎜x⎟sinh⎜y⎟n=1⎝a⎠⎝a⎠再由边界条件：∞⎛nπ⎞⎛nπ⎞φy=b=∑Ansin⎜x⎟sinh⎜b⎟=U0n=1⎝a⎠⎝a⎠求得An2U0()A=1−cosnπ（2分）n⎛nπ⎞nπsinh⎜b⎟⎝a⎠槽内的电位分布为：∞()2U0()⎛nπ⎞⎛nπ⎞φx,y=∑1−cosnπsin⎜x⎟sinh⎜y⎟（1分）n=1⎛nπ⎞⎝a⎠⎝a⎠nπsinh⎜b⎟⎝a⎠五、综合题（10分）21．设沿+z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波为沿x方向的线极化，设电场强度幅度为E，传播常数为β。0(10)试写出均匀平面电磁波入射波电场的表达式；(11)求出反射系数。解：1.由题意：�−jβzE=eˆEe（5分）区域1区域2x0（2）设反射系数为R，图2�+jβzE=eˆREe（2分）rx0由导体表面z=0处总电场切向分量为零可得： 1+R=0故反射系数R=−1（3分）《电磁场与电磁波》试题（4）参考答案二、简述题（每小题5分，共20分）11．答：恒定磁场是连续的场或无散场，即磁感应强度沿任一闭合曲面的积分等于零。产生恒定磁场的源是矢量源。(3分）两个基本方程：��∫B⋅dS=0（1分）S��∫H⋅dl=I（1分）C(写出微分形式也对)12．答：设理想导体内部电位为φ，空气媒质中电位为φ。21由于理想导体表面电场的切向分量等于零，或者说电场垂直于理想导体表面，因此有φ=φ（3分）1S2S∂φ1ε=−σ（2分）0∂nS13．答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分）导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分）14．答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。（3分）色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。（2分）三、计算题（每小题10分，共30分）23z15．标量场ψ(x,y,z)=xy+e，在点P(1,−1,0)处（1）求出其梯度的大小（2）求梯度的方向∂ψ∂ψ∂ψ解：（1）∇ψ=eˆ+eˆ+eˆ（2分）xyz∂x∂y∂z322z∇ψ=eˆ2xy+eˆ3xy+eˆexyz ∇ψ=−eˆ2+eˆ3+eˆ（2分）Pxyz梯度的大小：∇ψ=14（1分）P（2）梯度的方向∇ψnˆ=（3分）∇ψ−eˆ2+eˆ3+eˆxyznˆ=（2分）14��16．矢量A=eˆ+2eˆ，B=eˆ−3eˆ，求xyxz��（1）A×B��（2）A+Beˆeˆeˆxyz��解：（1）根据A×B=AAA（3分）xyzBBBxyzeˆeˆeˆxyz��所以A×B=120=−eˆ6+eˆ3−eˆ2（2分）xyz10−3��（2）A+B=eˆ+2eˆ+eˆ−3eˆ（2分）xyxz��A+B=2eˆ+2eˆ−3eˆ（3分）xyz�17．矢量场A的表达式为�2A=eˆ4x−eˆyxy�（1）求矢量场A的散度。�（2）在点(1,1)处计算矢量场A的大小。解：（1） �∂A∂A∂Axyz∇⋅A=++（3分）∂x∂y∂z=4−2y（2分）�（2）在点(1,1)处矢量A=eˆ4−eˆ（2分）xy�所以矢量场A在点(1,1)处的大小为2()2A=4+−1=17（3分）四、应用题（每小题10分，共30分）18．一个点电荷+q位于(−a,0,0)处，另一个点电荷−2q位于(a,0,0)处，其中a>0。求（3）求出空间任一点(x,y,z)处电位的表达式；（4）求出电场强度为零的点。图18-1解：（1）建立如图18-1所示坐标空间任一点的电位q⎛12⎞φ=⎜−⎟（3分）⎜⎟4πε0⎝r2r1⎠222其中，r=(x−a)+y+z（1分）1()222r=x+a+y+z（1分）2（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的+q的左侧，（2分）设位于x处，则在此处电场强度的大小为q⎛12⎞E=⎜−⎟（2分）⎜22⎟4πε0⎝(x−a)(x+a)⎠令上式等于零得 12=()2()2x−ax+a求得x=−(3+22)a（1分）19．真空中均匀带电球体，其电荷密度为ρ，半径为a，试求（3）球内任一点的电位移矢量（4）球外任一点的电场强度解：（1）作半径为r的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变，（2分）根据高斯定理，有243D4πr=πrρ（2分）3�ρ�D=rra时，作半径为r的高斯球面，根据高斯定理，有243D4πr=πaρ（2分）33�ρa�D=r（2分）33r电场强度为3�ρa�E=r（1分）33εr020．无限长直线电流I垂直于磁导率分别为µ和µ的两种磁介质的交界面，如图112所示。试（3）写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程（4）求两种媒质中的磁感应强度B和B。12解：（1）磁感应强度的法向分量连续�B1µ1B=B（2分）1n2n�根据磁场强度的切向分量连续，即B2µ2图1 H=H（1分）1t2t因而，有BB1t2t=（2分）µµ12（2）由电流在区域1和区域2中所产生的磁场均为eˆ，也即是分界面的切向分量，再根据ϕ磁场强度的切向分量连续，可知区域1和区域2中的磁场强度相等。（2分）由安培定律��∫H⋅dl=ICI得H=（1分）2πr因而区域1和区域2中的磁感应强度分别为�µI1B=eˆ（1分）1ϕ2πr�µI2B=eˆ（1分）2ϕ2πr五、综合题（10分）21．设沿+z方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，入射波电场�−jβz的表达式为E=eˆEey0（1）试画出入射波磁场的方向（2）求出反射波电场表达式。解：（1）入射波磁场的方向如图21-1所示。（2）设反射波电场�H图2图21-1�jβzE=eˆEeryr 区域1中的总电场为��−jβzjβzE+E=eˆ(Ee+Ee)（2分）ry0r根据z=0导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得E=−E（2分）r0因此，设反射波电场为�jβzE=−eˆEe（1分）ry0《电磁场与电磁波》试题（5）参考答案二、简述题（每小题5分，共20分）11．答：高斯通量定理是指从封闭面发出的总电通量数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷。（3分）其积分形式和微分形式的表达式分别为：∇⋅DdV=ρdV∫V∫VV∇⋅D=ρ（2分）V12．答：变化的电场产生磁场；变化的磁场产生电场；（3分）使电磁场以波的形式传播出去，即为电磁波。（2分）13．答：决定不同介质分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。(5分)14．答：其物理意义为：穿过闭合曲面的磁通量为零，可以理解为：穿过一个封闭面S的磁通量等于离开这个封闭面的磁通量，换句话说，磁通线永远是连续的。（3分）其微分形式为：∇⋅B=0（2分）三、计算题（每小题10分，共30分）�215．已知矢量A=eˆx+eˆxy+eˆyz，xyz（3）求出其散度（4）求出其旋度 解（1）�∂A∂A∂Axyz∇⋅A=++（3分）∂x∂y∂z2=1+x+y（2分）（2）eˆeˆeˆxyz�∂∂∂∇×A=(3分）∂x∂y∂z2xxyyz=2yzeˆ+yeˆ（2分）xz��16．矢量A=eˆ+2eˆ，B=eˆ−3eˆ，xyxz��（1）分别求出矢量A和B的大小��（2）A⋅B解：（1）�22A=1+2=5（3分）�2()2B=1+−3=10（2分）（2）��A⋅B=AB+AB+AB（3分）xxyyzz=1×1+2×0+0×(−3)=1（2分）�17．给定矢量函数E=eˆy+eˆx，试xy�（1）求矢量场E的散度。�（2）在点(3,4)处计算该矢量E的大小。解：（1） �∂E∂E∂Exyz∇⋅E=++（3分）∂x∂y∂z=0（2分）�（2）点(3,4)处E=4eˆ+3eˆ，故其大小为xy�22E=4+3=5（5分）四、应用题（每小题10分，共30分）18．设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为ρ如图1所示，求l（3）空间任一点处的电场强度；（4）画出其电力线，并标出其方向。解（1）由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向eˆ，在底面半径为r长度为L的柱体表面使用高斯定理得：r图18-2图1��������∫E⋅dS=∫E⋅dS+∫E⋅dS+∫E⋅dSs侧面顶面底面（3分）=2πrLE+0+0=ρL/εrl0可得空间任一点处的电场强度为：�ρE=eˆl（2分）r2πεr0（2）其电力线如图18-2所示。（5分）注：如图中未标明方向得3分 19．设半径为a的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I的电流，设柱外为自由空间，求（3）柱内离轴心r任一点处的磁场强度；（4）柱外离轴心r任一点处的磁感应强度。解（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向eˆ，由安培环路定律：ϕ��πr2H⋅dl=2πrH=Ira(3分)∫ϕ0c整理可得柱内离轴心r任一点处的磁感应强度�µI0B=eˆr>a(2分)ϕ2πr20．一个点电荷q位于一无限宽和厚的导电板上方，如图2所示，（3）计算任意一点的P(x,y,z)的电位（4）写出z=0的边界上电位的边界条件解:根据镜像法,镜像点的位置如图20-1,并建立如图坐标。（1）任意一点的P(x,y,z)的电位表示为qqφ(x,y,z)=−（3分）4πεr4πεr0102 22()2r=x+y+z−d1其中，（2分）22()2r=x+y+z+d2图2图20-1（2）z=0的边界上电位的边界条件为φ=0（5分）z=0五、综合题（10分）21．平面电磁波在ε=9ε的媒质1中沿+z方向传播，在z=0处垂直入射到ε=4ε的1020媒质2中，µ=µ=µ，如图3所示。入射波电场极化为+x方向，大小为E，自1200由空间的波数为k，0（1）求出媒质1中入射波的电场表达式；（2）求媒质2中的波阻抗。解：（1）在媒质1中的波数为媒质1媒质2k=ωµε=ωµ9ε=3k图3111000(2分)媒质1中入射波的电场表达式�E=eˆEe−jk1z=eˆEe−j3k0z（3分）x0x0（2）媒质2中的波阻抗为µ2η=（3分）2ε2µ0η==60π（2分）24ε0 《电磁场与电磁波》试题（6）参考答案二、简述题（每小题5分，共20分）��11答：穿过闭合曲面S的通量表达式∫A⋅dS（2分）S通量表示在单位时间内流体从闭合曲面内流出曲面S的正流量与从闭合曲面S外流入内部的负流量的代数和，即净流量。（1分）当Φ>0，表示流出多于流入，说明此时在S内有正源；当Φ<0则表示流入多于流出，此时在S内有负源；当Φ=0则表示流入等于流出，此时在S内无源。（2分）12．答：对于观察者静止且量值不随时间变化的电荷产生的电场称为静电场。（3分）静电场是无旋场。（2分）13．答：与传播方向垂直的平面称为横向平面；（1分）若电磁场分量都在横向平面中，则称这种波称为平面波；（2分）也称为横电磁波即TEM波。（2分）14．答：理想导体表面电场所满足的边界条件：电场的切向分量为零；E=0（3分）t法向分量满足：E=σ/εn0其中，σ为导体表面电荷密度。（2分）三、计算题（每小题10分，共30分）�215．某矢量函数为E=−xeˆ+yeˆxy（1）试求其散度（2）判断此矢量函数是否可能是某区域的电场强度（静电场）？解：（1） �∂E∂E∂Exyz∇⋅E=++（3分）∂x∂y∂z=−2x+1（2分）（2）eˆeˆeˆxyz�∂∂∂∇×E=（2分）∂x∂y∂z2−xy0=0（1分）可见，该矢量函数为无旋场，故它可能是某区域的电场强度。（2分）�������16．已知A、B和C为任意矢量，若A⋅B=A⋅C，则是否意味着��（1）B总等于C呢？（2）试讨论之。解：（1）不一定（5分）（2）����由：A⋅B=A⋅C���知：A⋅(B−C)=0（2分）此时当有三种可能：��B=C�或A=0���或A与B−C相互垂直（3分）⎛2π⎞17．在圆柱坐标系中，一点的位置由⎜4,,3⎟定出，求该点在⎝3⎠（1）直角坐标系中的坐标（2）写出该点的位置矢量。 解：（1）设直角坐标系中的坐标为(x,y,z)，由圆柱坐标系与直角坐标系转换关系得：2πx=ρcosϕ=4cos=−2（2分）32πy=ρsinϕ=4sin=3.464（2分）3z=3（1分）（2）任意点的位置矢量为�r=xeˆ+yeˆ+zeˆ（3分）xyz将(x,y,z)的数值代入得该点的位置矢量：�r=−2eˆ+3.464eˆ+3eˆ（2分）xyz四、应用题（每小题10分，共30分）18．设z=0为两种媒质的分界面，z>0为空气，其介电常数为ε=ε，z<0为介电常10�数ε=5ε的媒质2。已知空气中的电场强度为E=4eˆ+eˆ，求201xz（1）空气中的电位移矢量。（2）媒质2中的电场强度。解：（1）��空气中的电位移矢量D=εE（3分）101x=4εeˆ+εeˆ（2分）0x0z（2）由边界条件如图18-2所示,z切向分量E=E=42x1x法向分量D=D=ε（3分）2z1z0图18-21故：E=D/ε=2z2z25z�1得媒质2中的电场强度为：E=4eˆ+eˆ（2分）2xz519．设真空中无限长直导线电流为I，沿z轴放置，如图1所示。求�I（1）空间各处的磁感应强度B图1 （2）画出其磁力线，并标出其方向。解：（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向eˆ，由安培环路定律：ϕ��∫H⋅dl=2πrHϕ=I(3分)c�I得：H=eˆϕ2πr于是空间各处的磁感应强度为：��µI0B=µH=eˆ（2分）0ϕ2πr(2)磁力线如图19-2所示图19-2（3分）方向：与导线电流方向成右手螺旋。（2分）20．平行板电容器极板长为a、宽为b，极板间距为d，设两极板间的电压为U，求（1）电容器中的电场强度；（2）上极板上所储存的电荷。解（1）电位满足如下方程图22dφ=0（1分）2dx边界条件：φ=0φ=Ux=0x=d方程的通解φ(x)=Cx+D U由边界条件得：φ(x)=x（2分）d�U故电容器中的电场强度为E=−∇φ=−eˆ（2分）xd（2）上极板上的法向矢量为nˆ=−eˆ（1分）x故其上的电荷密度为：�εU0σ=εE⋅nˆ=（2分）0dεU0总的电荷为Q=σS=ab（2分）d五、综合题（10分）21．平面电磁波在ε=9ε的媒质1中沿+z方向传播，在z=0处垂直入射到ε=4ε的1020媒质2中，µ=µ=µ。电磁波极化为+x方向，角频率为300Mrad/s，如图3所示。120（1）求出媒质1中电磁波的波数；（2）反射系数。解（1）ωk==1（1分）0c媒质1媒质2媒质1电磁波的波数图3k=ωµε（2分）111=ωµε9=3k=3（2分）000（2）µ0120πη===40π1ε31µ0120πη===60π（2分）2ε22η2−η160π−40πR===0.2（3分）η+η60π+40π21 《电磁场与电磁波》试题（7）参考答案二、简述题（每小题5分，共20分）11．答：恒定电流所产生的不随时间变化的磁场称为恒定磁场；（3分）它具有无散、有旋特性（2分）�∇⋅B=0��∇×H=J12．答：当穿过线圈所包围面积S的磁通发生变化时，线圈回路C中将会感应一个电动势；（2分）感应电动势在闭合回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻止回路中磁通的变化；（1分）��d��∫E⋅dl=−∫B⋅dS（2分）CdtS13．答：电磁波等相位面传播的速度称为相速。（3分）所谓群速则是包络或者是能量传播的速度；vp相速v与群速v的关系式为：v=（2分）pggωdvp1−vdωp�14．高斯通量定理的微分形式为∇⋅D=ρ，试写出其积分形式，并说明其意义。答：��D⋅dS=ρdV=Q（3分）∫S∫VV它表明从封闭面发出的总电通量数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷。（2分）二、计算题（每小题10分，共30分）15．自由空间中一点电荷位于S(−3,1,4)，场点位于P(2,−2,3)（1）写出点电荷和场点的位置矢量�（2）求点电荷到场点的距离矢量R解：（1）�点电荷位置矢量r=−3eˆ+eˆ+4eˆ(3分)sxyz �场点位置矢量r=2eˆ−2eˆ+3eˆ（2分）fxyz（2）点电荷到场点的距离矢量���R=r−r（3分）fs�R=5eˆ−3eˆ−eˆ（2分）xyz216．某二维标量函数u=y−x，求（1）标量函数梯度∇u（2）求梯度在正x方向的投影。解：（1）对于二维标量场∂u∂u∇u=eˆ+eˆ（3分）xy∂x∂y=−eˆ+2yeˆ（2分）xy（2）梯度在正x方向的投影∇u⋅eˆ=−1（5分）x�18．矢量场A=eˆx+eˆy+eˆz，求xyz（1）矢量场的散度�（2）矢量场A在点(1,2,2)处的大小。解：（1）�∂A∂A∂Axyz∇⋅A=++（3分）∂x∂y∂z=1+1+1=3（2分）�（2）矢量场A在点(1,2,2)处的大小�222A=x+y+z（3分） 222=1+2+2=3（2分）四、应用题（每小题10分，共30分）18．电偶极子电量为q，正、负电荷间距为d，沿z轴放置，中心位于原点，求（1）求出空间任一点P(x,y,z)处的电位表达式（2）画出其电力线。解：（1）空间任一点P处的坐标为(x,y,z)则该点处的电位为：qqφ(x,y,z)=−（3分）4πεr4πεr0201其中，22()2r=x+y+z−d/21（2分）22()2r=x+y+z+d/22（2）电力线图如图18-2所示（5分）φ>0电力线零电位面图1φ<0图18-219．同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间介质为空气，其间电压为U（1）求rc处的磁场强度。解：（1）由电流的对称性可知，柱内离轴心r任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向eˆ，由安培环路定律：ϕ��∫H⋅dl=2πrHϕ=Iac区域同样利用安培环路定律此时环路内总的电流为零，即��H⋅dl=2πrH=I−I=0（3分）∫ϕcr>c处的磁场强度为�H=0（2分）20．平行板电容器极板长为a、宽为b，极板间距为d，如图2所示。设x=d的极板上的自由电荷总量为Q，求（1）电容器间电场强度；（2）电容器极板间电压。解：图2 （1）建立如图20-1所示坐标。设上极板的电荷密度为σ，则Qσ=（1分）ab极板上的电荷密度与电场法向分量的关系为Qσ=εE=（2分）0nab由于平行板间为均匀电场，故�QE=−eˆE=−eˆ（2分）xnxεab0（2）由：0�U=E⋅eˆdx（3分）∫xx=d将上面电场代入得：QdU=（2分）εab0五、综合题（10分）21．平面电磁波在ε=9ε的媒质1中沿+z方向传播，在z=0处垂直入射到ε=4ε的1020媒质2中，µ=µ=µ。极化为+x方向，如图3所示。120（1）求出媒质2电磁波的波阻抗；（2）求出媒质1中电磁波的相速。解（1）媒质2电磁波的波阻抗µ0η=(3分）媒质1媒质22ε2图3120π==60π(2分)2（2）媒质1中电磁波的相速 11v==(3分)p1µε3µε1100c8()==1.0×10m/s2分3《电磁场与电磁波》试题（9）参考答案一.填空题（共20分，每小题4分）1.0；0∂u∂u∂u2.gradu=∇u；∇=ue+e+exyz∂x∂y∂z��������������µ0I1dl1×(I2dle2×r)��µ0Idl×er3.F=��∫∫�2；dB=�24π4πl1l2||r||r4.�∫BdS•=0；�∫Hdl•=Isc5.D=εE；介质的本构方程二.判断题（共20分，每小题2分）×，√，√，√，√，×，√，√，×，√三.简答题（共30分，每小题5分）����1.对于矢量A与B，������������A•B＝|AB|||cosθ，其中θ为A与B向量的夹角；������������������A×B＝en|AB|||sinθ，en为A与B右手法则确定。����������������������若A＝＋＋，B＝＋＋，exAxeyAyezAzexBxeyByezBz����A•B＝＋＋；AxBxAyByAzBz�������������A×B＝(-)+(-)+(-)exAyBzAzByeyAzBxAxBzezAxByAyBx2.通量：矢量场A沿其中有向曲面S中某一侧面的曲面积分，��Is＝�∫AdS•；矢量A沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分为环量，s ���Il=�∫Adl•l3.�∫JdS•=0；∇•J=0s4.�∫DdS•=q，∇•D=ρ；s�∫Edl•=0，∇×E=0l∂ϕ∂ϕ125.J1n=J2n即γ1=γ2；E1t=E2t即ϕϕ1=2∂n∂n6.在无自由电流的空间(J=0)H是无旋的，∇×H=0，因而H可以用一个标量函数的负梯度表示，令H=−∇ϕ，式中ϕ称为标量磁位，单位为安培，其中的负号是为了与电mm位的定义相对应而人为附加的。四.计算题（共30分，每小题10分）��1．由电位分布求解电场强度和电荷分布,一般用关系式E=−∇ϕρ,=∇i(εE)可得到0�����2E=−∇=−∇ϕ(ax+b)=−2axexρ=∇i(εE)=−2aε002.此题不便应用高斯定律求解。我们利用式，首先计算轴线上任一点的电位，然后经过求梯度运算得出电场。以无穷远点为零电位参考点，场点（0，0，z）的电位为式中电荷分布区域用带撇的坐标表示，所求场点区域用不带撇的坐标（r,,z）表示，积分是在电荷分布的有源区域进行的。 于是由圆盘上电荷分布的对称性也可以判断出，在Z轴上电场强度的方向应仅有分量。3.由于电流均匀分布，所以导体中的电流密度导体内外的磁感应强度关于圆柱轴对称，因此利用安培环路定律求解最为方便。应用安培环路定律：在ra处：所以《电磁场与电磁波》试题（10）参考答案一、填空题（共20分，每小题4分）�1.0，1，−e，0y�∫Ar()•dSr()��s2.divAr()=lim；∇•A△τ→0△τ3.∫∇•Adτ=�∫AdS•；�∫Adl•=∫rotAdS•τsCS 4.∇•D=ρ；∇×E=05.Br()=µHr()；真空的磁特性方程或本构关系0二.判断题（共20分，每小题2分）√，√，×，√，√，×，√，×，√，×三.简答题（共30分，每小题5分）dϕ���dϕ���dϕ��1.∇=ϕe+e+exyzdxdydz⎛⎞��������⎜⎟eee⎜xyz⎟⎜ddd⎟∂2ϕ∂2ϕ���∂2ϕ∂2ϕ���∂2ϕ∂2ϕ��∇×∇(ϕ)=⎜⎟=(−)e−(−)e+(−)exyzdxdydz∂∂zy∂∂zy∂∂xz∂∂xz∂∂xy∂∂xy⎜⎟⎜dϕdϕdϕ⎟⎜⎟⎝dxdydz⎠∇×∇(ϕ)=0∂u∂u∂u∂u2.|=cosα+cosβ+cosγ|，其中cosα，cosβ，cosγ为方向余弦，∂x∂y∂zm0∂lm0表示数量场沿某一方向的变化率。F3.电场强度表示电场中某单位试验正点电荷所受到的力，其定义式为：lim=E。库仑定q→0qQq���律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，其表达式为：F=。2eR4πε0R4.实际边值问题的边界条件分为三类：第一类是整个边界上的电位函数均已知，第二类是已知整个边界上的电位法向导数，第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分边界上的电位法向导数已知。5.�∫BdS•=0；∇•B=0s6.n•(B−B)=0或B=B；n×(H−H)=J121n2n12S四.计算题（共30分，每小题10分）1．解： ρρ为了使用高斯定理,再半径为b的空腔内分别加上密度为+,-的体电荷,这样,任何一点的电场就当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同作用的结果.正负电体所成生的电场分别由高斯定理计算正电体在空腔内产生的电场为��ρr���1E1=er13ε0负电体在空腔内产生的电场为��ρr���2E2=−er23ε0������ee单位向量r1r2分别以大小球体的球心为球面坐标的原点,考虑到����������re−re=ce=c1r12r2x最后得到空腔内的电场为��ρc���E=−ex3ε02．解：��ρr��ρr����ρ��E1=er=3er,E2=2er3ε4πεa4πεr静电能量为1����1212W=DEdVi=εiEdV+εEdVe∫∫1∫02222a1ρr22a1ρr22=ε()4πrdr+ε()4πrdr∫024πεa3∫0204πεr322qq=+40πεa8πεa03.证明：与给定矢位相应的磁场为��������⎛eee⎞xyz⎜⎟������⎜∂∂∂⎟��B=∇×A==e(cosx+sin)y11⎜∂∂∂⎟zxyz⎜⎟⎜⎝cosysinx0⎟⎠ ��������⎛eee⎞xyz⎜⎟������⎜∂∂∂⎟��B=∇×A==e(cosx+sin)y22⎜∂∂∂⎟zxyz⎜⎟⎜⎝0sinx+xsiny0⎟⎠所以,两者的磁场相同.与其相应的电流分布为���1���1������J=∇×A=(coseye+sin)x11xyµµ00���1���1������J=∇×A=(coseye+sin)x22xyµµ00���A可以验证,矢位1满足矢量泊松方程,即������������������22∇A=∇(coseye+sin)x=−(coseye+sin)x=−µJ1xyxy01���A但是矢位2不满足矢量泊松方程.即������������22∇A=∇[(sinex+xsin)]y=−e(sinx+xsin)y≠−µJ2yy02���A这是由于2的散度不为0,当矢位不满足库仑规范时,矢位与电流的关系为������������2∇×∇×A=−∇A+∇∇(iA)=µJ22202���A可以验证,对于矢位2,上式成立,即���������2−∇A+∇∇(iA)=e(sinx+xsin)y+∇(cos)xy22y���������=e(sinx+xsin)y+ecosyex−sinyyxy���������=esinxe+cosy=µJyx02《电磁场与电磁波》试题（11）参考答案一.填空题（共20分，每小题4分）���1.0，1，－，0ex���∂���∂���∂2.∇＝＋＋；一阶矢性微分算子exeyez∂x∂y∂z3.�∫JdS•=0；∇•J=0s 4.=；=J1nJ2nE1tE2t5.磁感应强度B(r)；磁场强度H(r)二.判断题（共20分，每小题2分）√，×，√，×，√，√，√，×，√，√三.简答题（共30分，每小题5分）1.力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即(dr/dl)×F(r)=0，上式乘以dl后，得dr×F(r)=0，式中dr为力线切向的一段矢量，dl为力线上的有向微分线段。在dxdydz直角坐标系内可写成==Fx()rFy()rFz()r��2.矢量A沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分为环量，其旋度为该点最大环量面密度。�������Il=�∫Adl•，rotA=∇×Al��������������µ0I1dl1×(I2dle2×r)��µ0Idl×er3.F=��∫∫�2；dB=�24π4πl1l2||r||r4.静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称为电位函数。静电场中，电位函数的定义为E=−gradϕ=−∇ϕ5.�∫Bdsi=0；∇•B=0；�∫Hdli=I；∇×H=Jsc6.由于∇∇×i(A)=0，而∇iB=0，所以令B=∇×A，A称为矢量磁位，它是一个辅助性质的矢量。从确定一个矢量场来说，只知道一个方程是不够的，还需要知道A的散度方程后才能唯一确定A，在恒定磁场的情况下，一般总是规定∇iA=0，这种规定为库仑规范。四.计算题（共30分，每小题10分）1.解：��������rot(ϕA)=∇×(ϕA)=∇×ϕA+∇×ϕA ��������⎛eee⎞xyz⎜⎟��⎜ddd⎟3���2���2��∇×A==(3xy+xye)−3ye+3xyze)⎜⎟xyzdxdydz⎜⎟⎜0xyz23xy2⎟而⎝⎠��������⎛eee⎞xyz��⎜⎟��������2322342∇×ϕA=⎜6xy3x0⎟=9xye−18xye+6xyzexyz⎜0xyz23xy2⎟⎝⎠所以������������2232rot(ϕA)=∇×(ϕA)=3xy[(9xxe−)−9ye+5xze]xyz2.解：由高斯定律可知据题意上下端面、的面法线方向与电场方向垂直，则上式中对、的积分等于零，而侧面面的法线方向与电场方向平行，则封闭面内包含的总电荷量q为，所以3.解：球外空间的电位满足拉普拉斯方程，边界条件是，；，。因电位及其场均具有对称性，即,故拉普拉斯方程为对上式直接积分得： 由于，，故，为了决定常数，利用边界条件，得，因此众所周知，带电导体是一个等电位体，故上式中ra区域内电位处处等于U。由电场强度E(r)可求得电位的负梯度得到电场与电磁波》试题（12）参考答案1．解:（1）由高斯定律可得，内外导体间的电场强度沿径向方向，且大小为τE=2περ(R1<ρ