《概率论与数理统计》课后习题答案.pdf 20页

'1习题1.1解答1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。解：Ω={(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}A={(正，正)，（正，反）}；B={（正，正），（反，反）}C={(正，正)，（正，反），（反，正）}2.在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,A+B,AC,BC,A−B−C−D中的样本点。解：Ω={(1,1),(1,2),⋯,(1,6),(2,1),(2,2),⋯,(2,6),⋯,(6,1),(6,2),⋯,(6,6)}；AB={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)}；A+B={(1,1),(1,3),(1,5),⋯,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)}；AC=Φ；BC={(1,1),(2,2)}；A−B−C−D={(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)}3.以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC+ABC+ABC；（4）ABC+ABC+ABC;（5）A+B+C；（6）ABC；（7）ABC+ABC+ABC+ABC或AB+AC+BC（8）ABC；（9）A+B+C4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A,A,A分别表示甲、乙、丙射中。试说明123下列事件所表示的结果：A2,A2+A3,A1A2,A1+A2,A1A2A3,AA+AA+AA.122313解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件A,B,C满足ABC≠Φ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：A+B+C，AB+C，B−AC.解：如图： 2ACABCABCABCABCABCABCABCABCBΩA+B+C=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC;AB+C=ABC+C;B−AC=ABC+ABC+ABC=BA+ABC=BC+ABC6.若事件A,B,C满足A+C=B+C，试问A=B是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A={3,4,5}，B={3}，C={4,5}，那么，A+C=B+C，但A≠B。7.对于事件A,B,C，试问A−(B−C)=(A−B)+C是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A={3,4,5}，B={4,5,6}，C={6,7}，那么A−(B−C)={3}，但是(A−B)+C={3,6,7}。118.设P(A)=，P(B)=，试就以下三种情况分别求P(BA)：321（1）AB=Φ，（2）A⊂B，（3）P(AB)=.8解：1（1）P(BA)=P(B−AB)=P(B)−P(AB)=；21（2）P(BA)=P(B−A)=P(B)−P(A)=；6113（3）P(BA)=P(B−AB)=P(B)−P(AB)=−=。288119.已知P(A)=P(B)=P(C)=，P(AC)=P(BC)=，P(AB)=0求事件416A,B,C全不发生的概率。 3解：P(ABC)=P(A+B+C)=1−P(A+B+C)=1−[P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)]⎡11111⎤3=1−++−0−−+0=⎢⎣4441616⎥⎦810.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A=“三个都是红灯”=“全红”；B=“全绿”；C=“全黄”；D=“无红”；E=“无绿”；F=“三次颜色相同”；G=“颜色全不相同”；H=“颜色不全相同”。解：1×1×112×2×28P(A)=P(B)=P(C)==；P(D)=P(E)==；3×3×3273×3×32711113!2P(F)=++=；P(G)==；27272793×3×3918P(H)=1−P(F)=1−=.9911.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：211221CCCC+CC982298298（1）P==0.0588；（2）P==0.0594；33CC100100每次拿一件，取后放回，拿3次：232×9898（1）P=×3=0.0576；（2）P=1−=0.0588；33100100每次拿一件，取后不放回，拿3次：2×98×97（1）P=×3=0.0588；100×99×9898×97×96（2）P=1−=0.0594100×99×9812.从0,1,2,⋯,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：A1={三个数字中不含0与5}，A2={三个数字中不含0或5}。 4解：3C87P(A)==；13C15103312C9−C814C814P(A)==或P(A)=1−=2323C15C15101013.从0,1,2,⋯,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。325P9−4P841解：P==4P901014.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：64211C6×11（1）P=1−=̇0.41；（2）P==̇0.00061；661212142CC11126（3）P==̇0.007361215.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：131213111CC+CCCCCCC413413394131313P==̇0.602或P=1−=̇0.60233CC5252 5习题1.2解答1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令A=“取到的是i等品”，i=1,2,3iP(A1A3)P(A1)0.62P(AA)====。13P(A)P(A)0.93332.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令A=“两件中至少有一件不合格”，B=“两件都不合格”2C42P(AB)P(B)C1P(B|A)===10=2P(A)1−P(A)C51−62C103.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1）两种报警系统I和II都有效的概率；（2）系统II失灵而系统I有效的概率；（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A=“系统（Ⅰ）有效”，B=“系统（Ⅱ）有效”则P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85（1）P(AB)=P(B−AB)=P(B)−P(AB)=P(B)−P(A)P(B|A)=0.93−(1−0.92)×0.85=0.862（2）P(BA)=P(A−AB)=P(A)−P(AB)=0.92−0.862=0.058P(AB)0.058（3）P(A|B)===̇0.8286P(B)1−0.934.设00，P(B)>0，则有（1）当A与B独立时，A与B相容；（2）当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A)>0,P(B)>0（1）因为A与B独立，所以P(AB)=P(A)P(B)>0，A与B相容。（2）因为P(AB)=0，而P(A)P(B)>0，∴P(AB)≠P(A)P(B)，A与B不独立。7.已知事件A,B,C相互独立，求证A∪B与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，∴P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)−P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)−P(A)P(B)P(C)=[P(A)+P(B)−P(AB)]P(C)=P(A∪B)P(C)∴A∪B与C独立。8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A,A,A分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，123那么P(A)=0.7,P(A)=0.8,P(A)=0.9123令B表示最多有一台机床需要工人照顾， 7那么P(B)=P(AAA+AAA+AAA+AAA)123123123123=P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)123123123123=0.7×0.8×0.9+0.3×0.8×0.9+0.7×0.2×0.8+0.7×0.8×0.1=0.9029.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(00，求常k!数C.∞k∞kλ−λλ−λ解：∵∑ce=1，而∑e=1k=1k!k=0k!⎡0⎤λ−λ−λ−1∴c⎢1−e⎥=1，即c=(1−e)⎣0!⎦3.设一次试验成功的概率为p(01).0λ−λ1解：∵P(X=0)=e=,∴λ=ln20!2P(X>1)=1−P(X≤1)=1−[P(X=0)+P(X=1)]111=1−[+ln2]=(1−ln2)2228.设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。12λ−λλ−λ解：∵P(X=1)=P(X=2)，即e=e,λ=21!2!−2∴P（X=0）=e−24−8∴P=(e)=e9.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；t9.在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为的2Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）.求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； 13解：33−（1）t=3,λ=P(X=0)=e2255−（2）t=5,λ=P(X≥1)=1−P(X=0)=1−e2210.已知X的概率分布为：X-2-101231P2a3aaa2a102试求（1）a；（2）Y=X−1的概率分布。解：1（1）∵2a++3a+a+a+2a=1101∴a=。10（2）Y−10383131P10510511.设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示.f(x)0.5to123x图1.3.8试求:（1）t的值；（2）X的概率密度；（3）P(−2).6+∞a解：令∫f(x)dx=1，即∫sinxdx=1−∞0aπ∴−cosx0=1，即cosa=0,a=2π2ππ3P(X>)=sinxdx=−cosx|2=∫π62π66−x2+x13.乘以什么常数将使e变成概率密度函数?+∞−x2+x解：令∫cedx=1−∞+∞121−(x−)即c∫e2e4dx=1−∞111−即ce4π=1∴c=e4π214.随机变量X~N(µ,σ)，其概率密度函数为2−x−4x+4f(x)=1e6(−∞0,F(x)=⎨⎩0,x≤0试求:（1）A,B的值；（2）P(−10（3）f(x)=F"(x)=⎨⎩0,x≤06.设X为连续型随机变量，其分布函数为⎧a,x<1;⎪F(x)=⎨bxlnx+cx+d,1≤x≤e;⎪⎩d,x>e.试确定F(x)中的a,b,c,d的值。解：∵F(−∞)=0∴a=1又∵F(+∞)=1∴d=1又∵lim(bxlnx+cx+1)=a=0∴c=−1x→1−又∵lim(bxlnx−x+1)=d=1∴be−e+1=1即b=1x→e−7.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=a，试确定a的值并求F(x)2π(1+x)和P(X<1).+∞a解：∵dx=1∫2π(1+x)−∞a+∞即arctanx|=1∴a=1−∞πxa11F(x)=∫2dt=+arctanx,−∞t)=P(N(t)=0)=e−0.1t∴F(t)=P(X≤t)=1−P(X>t)=1−e当t<0时，F(t)=0 19⎧−0.1x1−ex≥0∴F(x)=⎨⎩0x<0X服从指数分布（λ=0.1）−0.1×3（2）F(3)=1−e≈0.26（3）F(5)−F(3)≈0.139.设X~N(−1,16)，试计算（1）P(X<2.44)；（2）P(X>−1.5)；（3）P(X<4)；（4）P(X−1>1).解：2.44−(−1)3.44（1）P(X<2.44)=Φ()=Φ()=̇0.805144（2）P(X>−1.5)=1−P(X≤−1.5)−1.5+11=1−Φ()=1−Φ(−)=̇0.5498484+1−4+15−3（3）P(|X|<4)=Φ()−Φ()=Φ()−Φ()444453=Φ()+Φ()−1=̇0.667844（4）P(|X−1|>1)=P[(X<0)∪(X>2)]=P(X<0)+P(X>2)0+12+113=Φ()+1−Φ()=Φ()+1−Φ()=̇0.82534444210.某科统考成绩X近似服从正态分布N(70,10)，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？20解：∵P(X≥x|X≥60)=100P[(X≥x)∩(X≥60)]P(X≥x)而P(X≥x|X≥60)==P(X≥60)P(X≥60)⎛60−70⎞又∵P(X≥60)=1−Φ⎜⎟=Φ(1)=̇0.8413⎝10⎠∴P(X≥x)=0.2×0.8413=0.16826⎛x−70⎞即P(X≥x)=1−Φ⎜⎟=Φ(1)=0.16826⎝10⎠⎛x−70⎞x−70∴Φ⎜⎟=0.83174，≈0.96，x≈79.6⎝10⎠102211.设随机变量X和Y均服从正态分布，X~N(µ,4)，Y~N(µ,5)，而p=P(X≤µ−4)，p=P(Y≥µ+5)，试证明p=p.1212证明：⎛µ−4−µ⎞∵p1=P(X≤µ−4)=Φ⎜⎟=Φ(−1)⎝4⎠ 20⎛µ+5−µ⎞p2=P(Y≥µ+5)=1−Φ⎜⎟=1−Φ(1)=Φ(−1)⎝5⎠∴p=p.1212.设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0)，试求随机变量Y的密度函数。解：⎧⎛y−d⎞1y−d⎪fX⎜⎟⋅,a≤≤bfY(y)=⎨⎝c⎠|c|c⎪⎩0,其它⎧1⎪,ca+d≤y≤cb+d当c>0时，fY(y)=⎨c(b−a)⎪⎩0,其他⎧1⎪−,cb+d≤y≤ca+d当c<0时，fY(y)=⎨c(b−a)⎪⎩0,其他'