《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1.pdf 20页

'GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.1习题1.1解答1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）A(正，正)，（正，反）；B（正，正），（反，反）C(正，正)，（正，反），（反，正）2.在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,AB,AC,BC,ABCD中的样本点。解：1,1(),2,1(),6,1(,),1,2(),2,2(),6,2(,),1,6(,),2,6(),)6,6(,；AB1,1(),3,1(),2,2(),)1,3(；AB1,1(),3,1(),5,1(),2,6(,),4,6(),6,6(),2,1(),)1,2(；AC；BC1,1(),)2,2(；ABCD5,1(),4,2(),6,2(),2,4(),6,4(),1,5(),2,6(),)4,6(3.以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABCABCABC；（4）ABCABCABC;（5）ABC；（6）ABC；（7）ABCABCABCABC或ABACBC（8）ABC；（9）ABC4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A,A,A分别表示甲、乙、丙射中。试说明123下列事件所表示的结果：A,AA,AA,AA,AAA,2231212123AAAAAA.122313解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件A,B,C满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：ABC，ABC，BAC.解：如图： GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.2ACABCABCABCABCABCABCABCABCBABCABCABCABCABCABCABCABC;ABCABCC;BACABCABCABCBAABCBCABC6.若事件A,B,C满足ACBC，试问AB是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A5,4,3，B3，C5,4，那么，ACBC，但AB。7.对于事件A,B,C，试问A(BC)(AB)C是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A5,4,3，B6,5,4，C7,6，那么A(BC)3，但是(AB)C7,6,3。118.设P(A)，P(B)，试就以下三种情况分别求P(BA)：321（1）AB，（2）AB，（3）P(AB).8解：1（1）P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)；21（2）P(BA)P(BA)P(B)P(A)；6113（3）P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)。288119.已知P(A)P(B)P(C)，P(AC)P(BC)，P(AB)0求事件416A,B,C全不发生的概率。 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.3解：P(ABC)PABC1P(ABC)=1P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)1111131004441616810.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A“三个都是红灯”=“全红”；B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相同”；G“颜色全不相同”；H“颜色不全相同”。解：11112228P(A)P(B)P(C)；P(D)P(E)；33327333271111!32P(F)；P(G)；2727279333918P(H)1P(F)1.9911.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：211221CCCCCC982298298（1）P.00588；（2）P.00594；33CC100100每次拿一件，取后放回，拿3次：2329898（1）P3.00576；（2）P1.00588；33100100每次拿一件，取后不放回，拿3次：29897（1）P3.00588；1009998989796（2）P1.00594100999812.从,2,1,09,中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：A三个数字中不含0与5，A三个数字中不含0或5。12 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.4解：3C78P(A)；13C15103312C9C814C814P(A)或P(A)12323C15C15101013.从,2,1,09,中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。325P94P841解：P4P901014.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：64211C611（1）P1.041；（2）P.000061；661212142CC11126（3）P.0007361215.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：131213111CCCCCCCCC413413394131313P.0602或P1.060233CC5252 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.5习题1.2解答1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令A“取到的是i等品”，i3,2,1iP(A1A3)P(A1)6.02P(AA)。13P(A)P(A)9.03332.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令A“两件中至少有一件不合格”，B“两件都不合格”2C42P(AB)P(B)C101P(B|A)2P(A)1P(A)C5162C103.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1）两种报警系统I和II都有效的概率；（2）系统II失灵而系统I有效的概率；（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A“系统（Ⅰ）有效”，B“系统（Ⅱ）有效”则P(A).092,P(B).093,P(B|A).085（1）P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A).0931(.092).085.0862（2）P(BA)P(AAB)P(A)P(AB).092.0862.0058P(AB).0058（3）P(A|B).08286P(B)1.0934.设0P(A)1，证明事件A与B独立的充要条件是P(B|A)P(B|A)证：：A与B独立，A与B也独立。P(B|A)P(B),P(B|A)P(B)P(B|A)P(B|A)：0P(A)10P(A)1P(AB)P(AB)又P(B|A),P(B|A)P(A)P(A) GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.6P(AB)P(AB)而由题设P(B|A)P(B|A)P(A)P(A)即1[P(A)]P(AB)P(A)[P(B)P(AB)]P(AB)P(A)P(B)，故A与B独立。5.设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都1是，求P(A)和P(B).41解：P(AB)P(AB)，又A与B独立41P(AB)P(A)P(B)1[P(A)]P(B)41P(AB)P(A)P(B)P(A)[1P(B)]421P(A)P(B),P(A)P(A)41即P(A)P(B)。26.证明若P(A)>0，P(B)>0，则有（1）当A与B独立时，A与B相容；（2）当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A),0P(B)0（1）因为A与B独立，所以P(AB)P(A)P(B)0，A与B相容。（2）因为P(AB)0，而P(A)P(B)0，P(AB)P(A)P(B)，A与B不独立。7.已知事件A,B,C相互独立，求证AB与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，P[(AB)C]P(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)[P(A)P(B)P(AB)]P(C)P(AB)P(C)AB与C独立。8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A,A,A分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，123那么P(A),7.0P(A),8.0P(A)9.0123令B表示最多有一台机床需要工人照顾， GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.7那么P(B)P(AAAAAAAAAAAA)123123123123P(AAA)P(AAA)P(AAA)P(AAA)1231231231237.08.09.03.08.09.07.02.08.07.08.01.0.09029.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p0(p)1，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。12n系统In+1n+22n12n系统IIn+1n+22n解：令A“系统（Ⅰ）正常工作”B“系统（Ⅱ）正常工作”A“第i个元件正常工作”，i,2,12,niP(A)P,A,A,,A相互独立。i122n那么P(A)P(AAA)(AAA)12nn1n22nP(AAA)P(AAA)P(AAA)12nn1n22n122nn2n2nP(Ai)P(Ai)P(Ai)i1in1i1n2nnn2PPP2(P)P(B)P[(AA)(AA)(AA)]1n12n2n2nnP(AiAni)i1n[P(Ai)P(Ani)P(Ai)P(Ani)]i1注：利用第7题的方法可以证n2[PP2]Pn2(P)n明(AA)与(AA)inijnji1ij时独立。10.10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2）第二人中奖的概率。解：令A“第i个人中奖”，i3,2,1i(1)P(AAAAAAAAA)123123123 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GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.913.每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：（1）抽取的1件产品为正品的概率；（2）该箱产品通过验收的概率。解：令A“抽取一件产品为正品”A“箱中有i件次品”，i2,1,0iB“该箱产品通过验收”22110i（1）P(A)P(Ai)P(A|Ai)9.0i0i0310（2）P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)9.0.0981.0.005.088714.假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n)2台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2件不能出厂的概率；（3）其中至少有2件不能出厂的概率。解：令A“仪器需进一步调试”；B“仪器能出厂”A“仪器能直接出厂”；AB“仪器经调试后能出厂”显然BAAB，那么P(A),3.0P(B|A)8.0P(AB)PA)P(B|A)3.08.0.024所以P(B)P(A)P(AB)7.0.024.094令B“n件中恰有i件仪器能出厂”，i,1,0,nin（1）P(B).0(94)nn2n222n22（2）P(B)C.0(94).0(06)C.0(94).0(06)nn22nn1n1n（3）P(Bk)1P(Bn1)P(Bn)1Cn.006.0(94).0(94)15.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为k0p，试求以下事件的概率：（1）直到第r次才成功；（2）第r次成功之前恰失败k次；（3）在n次中取得r1(rn)次成功； GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.10（4）直到第n次才取得r1(rn)次成功。解：r1（1）Pp1(p)r1rk（2）PCp1(p)rk1rrnr（3）PCp1(p)nr1rnr（4）PCp1(p)n116.对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解：令A“恰有i次击中飞机”，i3,2,1,0iB“飞机被击落”显然：P(A)1(4.0)(15.0)(1)7.0.0090P(A)4.01()5.01()7.01()4.05.01()7.01()4.01()5.07.01.036P(A)4.05.01()7.04.01()5.07.01()4.05.07.02.041P(A)4.05.07.0.0143而P(B|A)0，P(B|A)2.0，P(B|A)6.0，P(B|A)10123所以3P(B)P(Ai)P(B|Ai).0458；P(B)1P(B)1.0458.0542i0 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.11习题1.3解答11.设X为随机变量，且P(Xk)(k,2,1),则k2（1）判断上面的式子是否为X的概率分布；（2）若是，试求P(X为偶数）和P(X)5.1解：令P(Xk)p,k,2,1kk2（1）显然0p1，且k112pkk11k1k12121所以P(Xk),k,2,1为一概率分布。k21141（2）P(X为偶数)p2k2k1k1k1214311251P(X)5pkk1k5k521216kC2.设随机变量X的概率分布为P(Xk)e(k,2,1),且0，求常k!数C.kk解：ce1，而e1k1k!k0k!01c1e1，即c1(e)!03.设一次试验成功的概率为p0(p)1，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。k1解：P(Xk)p1(p),k,2,14.设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）X的概率分布；（2）P(X)5。解：kk（1）P(Xk)1(p)p)9.0(,1.0k,2,1,0k5（2）P(X)5P(Xk))9.0(1.0)9.0(k5k55.一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？ GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.1211解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p，所以这是一个n5,p44的独立重复试验。4143515301P(X)4C()C()()554444646.为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？解：2019（1）1.0(99)20.001.0(99).00175（按Poisson(泊松)分布近似）（2）n100,np100.0011（按Poisson(泊松)分布近似）100100k1kk100k1eP(XN)1C100.0(01).0(99).001kN1kN1k!查表得N417.设随机变量X服从参数为的Poisson(泊松)分布，且P(X)0，求2（1）；（2）P(X)1.01解：P(X)0e,ln20!2P(X)11P(X)11[P(X)0P(X1)]1111[ln]21(ln)22228.设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。12解：P(X)1P(X)2，即ee,21!2!2P（X0）e248P(e)e9.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；t9.在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为的2Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）.求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.13解：33（1）t3,P(X)0e2255（2）t5,P(X)11P(X)01e2210.已知X的概率分布为：X-2-101231P2a3aaa2a102试求（1）a；（2）YX1的概率分布。解：1（1）2a3aaa2a1101a。10（2）Y10383131P10510511.设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示.f(x)0.5to123x图1.3.8试求:（1）t的值；（2）X的概率密度；（3）P(2X)2.解：11（1）(t)5.05.03122t1 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.1411x,x[)0,12211（2）f(x)x,x)3,0[620，其它02111111（3）P（2X)2(x)dx(x)dx2262121012.设连续型随机变量X的概率密度为sinx,0xaf(x),0其他试确定常数a并求P(X).6a解：令f(x)dx1，即sinxdx10acosx1，即cosa,0a0223P(X)sinxdxcosx|266262xx13.乘以什么常数将使e变成概率密度函数?2xx解：令cedx1121(x)即ce2e4dx1111即ce41ce4214.随机变量X~N(,)，其概率密度函数为2x4x41f(x)e6(x)6C2试求,；若已知Cf(x)dxf(x)dx，求C.解：2x24x4(x)211(2)32f(x)e6e62322,3 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.15c若f(x)dxf(x)dx，由正态分布的对称性c可知c2.15.设连续型随机变量X的概率密度为2x,0x1f(x),0其他1以Y表示对X的三次独立重复试验中“X”出现的次数，试求概率P(Y)2.21211解：P(X)2xdx24021239P(Y)2C()()。3446416.设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，试求P(xXx).如果12（1）x1x5；（2）1x5x.12121,1x5解：X的概率密度为f(x)40,其他x211（1）P(xXx)dx(x)1122441511（2）P(xXx)dx5(x)12144x1117.设顾客排队等待服务的时间X（以分计）服从的指数分布。某顾客等5待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y)1.解：110P(X10)1P(X10)11[e5]e2k2k25kP(Yk)C(e)1(e),k5,4,3,2,1,0525P(Y)111(e).05167 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.16习题1.4解答1.已知随机变量X的概率分布为P(X)12.0，P(X)23.0，P(X)35.0，试求X的分布函数；P5.0(X)2；画出F(x)的曲线。解：0,x12.01,x2F(x)；P5.0(X)25.05.0,2x31,x3F(x)曲线：F(x)15.02.0x01232.设连续型随机变量X的分布函数为,0x1,4.01x1F(x),8.01x3,1x3试求:（1）X的概率分布；（2）P(X|2X)1.解：（1）X113P4.04.02.0P(X)12（2）P(X|2X)1P(X)133.从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设X为途中遇到红灯的次数，试求（1）X的概率分布；（2）X的分布函数。解：k2k33k（1）P(Xk)C()(),k3,2,1,0355列成表格 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.17X01232754368p1251251251250,x027,0x112581（2）F(x),1x2125117,2x31251,x34.试求习题1.3中第11题X的分布函数，并画出F(x)的曲线。解：0x11211xx1x0F(x)4241211xx0x312241x3F(x)1.025x011235.设连续型随机变量X的分布函数为2xABe,x0F(x),0x0试求:（1）A,B的值；（2）P(1X)1；（3）概率密度函数f(x).解：2x（1）F()lim(ABe)1A1x2x又lim(ABe)F)0(0BA1x0 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.182（2）P(1X)1F)1(F()11e2x2e,x0（3）f(x)F("x)0,x06.设X为连续型随机变量，其分布函数为a,x;1F(x)bxlnxcxd,1xe;d,xe.试确定F(x)中的a,b,c,d的值。解：F()0a1又F()1d1又lim(bxlnxcx)1a0c1x1又lim(bxlnxx)1d1bee11即b1xe7.设随机变量X的概率密度函数为f(x)a，试确定a的值并求F(x)21(x)和P(X)1.a解：dx121(x)a即arctanx|1a1xa11F(x)dtarctanx,x21(t)2P(|X|1)F(1)F(1)1111(arctan)1[arctan(1)]5.0228.假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数Nt)(服从参数为1.0的Poisson(泊松)分布，X表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:（1）证明X服从指数分布并求出X的分布函数；（2）今后3年内再次发生地震的概率；（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。解：1.0t（1）当t0时，P(Xt)P(N(t))0e1.0tF(t)P(Xt)1P(Xt)1e当t0时，F(t)0 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.191.0x1ex0F(x)0x0X服从指数分布（1.0）1.03（2）F)3(1e.026（3）F)5(F)3(.0139.设X~N(,116)，试计算（1）P(X.244)；（2）P(X)5.1；（3）P(X)4；（4）P(X1)1.解：.244()1.344（1）P(X.244)()().0805144（2）P(X)5.11P(X)5.15.1111()1().0549848414153（3）P(|X|)4()()()()444453()()1.0667844（4）P(|X|1)1P(X)0(X)2P(X)0P(X)2012113()1()()1().082534444210.某科统考成绩X近似服从正态分布N(70,10)，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？20解：P(Xx|X60)100P(Xx)(X60)P(Xx)而P(Xx|X60)P(X60)P(X60)6070又P(X60)1)1(.0841310P(Xx)2.0.08413.016826x70即P(Xx)1)1(.01682610x70x70.083174，.096，x796.10102211.设随机变量X和Y均服从正态分布，X~N(4,)，Y~N(5,)，而pP(X)4，pP(Y)5，试证明pp.1212 GeneratedbyFoxitPDFCreator©FoxitSoftwarehttp://www.foxitsoftware.comForevaluationonly.20证明：4p1P(X)4()145p2P(Y)511)1(()15pp.1212.设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令YcXdc0，试求随机变量Y的密度函数。解：yd1ydfX,abfY(y)c|c|c0,其它1,cadycbd当c0时，fY(y)c(ba)0,其他1,cbdycad当c0时，fY(y)c(ba)0,其他'