《概率论与数理统计》习题及答案 第七章.doc 21页

'《概率论与数理统计》习题及答案第　七　章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：（米）.已知测量结果服从，求参数和的矩估计.解的矩估计为，的矩估计为，所以2．设是来自对数级数分布的一个样本，求的矩估计.解（1）因为很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩（2）（1）（2）得所以所以得的矩估计·110· 3．设总体服从参数为和的二项分布，为取自的样本，试求参数和的矩估计解解之得，，即，，所以和的矩估计为，.4．设总体具有密度其中参数为已知常数，且，从中抽得一个样本，，求的矩估计解，解出得·110· 于是的矩估计为.5．设总体的密度为试用样本求参数的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：解出得所以的矩估计为.再求极大似然估计：，，，解得的极大似然估计：.6．已知总体在上服从均匀分布，是取自的样本，求的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：，·110· 解方程组得注意到，得的矩估计为，.再求极大似然估计，，由极大似然估计的定义知，的极大似然估计为；.7．设总体的密度函数如下，试利用样本，求参数的极大似然估计.（1）（2）.解（1）解似然方程，得的极大似然估计·110· （2）由极大似然估计的定义得的极大似然估计为样本中位数，即8．设总体服从指数分布试利用样本求参数的极大似然估计.解由极大似然估计的定义，的极大似然估计为9．设来自几何分布，试求未知参数的极大似然估计.解，解似然方程·110· ，得的极大似然估计。10．设是来自两个参数指数分布的一个样本.其中，求参数和的（1）极大似然估计；（2）矩估计。解（1）由极大似然估计的定义，得的极大似然估计为；解似然方程得的极大似然估计（2）解方程组得.所以的矩估计为·110· 11．罐中有个硬币，其中有个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5）其余个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为，利用（1）矩法；（2）极大似然法去估计参数。解设为连掷两次正面出现的次数，‘取出的硬币为普通硬币’，则,，即的分布为（1）解出得的矩估计为（2），，解似然方程·110· 得的极大似然估计.12．设总体的分布列为截尾几何分布，从中抽得样本，其中有个取值为，求的极大似然估计。解解似然方程得的极大似然估计.13．设总体服从正态分布是其样本，（1）求使得是的无偏估计量；（2）求使得为的无偏估计量.解（1）可见当时，是的无偏估计量.·110· （2）设，因，所以.因为，所以于是故当时是的无偏估计。14．设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数，统计量是的无偏估计量。证（此处利用了是的无偏估计，是的无偏估计），所以对任意的是的无偏估计。15．设总体有期望为一样本，问下列统计量是否为的无偏估计量？（1）;（2）;（3）;（4）；（5）；（6）.解（1），（2），（3）都是样本的线性组合，而且组合系数之和为1，故它们都是的无偏估计。但（4），（5），（6）一般不是的无偏估计，如·110· ，则，而不是0就是1，且，故即不是的无偏估计。16．设是参数的无偏估计量，且有，试证明不是的无偏估计量。证，即不是的无偏估计量.注：该题说明：当是未知参数的无偏估计时，的函数不一定是的函数的无偏估计。17．设总体，是来自的样本，试证估计量；，.都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效.证故都是的无偏估计.,，.所以最有效.18．设总体服从区间上的均匀分布，未知，·110· 是取自的样本。（1）求的矩估计和极大似然估计量；（2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是，请修正为无偏估计量；（3）问在（2）中两个无偏估计量哪一个更有效。解（1）先求矩估计，，所以的矩估计为再求极大似然估计.，所以的极大似然估计为（2）可见矩估计是的无偏估计.为求的数学期望，先求的密度.总体的分布函数为的分布函数为所以·110· 可见不是的无偏估计，若将修正为，则是的无偏估计。（3）.故较有效.19．设总体的数学期望已知，试证统计量是总体方差的无偏估计.证，证毕.20．设总体为来自的样本，试证·110· 是的相合（一致）估计.证因为相互独立，所以也相互独立且具有相同的分布，由大数定理，对任意的有.即依概率收敛于，而依概率收敛于，由依概率收敛的性质.又由于（当时）而，故依概率收敛于，从而是的相合估计。21．设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。证由切比雪夫不等式，对任意的有于是即依概率收敛于，故是的相合估计。22．设是取自均匀分布在上的一个样本，试证是的相合估计。证的分布函数为·110· 的密度为所以由切比雪夫不等式有当时故是的相合估计.23．从一批钉子中抽取16枚，测得长度（单位：厘米）为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11，设钉长分布为正态，试在下列情况下，求总体期望的置信度为0.90的置信区间。（1）已知厘米；（2）为未知.解（1）的置信区间为的置信区间为；·110· （2）的置信区间为的置信区间为.24．生产一个零件所需时间（单位：秒），观察25个零件的生产时间，得，试以0.95的可靠性求和的置信区间.解的置信区间为其中所以的置信度0.95下的置信区间为的置信区间为所以的置信区间为.25．零件尺寸与规定尺寸的偏差，令测得10个零件，得偏差值（单位：微米）2,1,–2,3,2,4,–2,5,3,4，试求的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。解的无偏估计为的无偏估计为的置信区间为所以的置信度为0.90的置信区间为；·110· 的置信区间为所以的置信度0.90下的置信区间为.26．对某农作物两个品种计算了8个地区的单位面积产量如下：品种A：86，87，56，93，84，93，75，79；品种B：80，79，58，91，77，82，74，66.假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产量之差在置信度为0.95下的置信区间.解此题是在的条件下求的置信区间.的置信区间为其中.所以的置信度为0.95下的置信区间为.27．设和两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得，，若批导线的电阻服从分布，批导线的电阻服从，求·110· 的置信度为0.90的置信区间.解的置信区间为其中.所以的置信度0.90下的置信区间为.28．两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件测量其长度，算得，假定各台机床零件长度服从正态分布，试求两个总体方差比的置信区间（置信度为0.95）。解的置信区间为其中所以的置信区间为.29．设是来自参数为的指数分布总体的一个样本，试求的置信度为的置信区间.解由习题六的第7题知.对于给定的，查分布表，求出临界值和使解出得·110· 即的置信度下的置信区间为.30．设总体服从区间上的均匀分布为来自的一个样本，试利用的分布导出未知参数的置信度为的置信区间.解的分布函数为的分布函数为的分布函数为对于给定的，令即由的分布函数的表达式即从而得·110· 即将暴露出来得所以的置信度为下的置信区间为31．设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体的一个样本值，已知服从正态分布（1）求的数学期望（记为）；（2）求的置信度为0.95的置信区间；（3）利用上述结果求的置信度为0.95的置信区间.解（1）；（2）的置信区间为其中，所以的置信区间为（3）由的严格单调性及（2）.注意到，知的置信度为0.95的置信区间为.·110· 32．从一台机床加工的轴中随机地取200根测量其椭圆度，由测量值（单位：毫米）计算得平均值，标准差，求此机床加工的轴之平均椭圆度的置信度为0.95的置信区间。解因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均椭圆度为，由中心极限定理近似服从，对于给定的，查正态分布表，求出临界值使即的置信区间为.33．在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货次品率的置信区间（置信度近似为0.95）解设次品率为，100件产品中的次品数为，由教材163页知，的置信区间为，其中此处本题中，于是的置信度近似为0.95的置信区间为.34．设为来自参数为的泊松分布的样本，试求的置信度近似为0.95的置信区间.解由中心极限定理知近似服从对于给定的，查正态分布表求出临界值使·110· 将括号内的不等式进行等价变换：所以的置信度近似为0.95的置信区间为，其中。·110·'