华中师范大学《概率论基础》练习题库及答案.pdf 24页

'华中师范大学职业与继续教育学院《概率论基础》练习题库答案填空题（含答案）∞1．设随机变量ξ的密度函数为p(x),则p(x)≥0;∫p(x)dx=1；−∞∞Eξ=∫xp(x)dx。−∞考查第三章2．设A,B,C为三个事件，则A,B,C至少有一个发生可表示为：A!B!C；A,C发生而B不发生可表示ABC；A,B,C恰有一个发生可表示为：ABC+ABC+ABC。考查第一章3．设随机变量ξ~N(0,1)，其概率密度函数为ϕ(x)，分布函数为Φ(x)，则001ϕ(0)等于，Φ(0)等于0.5。002π考查第三章14．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=，k=1,2,3,4,5，则Eξ=3，Dξ=52。考查第五章5．已知随机变量X，Y的相关系数为r,若U=aX+b,V=cY+d,其中ac>0.则U，VXY的相关系数等于r。XY考查第五章216．设X~N(µ,σ)，用车贝晓夫不等式估计：P(|X−µ|c)=P(X016．设随机变量X的概率密度为fx()=⎨，则EX(3)=6,⎩00x≤3X1Ee()=16考查第四、五章117．任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a，则x,y,z可构成一三角形的概率2考查第一章（较难）18．设随机变量X，Y的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为1考查第五章19．若ξ~N(3,0.16)，Eξ=3，Dξ=0.16.考查第五章20.若ξ~(10,0.7)B，E(ξ+=9)16，D(2ξ+=3)8.4.考查第五章21.某公司有A、B、C三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35%．三个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售．则该公司任取此产品一件，它可能在销往北京市场的概率为0.2475．考查第二章∞22.f(x)为一维连续型随机变量X的概率密度函数，则有∫f(x)dx=1；若−∞离散型随机变量Y具有分布列P(Y=yk)=pk,则∑pk=1．k考查第三章 23.若X,Y是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为n,p及n,p，则X+Y12服从参数为参数为n1+n2,p的二项分布分布．考查第四章24.设随机变量X服从参数为0和2的正态分布N(0,2),则EX=_____0____;DX=______2_____．考查第五章25．设A,B,C为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为ABC+ABC+ABC+ABC。考查第一章27．若二维随机向量（ξ,η）的联合密度函数2211(x−a1)2r(x−a1)(y−a2)(y−a2)P(x,y)=exp{−[−+]}πσσr22(1−r2)σ2σσσ22121−112222则Eξ=a1,Dξ=σ1,Eη=a2,Dη=σ2Cov(ξ,η)=rσσ12.考查第五章28．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为5/9。考查第一三章29．0.85、30.n=5、231.E()ξ=29、32.0.94、533.3/4选择题(含答案)1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(D)（A）2倍（B）254倍（C）798倍（D）1024倍考查第二章2.在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为(A) （A）0.25（B）0.5（C）0.75（D）1考查第一章3.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X+Y服从(C)2（A）N(2,0)（B）自由度为2的χ分布（C）N(0,2)（D）不能确定考查第三章n4.设P（X=n）=a(n=1,2,...)且EX=1，则a为(B)3−515−1（A）1（B）（C）（D）232考查第五章5．下列论述不正确的是(B)（A）若事件A与B独立则A与B独立（B）事件AB不相容则A与B独立（C）n个事件两两独立不一定相互独立（D）随机变量ξ和η独立则二者不相关考查第二章6．甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为(C)nk12nn12n（A）0（B）∑Cn（C）()C2n（D）()k=022考查第一、二章7.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X+Y服从(C)2（A）二项分布（B）χ分布（C）N(0,2)（D）不能确定考查第三、四章8.对于任意事件A与B，有P(A−B)=（C）。（A）P(A)−P(B)（B）P(A)−P(B)+P(AB)（C）P(A)−P(AB)（D）P(A)−P(AB)考查第一章a9.在[0,a]线段上随机投掷两点，两点间距离大于的概率为(D)2（A）1（B）0.75（C）0.5（D）0.25考查第一章 n3−510.设P（X=n）=a(n=1,2,...)，其中a为，则EX=(B)2（A）5（B）1（C）0.5（D）3考查第五章11．下列论述不正确的是(C)（A）n个事件两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则A与B独立（C）事件AB不相容则A与B独立（D）随机变量ξ和η独立则二者不相关考查第二章12．掷n枚硬币，出现正面的概率为p，至少出现一次正面的概率为(A)n11n−（A）1(1)−−p（B）Cp(1−p)（C）1（D）1−pn考查第一章13.设A，B为两个互斥事件，且P（A）>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（C）。（A）P(B|A)>0,（B）P(A|B)=P(A)（C）P(A|B)=0（D）P(AB)=P(A)P(B)考查第二章114.事件A，B相互独立，P(AB)=,P(AB)=P(AB)，P（A）=（D）。9112（A）（B）（C）0（D）323考查第二章15.随机变量X服从（D）分布时，DX=EX。（A）正态（B）指数（C）二项（D）泊松（Poisson）考查第五章2216.设X~N(µ,4),Y~N(µ,5)，记p=P(X≤µ−4),p=P(Y≥µ+5)，则12（A）。（A）对任何实数µ，都有p=p（B）对任何实数µ，都有pp1212考查第三章17．若有十道选择题，每题有A、B、C、D四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰 好答对六道的概率为（B）366413（A）（B）C()()10544616λ−λ（C）()（D）e46!考查第二章218．某课程考试成绩X~N(72,σ),已知96分以上占2.3%，则60~84分所占比例为（A）（已知Φ(20)=.977）（A）2(1)1Φ−（B）1(−Φ2)（C）2(2)1Φ−（D）0.5考查第三章19.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X−Y服从(C)2（A）泊松分布（B）χ分布（C）N(0,2)（D）不能确定考查第三、四章20.对于任意事件AB⊃，有P(A−B)=（A）。（A）P(A)−P(B)（B）0（C）1（D）PB()考查第一章21.设随机变量ξ的密度函数为⎧ππ⎪acosx−≤x0是常数，k+1(1+a)试求Eξ及Dξa解：记t=<11+a∞k∞k−1∞∞aaaak−1ak"Eξ=∑kk+1=2∑kk−1=2∑kt=2∑(t)k=1(1+a)(1+a)k=1(1+a)(1+a)k=1(1+a)k=1at"a12=()=()=a22(1+a)1−t(1+a)1−t ∞k∞k∞k2∞22aaaak""Eξ=∑kk+1=∑k(k−1)k+1+∑kk+1=3∑(t)+ak=1(1+a)k=1(1+a)k=1(1+a)(1+a)k=122a132=()+a=2a+a3(1+a)1−t222Dξ=Eξ−(Eξ)=a+a考查第五章（较难）二．炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1,0.7,0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05,0.1,0.2。任射一发炮弹，求目标被击中的概率。若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。解：1）设A,A,A分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件,123B表示目标被击中。则由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)112233=0.1×0.05+0.7×0.1+0.2×0.2=0.1152)由Bayes公式P(A)P(B|A)11P(A|B)=1P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)1122330.1×0.051＝＝≈0.0430.11523考查第二章三．某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假2设报名者的成绩X服从分布N(µ,σ)已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？2(x−µ)1−2X的分布函数为f(x)=e2σ2πσ 2X−µX~N(µ,σ),~N(0,1)σX−µ90−µ90−µ359P{X≥90}=P{≥}=1−Φ()=σσσ100090−µ359Φ()=1−=0.9641⇒{σ100060−µ1151Φ()==0.1151σ100002标准正态分布表可得到µ=72和σ=100的值，然后令录取的最低分为x0，则X−µx0−µx0−µ2500P{X≥x}=P{≥}=Φ()=0σσσ10000从而得到x=79,即录取的最低分为79分。0考查第三章（较难）四．从1到2000这2000个数字中任取一数，求1）该数能被6整除的概率；2）该数能被8整除的概率；3）该数能被6和8整除的概率；4）该数能被6或8整除的概率。解：利用古典概型的公式mA所含样本点数PA()==n样本点总数有利于A的场合数=样本点总数3332501831）；2）=；3）；2000200082000PPP()能被8整除＋()能被6整除－(既能被6整除又能被8整除)3331834）=+−2000820001=4考查第一章五．空战中，从A1，A2，A3处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1,而在各处射击时命中敌机的概率分别为0.2,0.1,0.05。 任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由A处射出的概率。3解：1）设B表示目标被击中。则由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)112233=0.2×0.2+0.7×0.1+0.1×0.05=0.1152)由Bayes公式P(A)P(B|A)33P(A|B)=3P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)1122330.1×0.051＝＝≈0.0430.11523考查第一章六．一地区农民年均收入服从µ=500元，σ=20元的正态分布，求：该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比；如果要使农民的年均收入在(µ−a,µ+a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大？3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。(2)ξ~N500,20解：（1）⎛⎞520500−−⎛⎞500500P(500<<ξ520)=Φ000⎜⎟−Φ⎜⎟=Φ−Φ(1=)−0(=0)0.84130.50.3413⎝⎠20⎝⎠20（2）P(µ−a<ξ<µ+a)≥0.95，⎛−ξµa⎞⎛µ⎞P⎜⎟<≥0.95，2Φ0⎜⎟−1≥0.95⎝⎠2020⎝20⎠a可得，≥1.96，a≥39.220003（3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为：Cp()(1)−p，3110031−C(0.3413)(1−0.3413)3考查第三章（较难）⎛⎞−101七．设随机变量X⎜⎟111（i=1,2）,且满足PXX{0==}1，则求概率i12⎜⎟⎝⎠424 PX{}=X。12解：由PXX{0==}1，得PXX{0≠}=0，即1212PX{1=−=,1X}===PX{1,1X}===−PX{1,1X}==PX{1,1X−}=0−=12121212再根据联合分布与边际分布的关系可以求得X和X的联合分布。12XX－101PXx{}==p211ii⋅11－10044011104421110044PX{}2==yijp⋅111424所以PX{}=X＝0.12考查第四章八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种：试求它发芽的概率；若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少？解：设事件A=“取出来的种子是一等种子”A=“取出来的种子是二等种子”12A=“取出来的种子是三等种子”3B=“取出的种子发芽”B=“取出的种子未发芽”由题：P(A)=80%P(A)=18%P(A)=2%123P(B|A)=0.8P(B|A)=0.2P(B|A)=0.1123P(B|A)=0.2P(B|A)=0.8P(B|A)=0.9123 （1）全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)112233=67.8%（2）贝叶斯公式P(A)P(B|A)11P(A|B)=1P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)112233=0.497考查第二章九、设随机变量ξ的分布列为ξπ0ππ−22P0.20.30.30.22求η=ξ+1的分布列。解：2π22π22η=ξ+1(−)+10+1()+1π+122p0.20.30.30.2整理得η的分布列考查第四章十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%.毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%.求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。解：记B={成为优秀教师}2π1+2η141+πP0.30.50.2 PBPAPBA()()(|)()(|)()(|)=++PAPBAPAPBA1122338020706555156975=×+×+×=10010010010010010010000考查第二章十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以ξ表示两次所得点数之和。求1）ξ的分布列；2）Eξ。解：1）ξ23456789101112pi123456543213636363636363636363636122）Ekξξ==∑Pk{}k=2121=23.×+×++..×12363636252＝=736考查第五章十二、设二维离散型随机向量（ξ，η）的联合分布列为：η012ξ1CCC101010202C2C101032C0C10101）求常数C;2）求ξ，η的边缘分布列；3）求ξ＝2的条件下，η的条件分布列；4）判断ξ与η是否相互独立。解：1）C=1;2)η012piξ10.10.10.10.3200.20.20.4 30.200.10.30.30.30.4pjξ和η的边沿分布列为：123ξP0.30.40.3η012P0.30.30.43)012η|ξ=2P00.50.5整理得：12η|ξ=2P0.50.54）因为PP{2ξη===,0}00≠×.40.3{2==ξ}{0Pη}=所以ξ与η不相互独立考查第四章十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以X表示他首次命中时累计的投篮次数。写出X的分布律．k−1解：分布律为P{X=k}=(0.4)(0.6)k=1,2,!考查第一章⎧kx+10≤x≤2十四、已知连续型随机变量ξ有密度函数p(x)=⎨⎩0其他求系数k及分布函数，并计算P{1.5<ξ<2.5}．解：由密度函数的性质∞2k221=∫p(x)dx=∫(kx+1)dx=(x+x)=2k+220−∞0x1∴k=−F(x)=∫p(t)dt2−∞ 当x≤0时，p(t)=0,F(x)=0x112x12当02时，F(x)=1⎧0x≤0⎪12∴F(x)=⎨x−x0212P{1.5<ξ<2.5}=F(2.5)−F(1.5)=1−[1.5−(1.5)]=0.06254考查第三章十五、设随机变量X,Y的联合分布为X1234Y00.000.030.050.0210.120.050.070.0120.080.030.080.1130.050.04x0.06求x,及X,Y的边际分布（直接填写在表中），给出X在Y=2的条件下的条件分布．解：x=0.2X在Y=2的条件下的条件分布为X|Y=212344141115101530考查第四章十六、设二元连续型随机向量(X,Y)的联合密度函数为⎧1,01时p(x,y)≡0,所以p(x)=01当0≤x≤1时，22⎛2xy⎞⎛2xy⎞2p1(x)=∫0⎜x+⎟dy=⎜⎜xy+⎟⎟0⎝3⎠⎝6⎠22=2x+x3所以⎧22⎪2x+x0≤x≤1p1(x)=⎨3⎪⎩0其它∞p(y)=p(x,y)dx2∫−∞当y<0或y>2时，p(x,y)≡0，此时p(y)=0；2当0≤y≤2时 21⎛2xy⎞⎛13x⎞1p2(y)=∫0⎜x+⎟dx=⎜⎜x+y⎟⎟0⎝3⎠⎝36⎠1y=+36所以：⎧1y⎪+0≤y≤2p1(x)=⎨36⎪⎩0其它3）由条件密度的计算公式：当0≤y≤2时p(y)≠0，此时条件密度存在，且2⎧2xyx+⎪3p(x,y)⎪0≤x≤1p(xy)==⎨11p(y)+y2⎪36⎪⎩0其它2⎧6x+2xy⎪0≤x≤1=⎨2+y⎪⎩0其它当0当|x|<1时,有fxy(,)fyx(|)=YX|fx()X1π=2(2π)1−x122=,−−≤≤−11xyx221−x即当|x|<1时,有⎧122⎪,1−−≤≤−xy1xfyx(|)=⎨21−x2YX|⎪⎩0,y取其它值fxy(,)fyx(|)=≠fy()，YX|Yfx()XX，Y不独立。考查第四章3.设二维随机变量(,)XY的概率密度为22⎧Ax()+≈0.4335.4912应选择投资项目1 考查第五章5.设二元连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为22⎧1/π,x+y≤1,f(x,y)=⎨⎩0,其它.证明：X,Y不相关但X,Y不相互独立．22∞11−x21−x证明：p(x)=p(x,y)dy=dy=|x|≤11∫−∞∫−1−x2ππ2∞11−y221−yp(y)=p(x,y)dx=dx=|y|≤12∫−∞∫−1−y2ππ所以p(x,y)≠p(x)p(y)12即ξ与η不独立。但2∞121−xEξ=xp(x)dx=xdx=0∫−∞1∫−1π同理Eη=0E(ξ−Eξ)(η−Eη)=Eξη∞∞=∫−∞∫−∞xyp(x,y)dxdyxy=∫∫dxdyx2+y2≤1π211−xxy=∫−1dx∫−1−x2πdy=0从而得ξ与η的相关系数为0。考查第四、五章'