《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案九.doc 15页

'《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习题九（A）1．确定下列微分方程的阶数；（1）；（2）；（3）.解：（1）一阶（2）二阶（3）三阶2．验证下列函数是相应微分方程的解，并指出是特解还是通解.其中是任意常数是常数；（1）；（2）；（3））；（4）；（5）；（6）.解：（1）特解（2）通解（3）通解（4）通解（5）通解（6）特解3．求下列微分方程的解：3.(1)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解：1. 变形得：两端分别积分2.3．4．则5． 6.令经计算可得4．求列下微分方程初值问题的特解：（1）（2）；（3）解：（1）则特解则特解（2）则特解：（3）令则即即特解：5．求下列微分方程的通解或满足给定初始条件的特解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）令 则即设非齐次方程的通解为　则　则（2）中通解为：（3）两端积分可得：(4)令有求出与的方程,再将代入.(5) 令求出与的方程,再将代入（6）令求出与的方程,再将代入6．曲线L是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离恒等于曲线在该点切线在轴上的截距，且经过点.（1）试求曲线的方程；（2）求位于第一象限部分的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小.解：（1）（2）令 7．设在点处切线的斜率，且曲线过点（1，0）.试求曲线的方程.解：令则则则设通解为8．物体在冷却的过程中温度的变化率与物体本身的温度和环境温度之差成正比，比例系数为常数.现在把一个温度为50度的物体放在温度始终保持恒温20度的房间内，求此物体温度随时间的变化规律.解：规律：9．设是实常数，且，证明下列函数组在上线性无关：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）常数线性无关 （2）常数线性无关（3）常数线性无关（4）三者线性无关。10．求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）由特征方程得二特征根是，这表明方程有2个线性无关的特解与，从而方程的通解是其中是两个任意常数.（2）通解为（3）通解为：（4）由特征方程得有2个共轭复根，这表明方程有2个线性无关的特解，，从而方程的通解为：其中为任意两个常数.（5）通解为11．求下列二阶常系数齐次线性微分方程初程问题的特解：（1）；（2）. 解：（1）通解为：则即又，特解为：（2）通解为：则即，通解为：12．求下列二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.解：（1）设特解则则其对应齐次线性方程的通解，则通解为非齐次方程的通解为 （2）（3）易知特解而其齐次方程的通解通解为（4）易知特解而其齐次方程的通解通解为：（5）（6）（7）设特解为：则通解为：（8）易知的通解为而的通解为：的通解为：（9）易知的通解为的通解为的通解为：（10）由特征方程特征根， 13．求下列一阶常系数线性差分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）方程的特征方程为：其齐次方程的通解为：设特解则通解为：（2）方程的特征方程为其齐次方程的通解为设特解则通解（3）方程的特征方程为其齐次方程的通解为设特解则通解（4）方程的特征方程为 其次齐次方程的通解为设特解则通解（5）解：14．求下列一阶常系数线性差分方程初值问题的特解：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）方程的特征方程为其齐次方程的通解为设特解则通解特解（2）的特性方程为，所以所以齐次方程通解为：设其有特解为则所以，所以通解又因为 所以特解（3）的特解方程为所以齐次方程通解为设其特解为则所以所以那么其通解又因为所以特解（4）的特解方程为所以齐次方程的通解为：设其特解方程为则所以所以通解为：又因为所以特解为：15．设某产品在时期的价格，总供给与总需求满足如下关系 其中（1）推导价格满足的差分方程；（2）若基期价格，求价格的变化规律.解：（1）由源式可得，即即(2)（B）1．选择题（1）设与是任意常数，则微分方程的通解是（Ｃ）.A．B．C．D．（2）已知是微分方程的解，则的表达式为（Ａ）.A．B．C．D．（3）已知是微分方程的一个特解，C是任意常数，则该方程的通解是（Ｂ）.A．B．C．D．（4）若连续函数满足则的表达式为（Ｂ）.A．B．C．D．（5）已知函数在任意点x处的增量，且当时，是 的高阶无穷小，，则等于（D）.A．2B．C．D．（6）设为待定常数，则微分方程的一个特解应具有形式（Ｂ）.A．B．C．D．(7)设与是等定常数，则微分方程的特解形式可设为（Ａ）.A．B．C．D．（8）设线性无关的函数都是二阶常系数线性微分方程的解，是两个任意常数，则该方程的通解是（Ｄ）A．B．C．D．2．设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解.3．设函数在闭区间上连续，，在开区间内大于零，并满足（a为常数），且曲线与x轴所围的图形S的面积为2，求函数.解：1）Ｃ　将选项代入微分方程可知Ｃ正确。2）Ａ　将选项代入微分方程可知Ａ正确。3）Ｂ　由y(x)是微分方程的特解，所以只需其齐方程的通解即可，而齐次方程的通解　　为所以选Ｂ。4）令则代入选项则知选Ｂ。5）Ｄ6）由于微分方程缺项，所以的特解是又因为的特解为；所以这个微分方程的特解为。所以选Ｂ。7）由于的特解形式为 而的特解形式为　所以的特解形式为Ａ项。故选Ａ。8）根据线性齐次方程的通解为而其特解为所以微分方程的通解为故选Ｄ。'