《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案二.doc 19页

'《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案习题二1.列数列当时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：1）收敛.因为当时,所以所以2)因为所以是发散的;3)发散的.因为当时,;所以;4)因为所以是发散的;5)收敛的.因为当时,;所以;即;6)收敛的.当时,;;即;7)因为;所以;所以是收敛的;8)因为 所以;所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为所以通项为所以;3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：1）当时,2）3）4）所以极限不存在5)6)所以7)8)的极限不存在4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在： （1）（2）（3）（4）解：1)所以该点的极限不存在2)所以该点的极限不存在3)所以该点的极限不存在4)所以该点的极限不存在5．用或的方法陈述下列极限：（1）（2）（3）（4）解：1)当时2)当时3)当时4)当时6．用极限的严格定义（即或的方法）证明下列极限：（1）（2）（3）（4）解：1)对于任意给定的,要使成立,只要使即成立所以对于任意给定的,存在当时恒有成立,故2)对于任意给定的,要使成立即成立 所以对于正数,存在成立当时恒有成立所以3)由于所以对于任意给定的,存在当时恒有成立故4)对于任意给定的正数要使成立即成立所以存在当时恒有成立即7．求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：1）2)3）4)5) 6)7)8)8．求解：9．下列数列，当时是否是无穷小量？（1）（2）（3）解：1)是无穷小量因为2)是,因为(为奇数或者偶数)3)不是. 10．当时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：1)是无穷小,因为2)是无穷大量,因为3)是无穷小量,因为4)是无穷大量,因为5)是无穷大量,因为6)非大非小11．已知存在，而，证明解：因为存在而所以12．设，求，解：因为所以所以,13．设，求， 解：所以即为一常数所以14．当时，下列变量中与相比为同阶无穷小的是（B）.A．B．C．D．解：B．因为15．求解：16．设时，，则下列各式中成立的是（D）.A．B．C．D．解：D.因为时,，所以，.17．求下列极限（1）（2）解：1)2) 18．求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）解：1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)19．设，求，解：因为所以 所以20．设，用极限存在的夹逼准则求解：因为而，所以21．求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：1)2)3)4)5)6)==22．设，求 解：因为所以所以23．判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：（1）（2）解：1)因为，而.所以在定义域上是连续的。2)因为，而.所以在定义域上不连续.24．求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）解：1)2)3)= ==4)5)=6)=7)==8)===9)==10)== 25．设，求解：因为，所以可以推出所以所以26．对数列，设，且证明：单调减少，且并求解：因为所以所以数列单调减少。当时,,而且假设当时也成立，即,且那么当时，,所以即所以27．证明：（1）当时，与是同阶无穷小；（2）当时，（3）当时解：1）==所以当时与是同阶无穷小； 2)所以3).所以∐28．设连续，求，解：因为而且所以29.对区间上的函数下列结论错误的是（D）.A．连续B.有界C.有最大值和最小值D.有最大值无最小值解:D.因为函数在区间上是连续的，所以30．证明下列方程在指定区间中必有根：（1），区间（1，2）；（2），区间（0，1）. 解：1)设,那么在区间上是连续的，所以,即一定存在的情况，所以,在区间上一定有根.2)设,那么在区间上是连续的，所以,即一定存在的情况，所以,在区间上一定有根.31．设是区间上的连续函数，证明至少有一，使得解：设在区间上的值在上，即则,,.那么,则存在任意,使得32．求下列函数的间断点，并说明其类型：（1）（2）（3）（4）解：1)所以可去间断点，是无穷间断点；2),所以是可去间断点；3),.所以是无穷间断点，是可去间断点；4） 所以是可去间断点，是无穷间断点33．设函数的图形如下图所示，说明有哪些间断点，属何种类型.（B）1．单项选择题（1）下列数列中收敛的是（B）.A．B．C．D．（2）（C）A．不存在B．为0C．为1D．为2（3）当时下列变量中与是等阶无穷小量的是（C）.A．B．C．D．（4）设且，则必有（C）.A．B．可能C．当均在点连续时D．当均在点连续时可能 （5）若则（B）.A．B．C．D．（6）下列命题中正确的是（A）.A．若在点处连续而不连续，则在处必不连续B．若在点处和均不连续，则在处必不连续C．若在点处不连续，则在处不连续D．若在点处连续，则必在处必连续（7）设，则当时与比是（B）.A．等阶无穷小B．同阶但非等价无穷小C．更高阶无穷小D．较低阶无穷小（8）下列各式中正确的是（A）.A．B．C．D．（9）当时，下列四个无穷小量中哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？（D）.A．B．C．D．（10）设对任意的，总有，且则（D）.A．存在且等于0B．存在但不一定为0C．一定不存在D．不一定存在解：1．选BA．∵不存在∴没有极限,发散B．C．∴没有极限,发散D．∴没有极限,发散2．C． 3．选C．∵∴∴与是等阶无穷小量4．选C．当不均在点连续时，虽然，，但可使5．B．6．A．B．在点处均不连续，但在处连续C．在点处不连续，但在处连续D．反之在处连续，但在点处不连续7．选B．8．选AC．D．9．选D．∵，∴是比其它三个更高阶的无穷小量10．选D． ∵不一定连续，∴如令，则不存在，如令，则存在（5）设且，则必有2．填空题（1）已知，则.（2）设在处连续，则，.（3）设在上连续，且，则的符号必为.（4）极限.（5）.（6）.（7）若，则，.（8）极限.解：1．∵∴2．∵，在处连续∴∴3．若的符号为负，∵在上连续，，则必存在一点,使∵∴的符号为正。4．==5． 6．7．则，∴8．3．设函数问在处是否连续？若不连续，修改函数在处的定义使之连续.解：∵∴在不连续，修改函数在'