袁荫棠_中国人民大学出版社_第二章课后答案.pdf 18页

'课后答案网www.khdaw.com概率论第二章习题参考解答1.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果.写出它的概率函数和分布函数.解:假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上.则P(ξ=0)=P(ξ=1)=0.5.其分布函数为⎧0x<0⎪F(x)=⎨0.50≤x<1⎪⎩1x≥12.如果ξ服从0-1分布,又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍,写出ξ的分布律和分布函数.解:根据题意有P(ξ=1)=2P(ξ=0)(1)并由概率分布的性质知P(ξ=0)+P(ξ=1)=1(2)将(1)代入(2)得3P(ξ=0)=1,即P(ξ=0)=1/3再由(1)式得P(ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ01P1/32/3而分布函数为⎧0x<0⎪F(x)=⎨1/30≤x<1⎪⎩1x>=13.如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1,则称ξ服从退化分布.写出它的分布函数F(x),画出F(x)的图形.⎧0xa(λ>0)19.已知ξ~ϕ(x)=⎨,求常数c及P{a-1<ξ≤a+1}.⎩0其它+∞解:由性质∫ϕ(x)dx=1得−∞+∞a+∞+∞−λx−λx−λa∫ϕ(x)dx=∫0dx+∫cλedx=−ce|a=ce=1−∞−∞aλa解得c=e,因此有−λ(x−a)⎧λex>a(λ>0)ϕ(x)=⎨⎩0其它则a+1aa+11−λ(x−a)−λuP(a−1<ξ≤a+1)=∫ϕ(x)dx=∫0dx+∫λedx=∫λedua−1a−1a01−λu−λ=−e|=1−e020.二元离散型随机变量(ξ,η)有如下表所示的联合概率分布:ηξ012345600.2020.1740.1130.0620.0490.0230.004100.0990.0640.0400.0310.0200.0062000.0310.0250.0180.0130.00830000.0010.0020.0040.011求边缘概率分布,ξ与η是否独立? 课后答案网www.khdaw.com解:按下表计算ξ与η的边缘分布:η0123456p(1)ξi00.2020.1740.1130.0620.0490.0230.0040.627100.0990.0640.0400.0310.0200.0060.2602000.0310.0250.0180.0130.0080.09530000.0010.0020.0040.0110.018pj(2)0.2020.2730.2080.1280.1000.0600.029得ξ的边缘分布如下表所示:ξ0123P0.6270.2600.0950.018以及η的边缘分布如下表所示:η0123456P0.2020.2730.2080.1280.10.060.029当i=1及j=0时,(1)(2)因p=P{ξ=1,η=0}=0≠pp=P{ξ=1}P{η=0}=0.26×0.2021010因此ξ与η相互间不独立.21.假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排,5个灯泡在第二排.令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数.若ξ与η的联合分布如下表所示:ηξ01234500.010.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.010.040.060.060.05试计算在规定时间内下列事件的概率:(1)第一排烧坏的灯泡数不超过一个;(2)第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3)第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解:假设事件A为第一排烧坏的灯泡数不超过一个,B为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等,C为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数.则事件A发生的概率为上表中头两排概率之和14P(A)=∑∑pij=0.01+0.01+0.03+0.05+0.07+0.09+i=0j=0+0.01+0.02+0.04+0.05+0.06+0.08=0.52事件B发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和3P(B)=∑pii=0.01+0.02+0.05+0.06=0.14i=0 课后答案网www.khdaw.com事件C发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数),但为减少运算量,也可以考虑其逆事件C的概率,然后用1减去它.而C的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):P(C)=1−P(C)=1−(0.01+0.01+0.01+0.03+0.01+0.04)=1−0.11=0.8922.袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解:因为有两个2一个1,因此第一次取到2号的概率为P(ξ=2)=2/3,第一次取到1号的概率为P(ξ=1)=1/3.第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号,则在此条件下第二次取到1号的概率P(η=1|ξ=2)=P(η=2|ξ=2)=1/2.而第一次取到1号后还剩下两个2号,因此这时P(η=1|ξ=1)=0,P(η=2|ξ=1)=1.综上所述并用乘法法则可得1p=P(ξ=1,η=1)=P(ξ=1)P(η=1|ξ=1)=×0=011311p=P(ξ=1,η=2)=P(ξ=1)P(η=2|ξ=1)=×1=1233211p=P(ξ=2,η=1)=P(ξ=2)P(η=1|ξ=2)=×=21323211p=P(ξ=2,η=2)=P(ξ=2)P(η=2|ξ=2)=×=22323(ξ,η)的分布律如下表所示:ηξ12101/321/31/323.(ξ,η)只取下列数组中的值：1(0,0)(−1,1)(−1,)(2,0)3且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12.列出(ξ,η)的概率分布表,写出关于η的边缘分布.1解:从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值,而η只取0,,1这三个值,因此总共可构成九个3数对,其中只有四个数对的概率不为零.概率分布表及η的边缘分布计算如下ηξ01/31-101/121/301/60025/1200p(2)7/121/121/3j即η的边缘分布率如下表所示 课后答案网www.khdaw.comη01/31P7/121/121/324.袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解:第一次取到号码1,2,3的概率为P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3则p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=0即联合概率分布表如下表所示ηξ123101/61/1221/61/61/631/121/6025.ξ表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求(ξ,η)的联合概率分布.解:因ξ取四个数中的任何一个概率相等,因此有P{ξ=i}=1/4,(i=1,2,3,4)而在ξ=i的条件下,(i=1,2,3,4),η取1到i的概率也相同,为1/i,即P{η=j|ξ=i}=1/i,(i=1,2,3,4;j=1-i)因此有pij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i),(i=1,2,3,4;j=1-i),联合概率分布如下表所示:ηξ1234 课后答案网www.khdaw.com11/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16⎧π⎪csin(x+y)0≤x,y≤26.已知(ξ,η)~ϕ(x,y)=⎨4,试确定常数c并求η的边缘概率密⎪⎩0其它度.+∞+∞解:根据性质∫∫ϕ(x,y)dydx=1,有−∞−∞ππππ444π4π∫∫csin(x+y)dydx=c∫dx[−cos(x+y)]4=c∫dx[cosx−cos(x+)]040000ππ422=c[sinx−sin(x+)]=c[−1−0+]=c(2−1)=1422012+1解得c===2+1,2−1(2−1)(2+1)⎧π⎪(2+1)sin(x+y)0≤x,y≤因此,ϕ(x,y)=⎨4⎪⎩0其它求η的边缘概率密度:π当0≤y≤时:4π+∞4κϕ(y)=ϕ(x,y)dx=(2+1)sin(x+y)dx=−(2+1)cos(x+y)4=2∫∫0−∞0π=(2+1)[cosy−cos(y+)]=4π=(2+1)2−2sin(y+)8上式后一等式利用了三角函数公式B+AB−AπcosA−cosB=2sinsin,而计算三角函数sin的值,又是在已知228π2θ1−cosθcos=的前提下,利用半角公式sin=得4222 课后答案网www.khdaw.comπ21−cos1−π422−2sin===8222π当y取区间[0,]之外的值时,ϕ(y)=0.14因此最后得:⎧ππ⎪(2+1)2−2sin(y+)0≤y≤ϕ2(y)=⎨84⎪⎩0其它27.已知ξ服从参数p=0.6的0-1分布,在ξ=0及ξ=1条件下,关于η的条件分布分别如下二表所示:η123P{η|ξ=0}1/41/21/4η123P{η|ξ=1}1/21/61/3求二元随机变量(ξ,η)的联合概率分布,以及在η≠1时关于ξ的条件分布.解:根据题意已知P{ξ=0}=1-p=1-0.6=0.4,P{ξ=1}=p=0.6则根据乘法法则有:p01=P{ξ=0,η=1}=P{ξ=0}P{η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1p02=P{ξ=0,η=2}=P{ξ=0}P{η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2p03=P{ξ=0,η=3}=P{ξ=0}P{η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2列出联合分布律如下表所示:ηξ12300.10.20.110.30.10.2由表中可以算出P{η≠1}=1-P{η=1}=1-(p01+p11)=1-0.4=0.6P{ξ=0,η≠1}=p02+p03=0.2+0.1=0.3P{ξ=1,η≠1}=p12+p13=0.1+0.2=0.3因此有P{ξ=0,η≠1}0.3P{ξ=0|η≠1}===0.5P{η≠1}0.6P{ξ=1,η≠1}0.3P{ξ=1|η≠1}===0.5P{η≠1}0.6 课后答案网www.khdaw.com则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:ξ01P{ξ|η≠0}0.50.528.第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当ξ=1时η的条件分布是什么？解:第22题中的分布律已经计算出如下表所示:ηξ12101/321/31/3从表中看出是明显不独立的,因为P{ξ=1}=1/3,P{η=1}=1/3而P{ξ=1,η=1}=0≠P{ξ=1}P{η=1}在ξ=1条件下,因P{ξ=1,η=1}0P{η=1|ξ=1}===0P{ξ=1}1/3P{ξ=1,η=2}1/3P{η=2|ξ=1}===1P{ξ=1}1/3因此在此条件下η服从单点分布或退化分布,只取值为2,取值为2的条件概率为1.29．ξ与η相互独立,其概率分布如下二表所示ξ-2-101/2P1/41/31/121/3η-1/213P1/21/41/4求(ξ,η)的联合分布,P(ξ+η=1),P(ξ+η≠0).解:因ξ与η相互独立,因此有pij=pi(1)pj(2),算得联合分布律如下表所示ηξ-1/213-21/81/161/16-11/61/121/1201/241/481/481/21/61/121/12根据此联合分布律可算出 课后答案网www.khdaw.com1141P(ξ+η=1)=P(ξ=−2,η=3)+P(ξ=0,η=1)=+==16484812P(ξ+η≠0)=1−P(ξ+η=0)=1−P(ξ=−1,η=1)−P(ξ=1/2,η=−1/2)=1193=1−−==12612430.测量一矩形土地的长与宽,测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立),求周长ζ的分布.长度ξ293031P0.30.50.2宽度η192021P0.30.40.3解:因ζ=2ξ+2η,可知ζ的取值为96,98,100,102,104,又因ξ与η独立,因此有P{ζ=96}==P{ξ=29}P{η=19}=0.3×0.3=0.09P{ζ=98}=P{ξ=29}P{η=20}+P{ξ=30}P{η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27P{ζ=100}=P{ξ=29}P{η=21}+P{ξ=30}P{η=20}+P{ξ=31}}P{η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P{ζ=102}=P{ξ=30}P{η=21}+P{ξ=31}P{η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23P{ζ=104}=P{ξ=31}P{η=21}=0.2×0.3=0.06因此ζ的分布律如下表所示:周长ζ9698100102104P0.090.270.350.230.0631.测量一圆形物件的半径R,其分布如下表所示,求圆周长ξ与圆面积η的分布.R10111213P0.10.40.30.2解:因周长ξ=2πR,面积η=πR2,因此当半径R取值10,11,12,13时,ξ的取值为62.83,69.12,75.4,81.68,η的取值为314.16,380.13,452.39,530.93,相应的分布律如下二表所示ξ62.8369.1275.481.68P0.10.40.30.2η314.16380.13452.39530.93P0.10.40.30.232.一个商店每星期四进货,以备星期五,六,日3天销售,根据多周统计,这3天销售件数ξ1,ξ2,ξ3彼此独立,且有如下表所示分布:ξ1101112P0.20.70.1ξ2131415P0.30.60.1 课后答案网www.khdaw.comξ3171819P0.10.80.13问三天销售总量η=∑ξi这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件,不够卖的概率是多i=1少?如果进货40件,够卖的概率是多少?解:因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和,因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值,即40,41,42,43,44,45,46.因此,如进货15件,不够卖的概率在η取值为46时出现,即P{η=46}=P{ξ1=12}P{ξ2=15}P{ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001如进货40件,够卖的概率发生在η取值为40时出现,即P{η=40}=P{ξ1=10}P{ξ2=13}P{ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.00633.求出第22题中ξ+η的分布律.解:因第22题已经算出的ξ与η的联合分布律如下表:ηξ12101/321/31/3则P{ξ+η=2}=P{ξ=1,η=1}=0P{ξ+η=3}=P{ξ=1,η=2}+P{ξ=2,η=1}=2/3P{ξ+η=4}=P{ξ=2,η=2}=1/3即ξ+η的分布律如下表所示:ξ+η34P2/31/334.求出第23题中ξ-η的分布律解:因(ξ,η)只取下列数组中的值：1(0,0)(−1,1)(−1,)(2,0)3且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12.因此ξ-η也只取0-0=0,-1-1=-2,-1-1/3=-4/3,2-0=2这四个值,相应的概率也还是依次为1/6,1/3,1/12,5/12.即分布律如下表所示ξ-η-2-4/302P1/31/121/65/1235.已知P{ξ=k}=a/k,P{η=-k}=b/k2(k=1,2,3),ξ与η独立,确定a,b的值;求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布.解:由概率分布的性质有3⎛11⎞16∑P{ξ=k}=a⎜1++⎟=1,解得a===0.5455k=1⎝23⎠11111++23 课后答案网www.khdaw.com3⎛11⎞136∑P{η=−k}=b⎜1++⎟=1,解得b===0.7347k=1⎝49⎠1+1+14949因此有P{ξ=1}=0.5455,P{ξ=2}=0.5455/2=0.2727,P{ξ=3}=0.1818P{η=-1}=0.7347,P{η=-2}=0.1837,P{η=-3}=0.0816因ξ与η独立,则有p11=P{ξ=1,η=-1}=P{ξ=1}P{η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008p12=P{ξ=1,η=-2}=P{ξ=1}P{η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002p13=P{ξ=1,η=-3}=P{ξ=1}P{η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445p21=P{ξ=2,η=-1}=P{ξ=2}P{η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004p22=P{ξ=2,η=-2}=P{ξ=2}P{η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501p23=P{ξ=2,η=-3}=P{ξ=2}P{η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223p31=P{ξ=3,η=-1}=P{ξ=3}P{η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336p32=P{ξ=3,η=-2}=P{ξ=3}P{η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333p33=P{ξ=3,η=-3}=P{ξ=3}P{η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148即联合分布表如下表所示:ηξ-1-2-310.40080.10020.044520.20040.05010.022330.13360.03330.0148计算ξ+η的概率分布:P{ξ+η=-2}=p13=0.0445P{ξ+η=-1}=p12+p23=0.1002+0.0223=0.1225P{ξ+η=0}=p11+p22+p33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657P{ξ+η=1}=p21+p32=0.2004+0.0333=0.2337P{ξ+η=2}=p31=0.1336即ξ+η的概率分布率如下表所示ξ+η-2-1012P0.04450.12250.46570.23370.133636.已知ξ服从区间[0,1]上的均匀分布,求ξ的函数η=3ξ+1的概率分布.解:根据题意知ξ的概率密度φξ(x)为⎧10≤x≤1ϕξ(x)=⎨⎩0其它则η的分布函数为x−1x−1F(x)=P{η≤x}=P{3ξ+1≤x}=P{ξ≤}=F()ηξ33对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为 课后答案网www.khdaw.com′1′x−11x−1ϕ(x)=F(x)=F()=ϕ()ηηξ3333⎧1x−1⎪0≤≤1=⎨33⎪⎩0其它⎧1⎪1≤x≤4=⎨3⎪⎩0其它即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.⎧2⎪x>037.已知ξ～()2,,求η的概率密度.ϕx=⎨π(1+x)η=lnξ⎪⎩0其它解:求η的分布函数Fη(x)为xxF(x)=P{η≤x}=P{lnξ≤x}=P{ξ≤e}=F(e)ηξ因ex总大于0,而当x大于0时Fξ(x)为xx22x2F(x)=ϕ(t)dt=dt=arctgt|=arctgxξ∫∫π(1+t2)π0π−∞0因此有x2xF(x)=F(e)=arctgeηξπ则η的概率密度为其分布函数的求导:x′2eϕ(x)=F(x)=⋅ηη2xπ1+e'