《微积分》中国商业出版社_课后习题答案详解二.pdf 19页

'习题二1.列数列{x}当n→∞时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：nn1x=(−1)（1）x=(a>1);（2）n3;nan1n1（3）xn=1g;（4）xn=(−1)(1+);nnn11（5）xn=3+(−1);（6）xn=sec;nn111++⋯+1+3+5+⋯+(2n−1)22n−1（7）lim;（8）lim.n→∞2+4+6+⋯+2nn→∞111++⋯+2222(n−1)n1解：1）收敛.因为当n→∞时,a→∞(a>1);所以xn→0;所以limxn=limn=0.x→∞x→∞a⎧3n为偶数⎪2)因为xn=xn=⎨1所以xn是发散的;⎪n为奇数⎩3113)发散的.因为当n→∞时,→0;所以xn=1g→−∞;nn⎧1n为偶数4)因为xn=⎨所以xn是发散的;⎩−1n为奇数1n15)收敛的.因为当n→∞时,→0;所以xn=3+(−1)→3;即limxn=3;nnx→∞116)收敛的.当n→∞时,→0;sec→1;即limxn=1;nnx→∞n(1+2n−1)1+3+5⋯+(2n−1)2n7)因为==;2+4+6+⋯+2nn(2+2n)1+n2n所以lim=1;x→∞1+n所以是收敛的;11−2n−11111++⋯+1−22n−12318)因为==111n−121+2n−11++⋯+1−()2222(n−1)2211−22313所以lim=;x→∞21+2n−12 所以是收敛的;2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.111解：数列为1,,,…,;2222n-11所以通项为a=;所以liman=0;n2n−1x→∞3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）limxµ(µ>0);（2）limxµ(µ<0);x→0x→∞（3）limax(a>0,≠1);（4）limax(a>0,≠1);x→0x→∞（5）limlogax(a>0,≠1);（6）limarccosx;x→1x→−1（7）limarctanx;（8）limcosx.x→1x→∞解：1）当x→0时,limxu(u>0)=0;x→∞u12）limx(u<0)=lim(u<0)=0;x→∞x→∞x−u3）limax(a>0,a≠1)=1x→∞4）0a<1;x⎧0a<1.lima(a>0,a≠1)=⎨所以极限不存在x→∞⎩1a>1.1a>1;5)limlogax(a>0,a≠1)=0x→−16)limarccosx=π所以cosπ=−1;x→−1π7)limarctanx=.x→−148)limcosx的极限不存在x→∞4．求下列函数在指定点处的左、右极限，并判定函数在该点的极限是否存在：1x（1）f(x)=,x=0;（2）f(x)=3x,x=0;x 1（3）f(x)=arctan,x=0;x⎧1⎪,x<1（4）f(x)=⎨1g(1+x),x=1.⎪⎩arcsin(x−1),1≤x≤2解：1)limf(x)=−1≠limf(x)=1;所以该点的极限不存在−1+x→0x→02)limf(x)=0≠limf(x)=∞;所以该点的极限不存在−1+x→0x→0ππ3)limf(x)=-≠limf(x)=;所以该点的极限不存在−12+2x→0x→014)limf(x)=≠limf(x)=0;所以该点的极限不存在−12+x→1gx→15．用ε−δ或ε−N的方法陈述下列极限：（1）limf(x)=A;（2）limf(x)=A;+−x→ax→a（3）limf(x)=A;（4）limf(x)=A.x→+∞x→−∞解：1)当0M时f(x)−A<ξ4)当x<-M时f(x)−A<ξ6．用极限的严格定义（即ε−δ或ε−N的方法）证明下列极限：15−n21（1）lim=0;（2）lim=−;n→∞4nn→∞3n2+13（3）limx+1=0;（4）lim10x=0.x→−1+x→−∞411解：1)对于任意给定的ξ,要使δψξ成立,只要使n>即n>成立ξξ4111所以对于任意给定的ξ,存在N=当n>N时恒有−0<ξ成立,故lim=0ξ44nx→∞4n5−n21116−3ξ2)对于任意给定的ξ,要使+<ξ成立即lim=+∞n>成立3n2+13x→xof(x)9ξ2 16-3ξ所以对于正数ξ,存在N=成立9ξ25−n21当n>N时恒有+<ξ成立3n2+135−n21所以lim=−x→∞3n2+133)由于f(x)−0=x+1所以对于任意给定的ξ>0,存在δ=ξ2当01gξ成立所以存在X=1gξ.当x>X时恒有x>1gξ成立即lim10x=0.x→∞7．求下列极限：(x+h)3−x3xn−1（1）lim;（2）lim;h→0hx→1x−11⎛x1⎞（3）lim(arctanx+2x);（4）lim⎜⎜−⎟⎟;2x→+∞x→1⎝x−1x−x⎠x21−x−3（5）lim;（6）lim;x→02x→∞2+3x1−1+x2x+1−322（7）lim;（8）lim(x+x+1−x−x−3).x→4x−2−2x→∞(x+h)3−h3x3+3x2h+3xh2+h3−x3解：1）lim=lim=lim(3x2+3xh+h2)=3x2h→0hh→0hh→0xn−12)lim=nx→1x−1⎛1⎞3）⎜x⎟πlimarctanx+2=lim(arctanx+1)=+1⎜⎟x→+∞⎜⎟x→+∞2⎝⎠x1(x−1)(x+1)x+14)lim(−)=lim=lim2x→1x−1x−xx→1x(x−1)x→1xx2x2(1+1+x2)5)lim=lim=−lim(1+1+x2)=−22x→01−1+x2x→0−xx→0 1−x−31−x−96)lim=x→−∞2+3x(2+3x)(1−x+3)(2+3x)(3x2−23x+4)=(2+3x)(1−x+3)=−22x+1−3(2x+1−3)(2x+1+3)7)lim=limx→4x−2−2x→4(x−2−2)(2x+1+3)2(x−4)=limx→4(x−2−2)(2x+1+3)2(x−2+2)=limx→4(2x+1+3)22=38)lim(x2+x+1−x2−x−3)x→∞2x+4=lim()x→∞x2+x+1+x2−x−342+x=lim()=1x→∞11131+++1−−xx2xx5n−4n−18．求lim.n→∞5n+1+3n+214nnn−11−()5−4451解：lim=lim=n→∞5n+1+3n+2n→∞3n55+9()59．下列数列{xn}，当n→∞时是否是无穷小量？10501（1）x=;（2）x=[1+(−1)n];nnn3n（3）x=nn.n解：1)是无穷小量因为limxn=0n→∞2)是,因为limxn=0(n为奇数或者偶数)n→∞3)不是.10．当x→0时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？ 31（1）y=100x;（2）y=;10100x2（3）y=log2(1+x);（4）y=cot4x;⎛π⎞11（5）y=sec⎜−x⎟;（6）y=sin.⎝2⎠xx解：1)是无穷小,因为limy=0x→02)是无穷大量,因为limy=+∞x→03)是无穷小量,因为limy=0x→04)是无穷大量,因为limy=+∞x→05)是无穷大量,因为limy=+∞x→06)非大非小f(x)11．已知lim存在，而limg(x)=0，证明limf(x)=0.x→x0g(x)x→x0x→x02arctanx2x2解：因为lim=lim=,x→05xx→05x5limf(x)f(x)x→x0lim=存在x→x0g(x)limg(x)x→x0而limg(x)=0x→x0所以limf(x)=0;x→x0x2+ax+b12．设lim=3，求a，b.x→1x−1x2+ax+b解：因为lim=limx+y=3x→1x−1x→1x2+ax+b(x−1)(x−2)所以=x−1x−1所以a=1,b=−2⎛x2+1⎞13．设lim⎜−ax−b⎟=0，求a，b.x→∞⎜x+1⎟⎝⎠ x2+1x2+1−ax2−ax−bx−b解：lim(−ax−b)=lim=0x→∞x+1x→∞x+1所以即x2+1−ax2−ax−bx−b为一常数所以a=1b=-114．当x→0时，下列变量中与3x2+x4相比为同阶无穷小的是（B）.A．xB．x2C．x3D．x4解：B．x211因为lim=lim=x→03x2+x4x→03+x233n−9n215．求lim.n→∞5n−481n8+213−93n−9n25解：lim=limn=3n→∞5n−481n8+2n→∞52−481+nn816．设x→a时f(x)→∞，g(x)→∞，则下列各式中成立的是（D）.A．f(x)+g(x)→∞B．f(x)−g(x)→011C．→0D．→0f(x)+g(x)f(x)解：D.11因为x→a时f(x)→∞,g(x)→∞，所以→0，→0.f(x)g(x)17．求下列极限(2x+1)10(3x−4)5x2+1（1）lim;（2）lim(100+cosx).x→∞(2x−7)15x→∞x3+x(2x+1)10(3x−4)5(2x+1)10(3x−4)51521035243解：1)lim=limx==151515x→∞(2x−7)x→∞(2x−7)232x15112+x+1xx32)lim(100+105x)=lim(100+105x)x→∞x3+xx→∞11+x218．求下列极限： sin2xx−sinx（1）lim;（2）lim;x→0sin3xx→0x+sinx2arctanx⎛π⎞（3）lim;（4）lim⎜nsin⎟;x→05xn→∞⎝n⎠sinxx（5）lim;（6）lim;x→ππ−xx→0+1−cosx1−cosx2tanx−sinx（7）lim;（8）lim;x→01−cosxx→0xx−xcosxsin(x−1)（9）lim;（10）lim.x→0tanx−sinxx→1x2+5x−6sin2x2x2解：1)lim=lim=x→0sin3xx→03x3sinx1−x−sinxx2)lim=lim=0x→0x+sinxx→0sinx1+x2arctanx2x23)lim=lim=x→05xx→05x5ππsinπnn4)lim(nsin)=lim=lim=πn→∞nn→∞1n→∞1nnsinx(sinx)"cosx5)lim=lim=lim=1x→ππ−xx→π(π−x)"x→π−1xx(x)"6)lim=lim=lim=2x→0+1−cosxx→0+xx→0+x2sin(2sin)"227)2tanx−sinx(tanx−sinx)"18)lim=lim=lim(−cosx)=0x→0xx→0x"x→0cos2xx−cosxx(1−cosx)9)lim=lim=limcosx=1x→0tanx−sinxx→01−cosxx→0sinx()cosxsin(x−1)x−11110)lim=lim=lim=2x→1x+5x−6x→1(x−1)(x+6)x→1x+17x2+ax+b19．设lim=3，求a，b.2x→1sin(x−1)x2+ax+bx2+ax+b解：因为lim=lim=32x→1sin(x−1)x→1(x−1)(x+1)所以x2+ax+b=(x−1)(x+5) 所以a=4.b=-511120．设xn=++⋯+，用极限存在的夹逼准则求limxn.n2+1n2+2n2+nn→∞11解：因为n≤xn≤nn2+1n2+n11而limn=1，limn=1n→∞n2+1n→∞n2+n所以limxn=1n→∞21．求下列极限：3xx⎛3⎞2+1（1）lim⎜1+⎟;（2）lim(1−)3;x→∞⎝x⎠x→∞x（3）lim3x1+2x;（4）lim(1+tanx)1−2cotx;x→0x→01x+1⎛2x+3⎞⎛2x−1⎞x（5）lim⎜⎟;（6）lim⎜⎟.x→∞⎝2x+1⎠x→0⎝3x−1⎠x解：1)33x3399lim(1+)=lim[(1+)]=e.x→∞xx→∞xxx222+12−−2−2)lim(1−)3=lim[(1−)2]3*(1−)=e3.x→∞xx→∞xx122.3)lim3x1+2x=lim[(1+2x)2x]3=e3x→0x→011-2cotx=tanx−2-24)lim(1+tanx)lim[(1+tanx)]*(1+tanx)=e.x→0x→02x+112x+3x+12+5)lim()=lim(1+)22x+1=e.x→∞2x+1x→∞2x+1112x−1x6)lim()x=lim(1−)xx→03x−1x→03x−111−3+3=lim(1+)xx→01−3x=e.−2x⎛x−k⎞222．设lim⎜⎟=limxsin，求k.x→∞⎝x⎠x→∞x 22sin2x解：因为limxsin=lim=2.x→∞xx→∞2xxx−k−2xk−*2k2k所以lim()=lim(1−)k=e=2.x→∞xx→∞x1所以k=1n2.223．判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：⎧21⎧sinx,x≠0,⎪xsin,x≠0,⎪（1）f(x)=⎨x（2）f(x)=⎨x⎪⎩0,x=0;⎪⎩1,x=0.解：1)因为limf(x)=0，而f(0)=0.所以f(x)在定义域上是连续的。x→0⎧1,x>02)因为limf(x)=⎨，而f(0)=1.所以f(x)在定义域上不连续.x→0⎩−1,x<024．求下列极限：ln(1+3x)1−tanx−1+tanx（1）lim;（2）lim;x→0sin4xx→πsin2x12x⎛x−1⎞1⎛a⎞（3）lim⎜⎟sin();（4）lim⎜cos⎟(a≠0);xx→∞⎝x⎠x→∞⎝x⎠2ln(ex+ex)arctan2x（5）lim;（6）lim;x→1xx→0tan2x+(x+2)cosx3+1+arccosxln(1+2x)(1+x)a−(1+x)b（7）lim;（8）lim(a,b≠0);xx→+∞ln(1+4)x→0xx2−1ln(1+x)+ln(1−x)（9）lim;（10）lim.2x→1lnxx→0ex−1ln(1+3x)3x3解：1)lim=lim=.x→0sin4xx→04x41−tanx−1+tanx−2tanx2)lim=limx→xsin2xx→xsin2x(1−tanx+1+tanx)−1=lim2x→xcoxx(1−tanx+1+tanx)1=−211x−1sin(1)1sin(1)3)lim()x=lim[1+(−)]xx→∞xx→∞x 1−11−=lim[1+(−)]xx→∞x=e−1ax2ax24)lim(cos)=lim(1+(cos−1))x→∞xx→∞x⎛x⎞2⎡1⎛a⎞2⎤⎢⎥22−2⎜⎟−⎜⎟x1⎛a⎞⎝a⎠⎢⎣2⎝x⎠⎥⎦=lim(1−⎜⎟)x→∞2⎝x⎠2a−=e22ln(ex+ex)ln(e1+e1)5)lim=x→13x+1+arccosx31+1+arccosl1=(1+ln2)2arctan2xarctan206)lim=lim2cosx2cos0x→0tanx+(x+2)x→0tan0+(0+2)π=8ln(1+2x)ln1*ln2x7)lim=limxxx→+∞ln(1+4)x→+∞lnl*ln4x*ln2=limx→+∞2x*ln21=2(1+x)a−(1+x)b8)lim(a,b≠0)x→0x[(1+x)a−(1+x)b]"=limx→0x"a(1+x)a−1−b(1+x)b−1=limx→01=a−bx2−1(x−1)9)lim=lim(x+1)x→1lnxx→1ln[1+(x−1)]=1*(1+x)=2ln(1+x)+ln(1−x)ln(1−x2)10)lim=lim22x→0ex−1x→0ex−1−x2=x2=−1 ⎛f(x)−2sinx⎞25．设lim⎜⎜−2⎟⎟=2，求limf(x).x→0⎝xx⎠x→0f(x)−2sinxf(x)−3解：因为lim[−]=2，所以可以推出lim[]=2.x→0xx2x→0x所以f(x)=2x+3.所以limf(x)=3.x→0126．对数列{xn}，设00,而且x2<.21假设当n=k时也成立，即xk+1=xk(1−2xk)>0,且xk+1<.21那么当n=k+1时，xk+2=xk+1(1−2xk+1)>0,所以00⎪⎩x连续，求a，b.sinaxsinax1+cosx解：因为lim=lim=a=b.x→01−cosxx→0sinx121而且lim[lnx-ln(x+x)]=lim[(−)ln(1+x)]=-1=b.x→0xx→0x2所以b=−1,a=−.229.对区间(−1,1)上的函数y=1−x2下列结论错误的是（D）.A．连续B.有界C.有最大值和最小值D.有最大值无最小值解:D.因为函数y=1−x2在区间(−1,1)上是连续的，所以Y≤y≤yminmax.30．证明下列方程在指定区间中必有根：（1）x2−x−1=0，区间（1，2）；（2）x•3x=1，区间（0，1）. 解：1)设f(x)=x3−x-1,那么f(x)在区间(1,2)上是连续的，所以−1BC．当f(x),g(x)均在x0点连续时A0⎩1x>0续⎧1x≥0C．f(x)=⎨在点0处不连续，但f(x)在0处连续⎩−1x>0⎧1x≥0D．反之f(x)=⎨f(x)在0处连续，但在点0处不连续⎩−1x>07．选B．′(2x+3x−2)=lim2xln2+3xln3=ln2+ln3x′x→08．选A1x1x1x1−xlim(1+)=1lim(1+)=elim(1−)=−elim(1+)=e++xx→∞xx→∞xx→0xx→0C．1x1−x−1−1lim(1−)=lim[(1−)]=ex→∞xx→∞xD．1−x1x−1−1lim(1+)=lim[(1+)]=ex→∞xx→∞x9．选D．1−cos11−x2−11−x2−111∵lim=，lim=limlim−=−x→0x22x→0x2x→0⎛2⎞2x→022⎜1−x+1⎟x1−x+1⎝⎠11−2x−tanxcos2x−tanxlim=lim=lim=0x→0x2x→02xx→02x∴x−tanx是比其它三个更高阶的无穷小量10．选D．⎧g(x)x∈[2kπ,2kπ+π]∵f(x)不一定连续，∴如令f(x)=⎨(k∈z)，则limf(x)不存⎩ϕ(x)x∈(2kπ−π,2kπ)x→∞在，如令f(x)=g(x)，则limf(x)存在x→∞（5）设f(x)0（3）设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)≠0(∀x∈[a,b]),f(a)>0，则f(b)的符号必为.（4）极限⎛⎞lim⎜n+3n−n−n⎟=.n→∞⎝⎠ ⎛3x2+52⎞（5）lim⎜sin⎟=.x→∞⎜5x+3x⎟⎝⎠1（6）lim[1+ln(1+x)]x=.x→0sinx（7）若limx(cosx−b)=5，则a=，b=.x→0e−a2x（8）极限limxsin=.x→∞x2+1f(x)(f(x)−ax)+ax解：1．∵lim(f(x)−ax)=b∴lim=lim=0+a=ax→∞x→∞xx→∞x1sinaxxb2．∵limf(x)=lim=a,limf(x)=lim(1+bx)=ef(0)=3，f(x)在x=0处连续−−xx→0+x→0+x→0x→0∴a=eb=3∴a=3,b=ln33．若f(b)的符号为负，∵f(x)在[a,b]上连续，f(a)>0，则必存在一点c∈[a,b],使f(c)=0∵f(x)≠0(∀x∈[a,b])∴f(b)的符号为正。xxx11⎛2⎞224．=lim[(sin+cos)2]2=lim⎜1+sin⎟=lim(1+)2=1x→∞xxx→∞⎝x⎠x→∞xn+3n−n+n44=lim==lim==2n→∞n+3n−n−nn→∞3121+−1−nn113+53+53x2+52x22x265．lim⋅sin=lim⋅=lim=x→∞5x+3xx→∞51xx→∞535+3+xx222x6．e2sinxxx7．lim(cosx−b)=lim(1−b)=5则lim=1，∴a=1,b=−4x→0ex−ax→0ex−ax→0ex−a2x2x28．limxsin=lim=2x→∞x2+1x→∞x2+13．设函数⎧lncos(x−1)⎪,x≠1⎪πf(x)=⎨1−sinx2⎪⎪⎩1,x=1问f(x)在x=1处是否连续？若不连续，修改函数在x=1处的定义使之连续. lncos(x−1)−sin(x−1)tan(x−1)解：∵lim=lim=limx→1πx→1ππx→1ππ1−sinx−cos(x−1)cosxcosx22222x−114=lim=lim=−x→1ππx→1π2ππ2cosx−sinx22424∴f(x)在x=1不连续，修改函数在x=−π2'