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- 2022-04-29 14:06:10 发布
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'28习题2.1解答1.现有10件产品,其中6件正品,4件次品。从中随机抽取2次,每次抽取1件,定义两个随机变量、如下:试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布。(1)第1次抽取后放回;(2)第1次抽取后不放回。解(1)依题知所有可能的取值为.因为所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为:01011
28(2)类似于(1),可求得所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为:010112.已知10件产品中有5件一级品,2件废品。现从这批产品中任意抽取3件,记其中的一级品数与废品数分别为、,求的联合概率分布和边缘概率分布。解依题知、所有可能的取值分别为及,故
28所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为:012012030013.已知随机变量、的概率分布分别为01-101且,求(1)和的联合概率分布;(2).解(1)因为所以
2801-100101又根据得,从而.于是由表可得,,,.故的联合概率分布为01-1000101(2)由(1)知.4.设二维随机向量的联合概率密度为试求:(1)常数;(2)关于、的边缘概率密度;
28(3);(4);(5).解(1)由联合概率密度分的性质知,即,求得.(2)当时,有.当时,有.所以关于的边缘概率密度为同理可得关于的边缘概率密度为(3).1xoyy=-0.5x+0.50.5(4)积分区域如图阴影部分
28xoyy=x(5)积分区域如图阴影部分=.5.设二维随机向量的联合概率密度为试求:(1)关于、的边缘概率密度;(2).解(1)当时,有;当时,有.所以关于的边缘概率密度为同理可得关于的边缘概率密度为(2)由条件概率的定义知而
28;;于是.6.设二维随机向量的联合概率密度为试求:(1)关于、的边缘概率密度;(2).解(1)当时,有;当时,有.所以关于的边缘概率密度为同理当时,有;当时,有.所以关于的边缘概率密度为(2).7.某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室会面,并约定先到者等20分钟后即可离去,试求二人能会面的概率。解记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为12点分与12点分。依题可假定服从区域
28上的均匀分布,其联合概率密度为2060xoy6020“二人能会面”这一事件(图中所示阴影部分)可表示为于是
36习题2.2解答1.设随机变量与相互独立同分布,且,,则().(A)(B)(C)(D)解由与相互独立同分布知的联合概率分布为01011于是有2.设随机变量相互独立同分布,且,,求行列式的分布列。解,而、的概率分布分别为:010.840.16010.840.16由于相互独立,所以与也独立同分布,故的概率分布为
36-1010.13440.73120.1344即3.设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分布,且求与的联合概率分布。解依题的概率分布为;;;.即010014.求习题2.1第4,5,6题中的联合分布函数。解(习题2.1第4题)当时,有
36;当时,有.所以的联合分布函数为(习题2.1第5题)当时,有;当时,有;当时,有;当时,有;当时,有.所以的联合分布函数为(习题2.1第6题)类似地可求得的联合分布函数为5.设二维随机向量的联合概率密度为
36求的联合分布函数。解当时,有;当时,有;当时,有;当时,有;当时,有.所以的联合分布函数为6.设随机变量与相互独立,其概率密度函数分别为求:(1)常数;(2)随机变量的概率密度函数。解(1).(2)因与相互独立,故的联合概率密度为于是当时,有;当时,有
36;当时,有;利用分布函数法求得的概率密度函数为7.设的联合分布函数为求:(1)常数;(2)的联合概率密度;(3)的边缘分布函数和边缘概率密度;(4),,;(5)判断与的独立性。解(1)依分布函数的性质知;;解得,.(2);(3)依联合分布函数的性质知
36,;所以的边缘概率密度分别为,.(4),,(5)因为所以与相互独立.8.设某仪器由两个部件构成,用、分布表示两个部件的寿命(单位:小时),已知的联合分布函数为试求:(1)求的两个边缘分布函数;(2)求联合概率密度与边缘概率密度;(3)与是否独立;(4)两个部件寿命都超过100小时的概率。解(1)当时,有;当时,有.所以关于的边缘分布函数为类似地关于的边缘分布函数为(2)当时,有
36所以联合概率密度为相应地其边缘概率密度分别为(3)因为所以与相互独立。(4)所求事件的概率为9.设与相互独立,且服从的指数分布,服从的指数分布,试求:(1)联合概率密度与边缘概率密度;(2);(3)在取值的概率。解(1)依题知所以联合概率密度当时,有所以联合分布函数
36(2);(3).10.对随机变量,有,求,.解依题得11.的联合概率密度为求概率密度函数。解当时,有;当时,有;当时,有.所以的概率密度函数为'
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