《微积分》(中国商业出版社)课后习题答案四.pdf 22页

'习题四（A）1．判断下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理条件，若满足条件，求出相应的ξ值．(1)f(x)=x6−x在[0,6]上;(2)f(x)=3x在[1−,1]上．x解：（1）f"(x)=6-x−=026−x⇒x=4∈[0,6]∴满足21−(2)f(x)=x3≠03∴不满足2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理条件？如满足，求出相应的ξ值3⎡π⎤（1）f(x)=x+2x在[0,a]上；（2）f(x)=sinx在⎢0,⎥上．⎣2⎦解：(1)f"(x)=3x+2f(0)=0f(a)=a3+2af(a)−f(0)223=f"(ε)⇒a+2=3ε+2⇒ε=aa3∴满足(2)f(x)=cosxπf(0)=0f()=12πf()−f(0)222π=f"(ε)⇒=cosε⇒ε=arccos∈(0，)πππ22∴满足3．证明：π（1）arcsinx+arccosx=；（2）arctanb−arctana≤b−a(a0(a0 ∴存在a∈(a，c)，β∈(c，b)使得f"(a)>0,f"(β)<0且x∈(α，β)，f"(x)递减∴Eε∈(a，b)使f"(ε)<09．设f(x)在(a，b)中有n+1阶导数，求(x−x0)的n次多项式P(x)=a+a(x+x)+a(x−x)2+⋯+a(x−x)nn01020n0使得(k)()(k)()(0,1,2,,)Pnx0=fx0k=⋯nf(n)(x)解：P(n)(x)=n!a=f(n)(x)⇒a=0n0n0nn!f(n−1)(x)P(n−1)(x)=(n−1)!a=f(n−1)(x)⇒a=0n0n−10n−1(n−1)!依此类推，可得a0=f(x0),a1=f"(x0)21xsin10．极限limx能否用洛必达法则计算？其值为何？x→0sinx解：不能2121xsinxsinxx1lim=lim=limxsin==0x→0sinxx→0sinxx→0x11．求下列极限：x4−16(1+x)π−1（1）lim；（2）lim；x→2x−2x→0xlncotxex−e−x−2x（3）lim；（4）lim；x→0lnxx→0x−sinx3ln(xlnx)esinx−1（5）lim(a>0)；（6）lim；x→∞xax→0x(1−cosx)f(a+h)+f(a−h)−2f(a)（7）lim（设f"(x)在）x=a点邻近连续）．h→0h2x4−164x3(1+x)x−1解：(1)limlim=32(2)lim=limπ(1+x)x−1=πx→2x−2x→21x→0xx→012(−cscx)(3)lncotxcotx−2xlim=lim=lim=−1x→0+lnxx→0+1x→0sin2xxex−e−x−2xex+e−x−2ex−e−xex+e−x(4)lim=lim=lim=lim=2x→0x−sinxx→01−cosxx→0sinxx→0cosx ln(xlnx)lnx+1⎛11⎞(5)lima=lima=lim⎜⎜a+a⎟⎟=0x→∞xx→∞axln+xx→∞⎝axaxlnx⎠3xesin−1x3(6)lim=lim=2x→0x(1−cosx)x→0x2xxf(a+h)+f(a−h)−2f(a)f(a+h)+f(a)−[f(a)−f(a−h)]1(7)lim=lim.h→0h2h→0hhf"(a)−f"(a−h)=lim=f"(a)h→0h12．求下列极限：1（1）lim⎛x−1⎞⎟；（2）lim⎛1−1⎞；（3）lim(1−x)tanπx；（4）limx1−x；⎜⎜⎜x⎟⎟x→1⎝x−1lnx⎠x→0⎝xe−1⎠x→12x→11⎛1⎞x⎛π⎞lnx11（5）lim1+；（6）lim⎜−arctanx⎟；（7）limcotx⎛⎜−⎞⎟；x→0⎜⎜⎝x2⎟⎟⎠x→+∞⎝2⎠x→0⎝sinxx⎠11（8）lim(cotx)lnx；（9）lim(x+ex)x；（10）lim(arcsinx)tanx．+++x→0x→0x→01⎛x1⎞xlnx−x+1lnxx1解：(1)lim⎜−⎟=lim=lim=lim=x→1⎝x−1lnx⎠x→1lnx(x−1)x→11x→11121−+lnx+xx2x11ex−1−xex−1ex1⎛⎞(2)lim⎜⎜−x⎟⎟=limx=limxx=limxx=x→0⎝xe−1⎠x→0x(e−1)x→0e−1+xex→02e+xe2πxπxππx(1−x)sin−sin+cos(1−x)(3)lim(1−x)tanπx=lim2=lim222=2x→12x→1πxx→1ππxπcos−sin2221hxlnx1−lim1−lim1(4)limx1−x=lime1x=ex→1x=ex→1x=x→1x→1e⎛1⎞ln⎜1+⎟2⎝x⎠⎛1⎞xlim→012x2xxln⎜1+⎟lim⎛1⎞⎝x2⎠xx→0x3+x(5)lim⎜⎜1+2⎟⎟=lime=e=e=1x→0⎝x⎠x→0⎛π⎞1ln⎜−arctanx⎟⎝2⎠⎛π⎞hxx1(6)lim⎜−arctanx⎟=limehx=lime=x→∞⎝2⎠x→∞x→∞⎛π⎞2e⎜−arctanx⎟(1+x)⎝2⎠⎛x2⎞⎛x3⎞⎜1−⎟⎜x−x+⎟⎛11⎞cosx(x−sinx)⎜⎝2⎟⎠⎜⎝3!⎟⎠1(7)limcotx⎜−⎟=lim=lim=x→0⎝sinxx⎠x→0sin2xx→0x36 12(−cscx)cotxlimlncotxx→0+1lim+1(8)lim(cotx)1=limelnx=ex=ex→0+cosx=1+lnx+ex→0x→011x+ex−1x+ex−1(9)lim(x+ex)x=lim[1+(x+ex−1)]=lime=e2x→0x→0x+ex−1xx→0x2sinx1(10)tanxtanxlnarcsinxlnarcsinxarcsinx1−x20lim(arcsinx)=lime=lime=lime=e=1+++cotx+x→0x→0x→0x→013．设⎧sinx⎪,x>0,f(x)=⎨x⎪⎩ax+b,x≤0在x=0点可导，求a,bsinx⎫limf(x)=lim=1⎪解：x→0+x→0+x⇒b=1⎬limf(x)=lim(ax+b)=b⎪−−x→0x→0⎭sinx⎫−1⎪f"(0+)=limx=0⎪⎬⇒a=0x→0x⎪f"(0−)=a⎪⎭14．设当x→0时f(x)=ex−(ax2+bx+1)=o(x2)求常数a,b．f(x)(ax2+bx+1)ex−b−2axex−2a解：lim=limex−=lim=limx→0x2x→0x2x→02xx→02xx1从而可得lim(e−b)=0⇒b=1，lim(e−2a)=0⇒a=x→0x→0215．求下列函数的单调区间：x2（1）y=x4−2x2+2；（2）y=x−ex；（3）y=；（4）y=2x2−lnx．1+x解：（1）y"=4x3−4x=0⇒x=0,x=1,x=−1123所以，当x∈(−1,0)∪(1,+∞)单调增当x∈(−∞,−1)∪(0,1)调减（2）y"=1−ex=0⇒x=0所以，当x<0单调增当x>0单调减 2x(1+x)-x22x+x2（3）y"=2=2=0⇒x1=0,x2=−2(1+x)(1+x)所以，当x<−2单调增当−2≤x<0单调减当x≥0单调增11（4）y"=4x-=0⇒x=±x21所以，当x<−单调增211当−≤x<单调减221当x≥单调增216．证明下列不等式：x1（1）e>ex(x>1)；（2）2x>3−(x>1)；xx2lnxx（3）x>sinx>x−(x>0)；（4）1<2(x2>x1>1)．2lnx2x1解：（1）令F(x)=ex−ex(x>1)F"(x)=ex−e当x>1时，F"(x)>0且limF(x)=0x→1∴F(x)>0得证1(2)令F(x)=2x−(x>1)x11F"(x)=+>0xx2且limF(x)=3+x→1得证(3)令F(x)=sinx−x(x>0)F"(x)=cosx-1≤0且limF(x)=0x→1∴x>sinxx2令G(x)=sinx−x+2G"(x)=cosx+x−1 G"(x)=-sinx+1>0又limG"(x)=0+x→0∴G(x)>0x2∴sinx>x−2综上得证(4)令F(x)=xlnx(x>1)F(x)=lnx+1>0∴F(x2)>F(x2)(x2>x1>1)∴得证17．设p,q∈Z+,p,q>2，试比较pq与qp的大小．（提示：利用函数f(x)=lnx/x的单调性）．lnx解：令f(x)=(x>2)x1−lnxf(x)=x2∴1°当20若p>q则f(p)>f(q)lnplnqpq>pqpq∴qlnp>plnq∴eqlnp>eplnqqlnpplnq∴e>e2°当x≥ef"(x)<0同理若p>q则pq0,f"(x)>0，则f(x)在(a,b)上（B）．A．单调上升，下凸B．单调上升，上凸C．单调下降，下凸D．单调下降，上凸解：Bf"(x)>0f"(x)<019．给定曲线C:y=f(x)(x∈I)，已知y"=f"(x)的图形如4-17，则曲线C在（−∞，+∞）上是（C）．A．下凸的B．上凸的 图4-17C．单调上升的D．单调下降的解：C20．确定下列曲线的上、下凸区间和拐点：1x2(1)y=x2−x3；(2)y=；(3)y=xex；(4)y=．4−2x+x2x−1解：(1)y"=2x−3x2y"=2−6x=01x=312∴拐点(,)3271当x∈(−∞,)下凸31当x∈(,+∞)上凸31(2)y=(x+1)2+3-2(x-1)y"[(x+1)2+3]2-2[(x+1)2+3]2+8(x−1)2[(x+1)2+3]y"==0[(x+1)2+3]4∴x1=0x2=211∴拐点(0，)(2，)44在(−∞,0)∪(2,+∞)下凸在(0,2)上凸(3)y"=ex+xexy"=2ex+xex=0∴x=−22∴拐点(−2,)e2在(−∞,-2)上凸 在(-2,+∞)上凸x2(4)y=x−12x(x-1)-x2x2−2xy"==(x−1)2(x−1)22(x-1)3-2(x-1)(x2-2x)y"==0(x−1)4x无解∴无拐点当x=1时y"不存在∴在(-∞,1)上凸在(1,+∞)下凸21．设f(x)在(a,b)上有连续的三阶导数，若有c∈(a,b)使得f"(c)=0，且，f""(c)≠0，则点P(c,f(c))必是曲线Γ:y=f(x)(x∈(a,b))的拐点吗？解：f"(c)=0f""(x)≠0⇒在点P(c,f(c))两侧f"(x)异号⇒P(c,f(c))是拐点22．讨论下列函数的凸性：43(1)y=x；(2)y=(2x−5)3x2．1244解：(1)y"=x3y"=x3>039∴凸212(2)y"=2x3+(2x−5)x331144-4-2-y"=x3+x3−(2x−5)x3=03391∴x=-当x=0y"不存在21∴(−∞，-)凹21(−，0)和(0，+∞)凸223．求下列函数的极值322x2−x(1)y=x−3x+7；（1）y=；(3)y=xe；1+x2（4）2323x−xy=(x−2)•x；（5）y=(x−1)(x+1)；(6)y=2e+e．解：(1)y"=3x2−6x=0⇒x=0x=212y"=6x-6y"(0)=-6y"(2)=6∴极大值为7，极小值为3 2(1+x2)-4x2(2)y"=22=0⇒x1=1x2=−1(4+x)4x(1+x2)−4(2−2x2)(1+x2)3−2xy"=y"(1)=-8y"(-1)=8(1+x2)4∴极大值为1，极小值为-1(3)y"=2xe−x−x2e−x=0⇒x=0x=212y"=2xe-x−4xe−x+x2e−x=(2−4x+x2)e−x∴y"(0)=2y"(2)=-2e−2∴极大值y(2)=4e−2极小值y(0)=021(4)32231y=2(x−2)x+(x−2)x=0⇒x1=2x2=不可导点x3=032由第一判别法知193∴极大值y()=228极小值y(0)=y(2)=0(5)y=(x−1)(x+1)3321y"=(x+1)+3(x−1)(x+1)=0⇒x1=−1x2=2因y在x=−1两侧同号故x1=−1非极值点127极小值y()=−216x−x1(6)y"=2e−e=0⇒x1=−ln22x−x12y"=2e+ey"(-ln2)=2212∴极小值y(−ln1)=2224．求c使方程f(x)=x3−3x+c有（1）1个；（2）2个；（3）3个实根数（重根以一个计）．解：f"(x)=3(x-1)⇒x=±1f"(x)=6x∴极大值f(−1)=2+C极小值f(1)=C−2∴1°1根2+C<0或C−2>0∴C<−2或C>2 ∴2°2根2+C=0或C−2=0∴C=−2或C=2∴3°3根2+C>0或C−2<0∴−20y(0)=c=1∴a=1b=−3c=127．求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：x21(1)32，⎡⎤；y=2x(x−6)，[-2，4]；(2)y=⎢−,1⎥1+x⎣2⎦32⎡1⎤2⎡π⎤(3)y=(x−1)x，⎢−1,⎥(4)y=2tanx−tanx，⎢0,⎥．⎣2⎦⎣3⎦4x(x−6)+2x2解：(1)y"==0⇒x=4x=0时y"不存在223[2x(x−6)]3y(0)=0y(-2)=y(4)=-4∴最大值y(0)=0最小值y(−2)=−42x(1+x)-x2x2+2x(2)y"===0(1+x)2(1+x)2∴x1=0x2=−2x3=−1时y"不存在y(0)=011y(−)=y(1)=22∴最小值y(0)=01最大值2 212−(3)y"=x3+(x−1)x3=032∴x1=x2=0时y"不存在5111123⎛4⎞3y(0)=0y(-1)=-2y()=−y()=-⎜⎟22155⎝25⎠43∴最小值y(0)=0最大值y(−1)=−2(4)y"=2secx-2tanxsecx=0π∴x=4ππ3y()=1y(0)=0y()=3−434π∴最大值y=()=14最小值y(0)=028．用截面是直径为d的圆形木材加工成截面为矩形的梁，如矩形的底为b，高为h，则梁的强度y=kbh2（k为常数），问b，h为何值时y最大？2b2h2d2解：y=kbh()+()=()222∴y=kb(d2−b2)(04问x为多少时总利润最大？解：1°当0≤x≤4时12Q=4x−x−2(2+x)2Q"=3-x=05∴x=3Q=22°当x>4时Q=8−(2+x)=6−xQ"=-1∴无最大值5∴x=3Q=234．某商店每周购进一批商品，进价为6（元/件），如零售价定为10（元/件）可售出120（件）当售价降低0．5（元/件）时，销量增加20（件），问售价p定为多少和每周进货多少时利润最大，其值为何？解：利润R⎡10−p⎤R=(P−6)⎢120+20⎥⎣0.5⎦=(P−6)[120+40(10−P)]R"=120+400-40P−40(P−6)=0∴P=9.5进货量为140最大利润为49035．求下列曲线的水平和竖直渐近线：1x2−e1sinx(1)y=；(2)y=ex；(3)y=；(4)y=(5)y=．1+3e−x1+xxx(x−1)1−e1−x解：(1)limy=2limy=0x→+∞x→−∞∴水平渐近线为y=2和y=0无竖直渐近线(2)limy=1limy=1x→+∞x→−∞∴水平渐近线为y=1∵x=0为间断点∴limy=0limy=+∞+−x→0x→0 ∴x=0为竖直渐近线(3)limy=0limy=+∞x→−∞x→+∞∴水平渐近线为y=0limy=∞x→−1∴x=−1为竖直渐近线1e(4)limy==x→+∞1−e−1e−1e∴水平渐近线为y=e−1limy=1limy=0+−x→1x→1∴x=1为竖直渐近线(5)limy=0x→+∞∴水平渐近线为y=0limy=−1limy=∞x→0x→1∴x=1为竖直渐近线36．证明：对于曲线C:y=f(x)和直线l:y=kx+b(k≠0,k和b是常数），如有lim[f(x)−kx−b]=0或lim[f(x)−kx−b]=0x→−∞x→+∞则l是C的斜渐近线．由此导出求曲线C的斜渐近线的方法．f(x)解：lim=kx→∞xlimf(x)−kx=b⇒斜渐近线y=kx+bx→∞37．求下列曲线的渐近线：(1)y=x2+1；(2)y=xarctanx．x2+1x2+1解：(1)lim=1lim=−1x→+∞xx→−∞xlimx2+1−x=0limx2+1+x=0x→+∞x→−∞∴y=x和y=−xxarctanxπxarctanxπ(2)lim=lim=−x→+∞x2x→−∞x2ππlimxarctanx−x=−1limxarctanx+=−1x→+∞2x→−∞2ππ∴y=x−1和y=−x−122 38．画出下列曲线的草图：x2（1）y=x3−x2−x+1；（2）y=x−ln(x+1)；（3）y=．3x+1解：（1）y"=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1)y"=6x-2132函数无不可导点，其驻点为x=1和x=−，对应的函数值y=0和y=．3271y"=0时y=16x=32711在区间（−∞，−）上y">0，函数单调增加；在区间[−,1)上y"<0，函数单调减小；在区33间（1，+∞）上y">0，函数单调增加，易知．1x=−为极大值点，x=1为极小值点．3111在区间（−∞，）上，y"<0，曲线上凸；在（，+∞）上曲线是下凸的，故点（，16）33327为曲线的极点．综上可列出函数在（−∞，+∞）上的性态表．11x(−∞,-13)-130（−，-13）13（，1）1（1，+∞）33y"+0----0+y"---2-0+4+y↗3227-1↘1627↘0↗曲线无渐近线，绘制草图如下图．y322711627-1011x33x(2)解：函数在（-1+∞）上有定义，且连续x=−1为函数的无穷间断点．1x1y"=1-=,y"=x+1x+1(x+1)2函数在其定义域内无不可导点，唯一驻点．x=0，y=0又y"恒大于0，从而函数是下凸的．x=0函数为（-1，0），y"<0，为单调减小；在（a，+∞）为单调增加，且有．limx−ln(1+x)=+∞x→−1 函数特性表如下：x（-1，0）0（0，+∞）y"-0+y"+1+y↘0↗绘制草图如下：yx-1011（3）函数的定义域为（−∞,-）U（-,+∞），33在定义域内连续x=−13为它的无容间断点．2x(3x+2)4(3x+1)(6x-1)4(6x−1)y"=，y"==(3x+1)2(3x+1)4(3x+1)3其驻点为：x=0,y=0−2x=,y=−493y"=0时，x=−13且lim−f(x)=−∞,lim+f(x)=+∞x→−13x→−13在区间（−∞,-23）和（0，+∞）上，y">0，为单调增函数；211在区间（−，−）和（−，0）为单调减函数；333从而x=−23，与x=0分别为函数的极大值与极小值点．1在（−∞,-13）上y"<0为上凸，在（-,+∞）上y">0为下凸，故而点（-13,-∞）为极点．3（B） 1．单项选择题(1)设函数f(x)在点x0处取到极大值，则（D）．A．f"(x0)=0B．f"(x0)<0C．f"(x0)=0且f"(x0)<0D．f"(x0)=0或不存在解：(1)D极大值⇒f"(x0)=0或不存在f(x)−f(a)(2)设lim=−1，则（C）．2x→a(x−a)A．f(x)在x=a处导数不存在B．f"(a)=-1C．f(a)为极大值D．f(a)为极小值解：(2)Cf(x)−f(a)f"(a)lim=lim=−1x→a(x−a)2x→ax−a⇒f"(a)-0f"(a)=-1⇒f(a)为极大值f(x)(3)设在(−∞，+∞)上f"(x)>0，又f(0)≤0，则函数（D）．xA．在(−∞，0)内递增，在(0，+∞)内递减B．在(−∞，0)内递减，在(0，+∞)内递增C．(−∞，0)和(0，+∞)上都递增D．(−∞，0)和(0，+∞)上都递减解：(3)Df(x)>0⇒凹f(x)x≤0时f(x)递减递增xx>0时同理21+e−x(4)曲线y=（D）．21−e−xA．没有渐近线B．仅有水平渐近线C．仅有竖直渐近线D．水平的和竖直的渐近线都有解：(4)Dlim=1∴水平x→∞(5)设函数y=(f(x)在（−∞，+∞）上有二阶导数，且y"=f"(x)的图形如图4-19所示．则下列结论正确的是（A）．A．点（-1，f（-1））是曲线y=f(x)的拐点B．点（0，f（0））是曲线y=f(x)的拐点C．在（−∞，−1）上曲线y=f(x)是上凸的D．在（−1，+∞）上曲线y=f(x)是下凸的解：(5)A图4-19(6)若f(−x)=f(x)(−∞0,f"(x)<0，则f(x)在（0，+∞）内有 (C)．A．f"(x)>0，f"(x)<0B．f"(x)>0，f"(x)>0C．f"(x)<0，f"(x)<0D．f"(x)<0，f"(x)>0解：(6)Cf"(x)(7)设f(x)的导数在x=a处连续，又lim=−1，则（B）．x→ax−aA．f(a)是极小值B．f(a)是极大值C．（a，f(a)）是曲线y=f(x)的拐点D．f(a)不是极值，（a，f(a)）也不是曲线y=f(x)的拐点解：(7)Bf"(x)lim=−1⇒f"(a)=0f"(a)=-1<0x→ax−a2．填空题f(−2x)(1)设曲线y=f(x)经过原点，且在点（x,f(x)）处切线的斜率为-2x，则lim=．x→0x2(2)函数y=x2lnx在点x=有极值，其值为．1ax⎛1⎞(3)设00∴仅有一个根(4)limy=1limy=1x→+∞x→−∞∴水平渐近线y=1limy=−∞x→−∞ ∴竖直渐近线x=0(5)1=ALaKβ∂KL∂KL∂EKL=.=−.=−∂LKβLKβx⎛1⎞3．试证明f(x)=⎜1+⎟在区间（0，+∞）内单调增加．⎝x⎠1xln(1+)11解：f"(x)=ex[ln(1+)]-xx+111令G(x)=ln(1+)−x>0xx+11G(x)=−<0x(1+x)2且limG(x)=0x→+∞∴G(x)>0∴f"(x)>0得证12xπ4．求证：当x≥1时arctanx−arccos=．21+x2412x解：令f(x)=arctanx−arccosx≥121+x22(1+x2)−4x211(1+x2)2f(x)=+1+x222⎛2x⎞1−⎜⎟⎜(1+x2)⎟⎝⎠2(1+x2)1(1+x2)2=+=01+x22x2−1(1+x2)Π取x=1代入得f(x)=4∴得证5．设函数f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内二阶可导，过A（0，f（0））与B（1，f（1））的直线与曲线y=f(x)相交于C（c，f（c）），其中01则f(0)f(2)中必有1个小于1据介值定理存在α使得f(α)=1又f(3)=1∴存在ε∈(0，3)使f"(ε)=0217．设某产品的成本函数为C=aq+bq+c，需求函数为q=(d−p)，其中p为单价，a，b，ec，d，e都是正的常数，且d>b．求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性：(3)需求对价格的弹性的绝对值为1时的产量．解：(1)R=I−C=pq−(aq2+bq+c)=(a−eq)q−(aq2+bq+c)=−(a+e)q2−bq+dq−cR"=-2(a+e)q-b+d=0d−b∴q=2(a+e)(d−b)2maxR=4−C2(a+e)∂qp1⎛d−eq⎞d(2)Eqp==−⎜⎜⎟⎟=1−∂pqe⎝q⎠eqd(3)Eqp=1−=1eqd2e∴=2q=eqd8．一商家销售某种商品的价格满足关系p=7−0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是C=3x+1（万元）．(1)若每销售一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获得最大利润时的销售量．(2)t为何值时，政府税收量大．解：(1)R=Px−(3x+1)−tx =(7−0.2x)x−3x−1−tx=−0.2x2+(4−t)x+6R"=-0.4x+(4−t)=05x=(4−t)2(2)T=tx5=t.(4−t)252=(4t−t)25T=(4−2t)2=10−5t=0∴t=2'