动力气象课本答案.pdf 150页

'动力气象学复习思考题与习题汇编2010年8月1 目录第一章描写大气运动的基本方程组------------------------------------------------------------(1)第二章尺度分析与基本方程组的简化--------------------------------------------------------(23)第三章自由大气中的平衡流场-----------------------------------------------------------------(41)第四章环流定理、涡度方程和散度方程-----------------------------------------------------(56)第五章大气行星边界层--------------------------------------------------------------------------(69)第六章大气能量学--------------------------------------------------------------------------------(87)第七章大气中的基本波动-----------------------------------------------------------------------(98)第八章波包、波群与能量的传播-------------------------------------------------------------(119)第九章地砖适应过程与准地转演变过程----------------------------------------------------(124)第十章大气运动的稳定性理论----------------------------------------------------------------(135)第十一章低纬度热带大气动力学------------------------------------------------------------(145)第十二章非线性动力学基础------------------------------------------------------------------(146)2 矢量分析中的一些主要公式1.矢量恒等式以下的恒等式中A、B、C为任意的矢量，而a为任意标量。A(BC)(AB)C(CA)BA(BC)(AC)B(AB)Ca0(A)0(aA)aAAa(AB)(A)B(B)AA(B)B(A)(AB)ABBA(A)A(A)B2(A)A(A)2/(A)A2(A)(A)A2.积分定理(1)散度定理AdVAnd(三维)V式中dV：体积元；V：体积；d：面积元；：包围体积V的曲面；n：曲面的外法线方向上的单位矢量。FdSFndl(二维)SC式中F为二维矢量；dS：平面上面积元；S：平面面积；C：包围S的曲线；dl：沿C的线元；n：曲线C的外法线法线方向上单位矢量。(2)斯托克斯定理AdVnAdVkFdSFtdlSCadVnadV式中k是平面S的法线方向上单位矢量；t是曲线C的切线方向上单位矢量；其他符号意义同上。3.各种坐标系中矢量算子(1)笛卡尔坐标系(x、y、z)位置矢量rxiyjzk3 水平速度VxivjijkxyzuvVxyvuk(V)xy222h22xy(2)柱坐标系(r、、z)位置矢量rrizk水平速度Vuivj1ijkrrz11vV(ru)rrr11uk(V)(rv)rxr2211(r)h22rrrr(3)球坐标系(、、r)位置矢量rrk水平速度Vuivjijkrcosrr1uV[(vcos)]rcosr1vk(V)[(ucos)]rcos221[cos(cos)]h222rcos4 动力气象学复习思考题与习题2010第一章描写大气运动的基本方程组复习思考题1.支配大气运动状态和热力状态的基本物理定律有哪些？大气运动方程组一般有几个方程组成？哪些是预报方程？哪些是诊断方程？答：基本物理定律是牛顿运动定律、质量守恒定律、热力学能量守恒定律、气体实验定律；大气运动方程组一般有六个方程组成（三个运动方程、连续方程、热力学能量方程、状态方程）；若是湿空气还要加一个水汽方程。运动方程、连续方程、热力学能量方程是预报方程，状态方程是诊断方程。2.研究大气运动变化规律为什么选用旋转坐标系？旋转参考系与惯性参考系中的运动方程有什么不同？答：相对于惯性参考系中的运动方程而言，旋转参考系中的运动方程加入了视示力（科里奥利力、惯性离心力）。3.地球旋转对大气运动有哪些动力作用？答：产生惯性离心力，相对于地球有运动的大气还受科里奥利力作用。4.科里奥利力是怎样产生的？他与速度的关系如何？南北半球有何区别？它在赤道、极地的方向如何？答：由于地球旋转及空气微团相对于地球有运动时产生；科里奥利力垂直于V，在北半球指向运动的右侧，在赤道处沿半径向外，在极地其垂直于地轴向外。5.惯性离心力是怎样产生的？如果没有地球旋转，此力存在不存在？答：处在旋转坐标系中产生的；若没有地球旋转，此力不存在。6.曲率项力怎样产生的？如果没有地球自转，此力存在不存在？答：由于地球的球面性引起的；若没有地球旋转，此力不存在。7.惯性离心力与科里奥利力有哪些异同点？答：都是在旋转参考系中的视示力，惯性离心力恒存在，而大气相对于地球有运动时才会产生科里奥利力。8.为什么把地球引力与惯性离心力合并为重力？2答：地球引力g仅与空气微团的位置有关，而惯性离心力R也只与空气微团的位置有关，从逻辑上很自然将这两力合并在一起。地球引力与惯性离心力的矢量和称作重力。9.为什么地球不可能是一个绝对球体？答：惯性离心力可分解为两个相互垂直的分力。一个分立部分抵消了地球引力，一个分立与地表面相切指向赤道。后一个分立促使物体向赤道方向运动。在这个分立的长久作用下，便在一定程度上决定了地球球壳的形状，使地球在赤道处隆起，地球成为扁平的椭球体。10.重力的方向如何？与等高面是否垂直？海平面上的重力如何？答：重力g的方向垂直于等重力位势面，且由高重力位势指向低重力位势；与等高面不垂直海平面为等重力位势面，重力与海平面垂直。11.如何认识不考虑重力在水平面上的分量？答：因地心引力与重力的夹角非常小（不到0.1度），在水平方向的分量很小，以致我们就认-1- 动力气象学复习思考题与习题2010为重力指向地心。12.物理上什么样的力是位势力（或保守力）？位势力有哪些主要的性质？答：保守力：在物理系统里，假若一个粒子，从起始点移动到终结点，由于受到作用力，所做的功，不因为路径的不同而改变。则称此力为保守力。假若一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此系统为保守系统。由于保守力所做的功与运动物体所经过的路径无关,因此，如果物体沿闭合路径绕行一周，则保守力对物体所做的功恒为0。因为保守力的功具有这样的特点，所以在只有保守力作用在物体上的情况下可以定义势能(位能)。13.重力位势与重力位能这两个概念有何差异？引进重力位势这个概念有何好处？答：重力位势：重力位势表示移动单位质量空气微团从海平面（Z=0）到Z高度，克服重力所做的功。重力位能：重力位能可简称为位能。重力场中距海平面z高度上单位质量空气微团所具有的位能为gz引进重力位势后，g等重力位势面（等面）相垂直，方向为高值等重力位势面指向低等重力位势面，其大小由等重力位势面的疏密程度来确定。所以，重力位势的空间分布完全刻画除了重力场的特征。14.位势高度的量纲是什么？因位势米与几何米在数值上差不多，能否写成1gpm1m？22答：位势高度的量纲是LT；位势高度的本质是重力位势，而不是高度。15.何谓薄层近似？去薄层近似简化球坐标系中运动方程组应注意什么问题？答.在球坐标的运动方程中，当r处于系数地位时用a代替，当r处于微商地位时用rz代替是相当精确的，这一近似被郭晓岚称为薄层近似。使用时要不违背绝对角动量守恒原理。不违背机械能守恒原理。16.在什么情况下，基本方程中可以不考虑地球曲率的影响？答：在中低纬度局部地区的大气运动中，运动方程中的所有曲率项都可以略去。17.什么是局地直角坐标系？该坐标系是如何考虑地球旋转的？去掉方程中f2cos是否合理？局地直角坐标系与球坐标系有何联系与区别？答：坐标系的原点取在所指定地点的海平面上，X轴原点指向东，Y轴指向正北，而Z轴向天顶，由一点移到另一点时，这样坐标系的坐标轴将发生变化。把球面视为平面，而且认为水平面绕铅直轴以角速度f/2sin旋转；合理，略取后仍然符合科里奥利力和曲率项力都不做功的原则。局地直角坐标系实际上是球坐标系的简化形式，它保持了球坐标系的标架，但忽略了球面曲率的影响。18.在局地直角坐标系中是如何处理f2sin的？这种处理是否合理？答：在中小尺度系统中取ff，其中f2sin；000在大尺度系统中取ffy，即平面近似。0-2- 动力气象学复习思考题与习题201019.常用的热力学能学方程有哪些形式？dTd答：（1）用气温、比容表述cpQvdtdtdTdp（2）用气压、气温表述cQpdtdtdlnpdln1（3）用气压、密度表述Q，为Poisson指数dtdtcTvdln1（4）用位温表述QdtcTp20.如何理解大气中短时期的热力过程可视为绝热过程？答：在空气运动的短期变化过程中，可以认为空气微团与外界无热量交换，这就是绝热过程。21.试阐述速度散度的物理意义？速度散度与运动的参考系有没有关系？答：速度散度V代表物质体积元的体积在运动中的相对膨胀率。331d()因Vlim，故速度散度与运动的参考系没有关系。330dt22.“d/dt0是不可压缩流体的充分与必要条件”，这种说法正确吗？为什么？答：不正确，是必要非充分的。23.大气运动方程组和一般流体力学方程组主要差别有哪些？24.什么是均质大气？均质大气高度h的意义是什么？答：假设空气密度不随高度变化，即是均质大气模式；1在均质大气处，实际大气的气压和密度分别近似等于地面气压和密度的。e习题1.说明温度平流变化的物理意义，证明TTVTVV2nsn其中T/s表示温度平流沿水平速度方向变化率，T/n是温度梯度的大小，V是水n平速度在水平温度梯度方向上的分量。解：用自然坐标系，TTTVTVt(tn)V用2sns0直角坐标系将V分解图1.1-3- 动力气象学复习思考题与习题2010TTTVT(VtVn)(tn)V2snnsnn02.如果大气中中存在另外的一个运动系统（如飞机、轮船、气压系统等），设在运动系统中观测到的温度随时间的变化率为T/t，运动系统相对于地面的速度为C，试证明有下列关系式成立，即dTT(VC)T3dtt解：在固定坐标系中：以速度V运动的质点的个别变化可展开为：dTTVT3dtt在运动坐标系中（设其移动的速度为C），空气质点必以(VC)的速度相对于运功坐标系运动。所以，空气质点的个别变化在运动坐标系中可展开为：dTT(VC)T3dtt3.设Oxyz是一惯性坐标系，Oxyz是固定在地球上随地球一起旋转的旋转坐标系，f是一标量场，惯性坐标系中ffxyzt(,,,)，全导数dffa()Vfaa3dtt(f/t)a是惯性坐标系中固定点上f随时间的变化率，Va是绝对速度，3f是惯性坐标系中梯度；旋转坐标系中ffxyzt(,,,)，全导数dff()Vfr3dtt(f/t)是旋转坐标系中固定点上f随时间的变化r率，V相对速度，试用数学方法证明3dfdfardtdt即一标量场的全导数与参考系无关。图1.2提示：(如图1.2)（1）x,y,z分别是x,y,z,t的函数，f(x,y,z,t)是x,y,z,t的复合函数，即f(x,y,z,t)xx(x,y,z,t)，yy(x,y,z,t)，zz(x,y,z,t)-4- 动力气象学复习思考题与习题2010利用复合函数微分法则，可求得(f/t)与(f/t)之间的关系；ar（2）令rixjykz，rixjyzk，则(r/t)为旋转坐标系中固定点r观测到惯性坐标系中矢径的变率，即牵连速度V(r/t)cc相反有V(r/t)ca~（3）梯度不依赖坐标系ff334.计算45N跟随地球一起旋转的空气微团的牵连速度。解：由速度公式VVr可知，牵连速度为：ra大小为rrsin；方向为向东。5.设流场是定常的、均匀的、沿纬圈的带状环流，试求微团的绝对速度和绝对加速度。解：（1）绝对速度设空气微团沿纬圈的相对速度VUi，式中U为常量。又地转角速度可分解成cosjsink而位置向量rrk则牵连速度Vrrcosie故绝对速度VVV(Urcos)iae（2）绝对加速度dVdV空气微团的绝对加速度aa22VRdtdtdV因vu0,uU,则由球坐标系分量表达式可知dtdVU2tanU2jkdtrr而2V2Ucosjk2UsinkifUkfUj2k2Rsinj2Rcosk2rcossinj2rcos2kdVU2tanU2aa222于是(fUrcossin)j(fUrcos)kdtrr-5- 动力气象学复习思考题与习题2010注：对于绝对加速度的大小和合成方向可作如下分析dVaa因绝对加速度在i和j方向上的分量能够写作dt22U2U2sin(2Urcos)和cos(2Urcos)rcosrcos很容易得到绝对加速度的大小2dVaaU2(2Urcos)dtrcos因绝对加速度的一个分量与j方向一致，一个分量与k方向相反，故若令合成的绝对加速度向量与j向量的夹角为（见图1.3），则有costancottan()图1.3sin2故说明绝对加速度的方向与n方向一致，即指向地轴。于是2dVaaU2(2Urcos)ndtrcos式中n是单位向量，方向垂直地轴且向外，Rrcos，从而得知：定常的、均匀的、沿纬2U圈的带状环流的绝对加速度为相对速度的向心加速度n，科氏加速度2Un和地转牵R2连（向心）加速度Rn三项之和，这三项加速度都指向地轴。6.试指出空气微团在以下的几种运动中所受的科里奥利力方向：（1）沿赤道向东运动（2）沿赤道向北运动（3）在赤道作铅直向上运动解：由科里奥利力2V知：（1）当沿赤道向东运动时Vui，此时科里奥利力垂直地轴向外；（2）当沿赤道向北运动时Vvj，此时科里奥利力沿纬圈向东；（3）当在赤道作铅直向上运动时Vwk，此时科里奥利力沿纬圈向东；7.已知-6- 动力气象学复习思考题与习题2010VAcosjAsink试求科里奥利力(A为常值)。ijk解：由科里奥利力2V知：20cossin00AcosAsin8.试证明曲率项力可写作AV，这里的A为3vuutanAijkrrr由此说明曲率项力不做功。uvtanuwu2tanvwu2v2解：曲率项力为：()i()jkrrrrrvuutan由Aijk知rrrijkvuutanuvtanuwu2tanvwu2v2AV()i()jk3rrrrrrrruvw曲率项力可写作AV3有(AVV)0，则曲率项力与速度垂直，不做功。339.试证明，在za条件下，地球引力g可写成2zgg(1)0a其中a是地球半径，g是地面上地球引力。0GM解：由万有引力定律：g，2rGMraz，a为地球半径；在地面时g02aGMGMGM1GMzzg(12)g(12)22220r(az)az2aaa(1)a2z所以gg0(1)a10.一个人造卫星从南半球飞向北半球，通过赤道时飞行方向与赤道成60交角，相对水平速-7- 动力气象学复习思考题与习题2010度为8kms/，试求它的科里奥利加速度。解:当人造地球卫星在赤道上空时，其速度可分解为VVVcosiVsinjhhh式中为倾角，V表示水平速度。这时由于hj则科氏加速度C2V2Vcosji2Vsinjj2Vcoskhhh3令V810ms/,60，则科氏加速度得数值h2C2Vcos0.58/ms，其方向垂直于赤道地面指向地心。h11.一物体在45N地方由100m高度上自由下落，若不计空气阻力，只考虑重力和科里奥利力作用，试求着地时物体偏移的方向和距离。解：只考虑重力和科里奥利力作用时物体偏移，于是根据题意：dui方向的运动方程fw（1）dt由（1）式的初始条件：当t=0时x(0)0u(0)0（2）z(0)100mttdutt对（1）试积分(dtdt)(fwdtdt)00dt00利用初始条件（2）式，并注意f为常数，则txxt()x(0)f[()ztz(0)]dt0112[(0)zzt()]2由自由落体运动有zt()z(0)gt或t22g3t12fg3gcosz(0)zt()2最后结果为xfgtdtt[2]0263g5令zt()0，并已知z(0)10cm，由上式计算出物体向东偏移x53.2cm注：本体在推算时，没有考虑物体在下落过程中由于u已不等于零而在j方向产生的科氏力。显然由于这一原因使物体在下落过程中的j方向（向北）的偏离要小。-8- 动力气象学复习思考题与习题201012.一物体在维度处以初速度w被铅直上抛后，不计空气的阻力，是证明，当它返回原高度0时，向西偏移的距离为34wcos023g并从物理上分析向西偏移的原因。解：首先分析，如图1.4。设物体在初速w上升过程中，由于地球0的旋转，物体将向西偏移，可得物体上升到最大高度时向西的水平位移x。物体在达到最大高度后，便立即向下作在自由落体运动。1在下落的过程中，由于有一定向西的运动速度，故它将继续向西移图1.4动；另一方面，由于地球的旋转，它将向东偏移，也可得从最高点返回地面时的水平位移x。2则物体返回地面时的总水平位移就是x和x的代数和。12dw相对于g而言，2ucos可略去，则垂直运动方程为gdt对时间积分上式，使得到任一时刻物体的上升速度wwgt10式中w即为物体垂直向上的初速度。将上式代入0du()fw2(wgt)cos（1）c00dt将（1）式对时间积分，得12u2(wtgt)cos（2）102求物体达到最大高度时向西的水平位移必须对时间积分（2）式t1x0x1t112udtdx2cos(wtgtdt)01x0002积分结果为1213x2(wtgt)cos（3）101126式中t为物体达到最大高度时所需的时间，1w0t（4）1g将（4）式代入（3）式。得到22w0xcos（5）123g-9- 动力气象学复习思考题与习题201022w0上式表明，物体垂直向上达到最大高度时向西水平位移了cos的距离。23g物体垂直向上达到最大高度后，不计空气的阻力，便向下作在自由落体运动。其任一时刻的下落速度为wgt2du将上式代入()fw中，得c0dtdu()2gtcos（6）c0dt将（6）式对时间积分，得2ugtcosu（7）2H式中的u为在最大高度H处物体详细的运动速度。将(7)式代入（2）式，得到H2w0wcosHg于是，（7）式可改写为22w0ugtcoscos（8）2g求物体下落到地面时的水平位移必须对时间积分（8）式2t2x1x2t22w0t2udtdxgcostdtcosdt02x001g积分结果为213w0xgtcostcos（9）2223g式中t为物体下落到地面所需的时间，22Ht2g而物体达到的最大高度可由下式确定2w0H2gw于是求的to2g将上式代入（9）式，得到物体由最大高度返回地面时的水平位移为32wcos0x（10）223g-10- 动力气象学复习思考题与习题201022w0上式表明，物体在下落过程中又向西水平位移了cos的距离。23g最后将（5）、（10）式相加，便得到物体垂直上抛返回地面的总水平位移34wcos0xxx（11）1223g34wcos0上式表明，物体向西总水平位移了的距离。23g13.若空气微团只受到水平科里奥利力的作用，水平初速度为Vt,0时微团的位置矢量为r，00设f常值，试求该微团的运动轨迹。答：由于空气微团只受到水平科里奥利力的作用，即dufvdtdvfudt对第一式求t的导数，得2du2fu2dt22式特征方程为：rf0解得rfi1,2所得原方程的解为uCcosftCsinft12vCsinftCcofts(CC,任意常数)1212当t0时，uuv,v，得CuC,v001020tt要得到位移，需要对速度积分udt(CcosftCsinftdt)0012uvv000xxsinftcosft0fff可得uuv000yycoftssinft0fff2v02u02V0移项平方得(xx)(yy)002fff-11- 动力气象学复习思考题与习题201014.设地球为征求体，使计算海平面上地球引力与重力之间的夹角，又夹角最大值为多少？解：如图1.5所示，设为单位质量的空气微团所受的地球引力F，重力g的夹角，C为地球的惯性离心力，由三角形的正弦定理sinsinCg图1.5式中a为地球半径22aasincossinsin2g2g从上式可看出：sin或随纬度而变，当0和90时，0（从物理上也很容易理解这一点，因为在极地惯性离心力为零，在赤道上惯性离心力恰好与地球引力相反），而000当090时o，区最大之所在的维度，显然为45，且2asin最大2g将数据代入，算出得2aarcsin5.9最大2g15.计算赤道上空重力等于零的高度，一人造地球卫星进入该绕地球旋转的周期为多少？解：若在赤道上重力为零，则地球引力与惯性离心力相等。GM2即r2r16.证明引力位势，惯性离心力位势，重力位场分别满足ae2(1)03a22(2)23e22(3)232解：(1)03a11引力位势GM()aarp-12- 动力气象学复习思考题与习题20101a1aaGM则ijkka2rcosrrr由球坐标散度表达式1A112A(Acos)(Ar)2rrcosrcosrr21GM2最后得证()(r)0aa22rrr22(2)23e1221222离心力位势Rrcose22则11222122222(rcos)j(rcos)krcossinjrcosker2r2而21221232()(rcossin)(rcos)ee2rcosrr22222222sincos3cos222(3)23因ae2222故2ae17.设r为空间点P相对于地心的位置矢量，R为r在某一纬圈平面上的投影矢量，为地球旋转角速度矢量，试分别求出r，R，的散度和旋度。解：（1）r和rrkr1A112由球坐标散度表达式A(Acos)(Ar)2rrcosrcosrr13得r(r)32rr由球坐标旋度表达式1Ar11Ar1AA[(Ar)]i[(Ar)]j[(Acos)]krrrrcosrcos-13- 动力气象学复习思考题与习题2010得r0（2）R和R因Rrcos2故RRsinjRcoskrcossinjrcosk由球坐标散度表达式，得12132R(rcossin)(rcos)22rcosrr由球坐标旋度表达式，得122R[(rcos)(rcossin)]i0rr（3）和地砖角速度cosjsink1212则(cos)(rsin0)2rcosrr1A[(sin)(rcos)]i0rr18.试求出牵连速度场r的散度和旋度。解：因rrcosjkrsinkkrcosi由球坐标散度表达式，得1(r)(rcos)0rcos由球坐标旋度表达式，得212(r)(rcos)j[(rcos)]k2rcosj2sinkrrcos19.试求出绝对速度场的散度和旋度解：因VVriujvwkrcosjkrsinkk(urcos)ijvwka由球坐标散度表达式，得-14- 动力气象学复习思考题与习题20101112V(urcos)(cos)v(wr)a2rcosrcosrr1u112(cos)v(wr)V2rcosrcosrr由球坐标旋度表达式，得1w121wV[(vr)]i[(urrcos)]jarrrrcos1v2[(ucosrcos)]krcos上式中121(urrcos)j(ur)j2cosjrrrr121(ucosrcos)k(ucos)k2sinkrcosrcos于是1w11w1vV[(vr)]i[(ur)]j[(ucos)]karrrrcosrcos2cosj2sinkV2上式表明：绝对速度的旋度等于相对速度旋度与二倍的地转角速度的向量和。20.证明相对加速度可写成dVVV2333(V)V3333dtt2解：已知在球坐标中，相对加速度222dVduuvtanuwdvutanvwdwuv()i()j()k（1）dtdtrrdtrrdtrr其中duvwdttrcosrr（1）式中i分量可作如下变换uuuvuuuvtanuwwtrcosrrrr2u1uwv()(ur)(ucos)trcos2rrrcos-15- 动力气象学复习思考题与习题2010222u1uvww1wvv()[(ur)][(ucos)]（2）trcos2rrrcosrcost（1）式中j和k分量，类似于上面的变换，可写成2vuvvvvutanvwwtrcosrrrr(3)222v1uvwww1uv()[(vr)][(ucos)]tr2rrrrcos22wuwvwwuvwtrcosrrrr(3)222wuvwvw1u1w()[(vr)][(ur)]t2rrrrcos将（2）—（4）代入（1）式，其中uvwVijk（5）tttt1u2v2w21u2v2w2u2v2w2V2()i()j()k()（6）rcos2r222而其余各项，根据球坐标的旋度公式和向量积的分量表达式，即1Ar11Ar1AA[(Ar)]i[(Ar)]j[(Acos)]krrrrcosrcosijk和ABAAArBBBrr（A、B为任意向量，A、A、A和B、B、B为对应i、j、k的分量），可知rrrw1wvv[(ur)][(ucos)]irrrcosrcostww1uv（7）[(vr)][(ucos)]jrrrrcosvw1u1w[(vr)][(ur)]k(V)VrrrrcosdVVV2故得到333（8）(V)V3333dtt221.对于均质流体（=常数）证明有以下能量方程-16- 动力气象学复习思考题与习题2010Kp(1)V(gzK)033tKp(2)(gzKV)033tdV1解：由运动方程3p2Vg33dtdK1两边同乘以V3，得到Vpgw33dt个别项展开得K1VKVpgw333t利用均质流体（=常数），得到V033KppVKKVV()Vg(zV)gzV0t33333333333000Kp即V(gzK)033tKpp再用3V30代入，V33(gzK)(gzK)3V30t0Kp得到(gzKV)033t22.假设运动是水平的，对于均质流体，证明水平运动方程可以改写为uP(f)vtxvP(f)uty其中vuxy2pVP2解：因运动是水平的，其运动的方程为uuu1puvfvtxyxvvv1puvfutxyy对于均质流体为常数，则2uupuuvuvpufvv()ufvv()v()()tyxxtxyxxx2vvpvvvuupv2fuu()vfuu()u()()txyytxyyyy2-17- 动力气象学复习思考题与习题2010vuxy令2pVP2uP(f)v得到txvP(f)uty23.不记地球球面曲率的影响，建立一以局地切平面为极平面的柱坐标系(r,,z)，证明局地直角坐标系中水平速度分量u、v，与柱坐标系中切线速度Vrd/dt及径向速度Vdr/dt之间的关系为ruVcosVsinrvVsinVcosr解：由如图1.6所示的柱坐标系中，把分解到X,Y可得到：xrcosyrsin图1.6dxddrd(cos)du(rcos)cosrVcosrsinVcosVsinrrdtdtdtdtdtdyddrd(sin)dv(rsin)sinrVsinrcosVcosVcosrrdtdtdtdtdtuVrcosVsin可得：vVsinVcosr24.在柱坐标系中给出（1）全导数df/dt的展开式；（2）水平散度的表达式。解：（1）如图1.6所示，在柱坐标系中，空间中点P可用坐标r,,z表示，令i,j,k分别为该点沿径向，切线，铅直方向上的三个单位矢量，则有VViVjWk3r-18- 动力气象学复习思考题与习题2010式中V,V,W分别为速度矢量V在i,j,k方向上的分量r3drVrdtdVrdtdrWdt任意一场变量ff(r,,z,t)的全导数在柱坐标中的展开式为dfffdrfdfdzffVffVWrdttrdtdtzdtttrz（2）水平散度25.试证明在柱坐标系中大气运动方程和连续方程分别为2dVV1prfVdtrrdVVV1prfVrdtrrdW1pgdtzdV1VWVrr()0dtrrzrdrddz其中Vr,Vr,Wdtdtdt分别为径向速度、切线速度和铅直速度，且已设极平面只绕铅直轴以角速度sinf2/旋转。解：（1）柱坐标的运动方程将地球表面上某点（维度为，z=0）取作柱坐标原点，令OX为平面极坐标的极轴，方向指向东。于是空间一点P的位置，从图1.4中可知，为P点XOY平面上投影的极坐标(r,)以及P点的竖直坐标z确定。P点的速度V可写作VViVjWkr（1）其中-19- 动力气象学复习思考题与习题2010drVrdtdVr（2）dtdzWdtdV1将运动方程p2xVg（3）dt的各项分解成柱坐标的分量形式。有（1）式，相对加速度dVdVrdVdWidjddkijkVVWrdtdtdtdtdtdtdt其中diiidrididzdttrdtdtzdtdjjjdrjdjdzdttrdtdtzdtdkkkdrkdkdzdttrdtdtzdt因iiilimlimjlimjj000jjjlimlimilimii000iddVjjdtdtrjddViidtdtr且ijk0tttijk0rrrijk0zzzk0-20- 动力气象学复习思考题与习题2010故2dVdVrVdVVrVdW()i()jk（4）dtdtrdtrdt科氏力的分量形式求法如下：将在维度处先分解为与地面垂直的角速度sin和水平角速度cos。因垂直的角速度与柱坐标的k方向一致，故无需再进行分解，但水平角速度的方向因为指向北，故还需要在i,j方向上作进一步的分解。水平角速度在i,j方向上的分量可有图1.7求出。于是最后得到图1.7cossinicoscosjsink而科氏力ijk2xV2cossin2coscos2sinVVWrijk~~~~~~fsinfcosf(fWcosfV)i(fWsinfV)j(VfcosVfsin)krrVVWr上式为（5）式气压梯度力在柱坐标中为11p1p1ppijk（6）rrz将)4()6(式代入（3）式，并注意g的方向与k的方向一致，则得不计地球表面曲率影响的柱坐标运动方程如下：2dVrV1pfVdtrrdVVrV1pfVrdtrrdW1pgdtz（注：经尺度分析，已把方程中的小量略去）其中dVVWrdttrrz（2）柱坐标的连续方程-21- 动力气象学复习思考题与习题2010在柱坐标系中取一体积元ABCDEFGH（图1.8），在单位时间内通过ABCD、ABFE和ADHF面流入体积元的空气质量分别为VrddzrVdzdrWrddr而通过EFGH、DCGH和BCGF面流出体积元的空气质量分别为Vrddz(Vrddz)dr图1.8rrrVdzdr(Vdzdr)dWrddr(Wrddr)dzz注意以上各式已略去了高阶小量。于是单位时间在体积元内净失空气质量(Vrr)(V)(W)drddzdrddzrdrddzrz将上式除以体积元的体积rdrddz，根据质量守恒定律，得到柱坐标系的连续方程如下11(Vr)(V)(W)0rtrrrz展开后也可写成dVr1VWVr()0dtrrzr25.在分析力学中，某一时刻空气微团的空间位置可用广义坐标(q,q,q)来表示，在这种情123形下，微团的动能K是q,q,q,q,q,q,t的函数（“”表示d/dt）,如不考虑外力作用，123123微团的运动方程可用拉格朗日方程表示，即dKK0（i=1，2，3）dtqqii取球坐标系q,q,qz123试由拉格朗日方程直接导出球坐标运动方程。提示：对于球坐标系，都能为222K[{r()cos}(r)r2/]-22- 动力气象学复习思考题与习题2010第二章尺度分析与基本方程组的简化复习思考题1.试阐述对大气运动方程组进行简化的必要性与可能性？答：大气中存在各种不同尺度的运动，虽然各种不同尺度运动满足一个基本方程组，但不同尺度的运动有不同的特点，决定运动基本性质的主要因子也不一样。因此，当我们研究某一特定尺度运动时，只有抓住决定该尺度运动性质的主要因子，忽略次要因子，才能把握运动的基本性质。从数学观点来看，就是要适当地简化大气运动基本方程组，保留各方程中的主要项，略去次要项，使得简化后的方程组只反映决定某类尺度运动过程基本性质的那些主要因子之间的定量关系和相互作用，排除其它次要因子的影响。如果简化得当，不但便于数学处理。而且由简化后的方程组所得的结论简单，物理意义也清楚。由此可见，简化基本方程组是完全必要的、也是可能的。2.什么是运动的尺度？什么是尺度分析法？对大气运动方程组系统进行尺度分析的目的是什么？答：各物理场变量“具有代表意义的量值”称之为物理量场的特征值，即尺度。尺度分析法是依据表征某类运动系统的运动状态和热力状态的各物理量的特征值，估计大气运动方程中各项量级大小的一种方法。根据尺度分析的结果，结合物理上的考虑，略去方程中量级较小的项，便可得到简化方程，并可分析运动系统的某些基本性质。3.那些尺度可以认为是基本尺度？什么是惯性运动的时间尺度？什么是气压变动（扰动）的地转尺度？什么是平流时间尺度？答：在尺度分析中，一般认为L,D,,U是基本尺度。1惯性运动的特征时间尺度f，气压变动的地转尺度PfUL，平流时间尺度e00L。U4.为什么要引进热力学变量的变动（扰动）尺度？答：大气的运动状态和热力状态可认为是围绕着一个静止的大气基本状态演变着，我们可以将热力学变量区分为两部分：一是表征基本状态的基本热力学变量，它们仅是z的函数，以p(z),(z),T(z),(z)表示；另一部分时相对于基本热力学变量的偏差，称为扰动热力学变量，简称为扰动量，以p(x,y,z,t),(x,y,z,t),T(x,y,z,t),(x,y,z,t)表示。5.作尺度分析，为什么不从原始方程出发，而应用以静止大气为背景的方程组？答：静止、定常的大气基本状态可视为大气与外界进行热交换形成的，很少受大气内部扰动的影响，所以表征基本状态的基本热力学变量尺度和标高可作为环境因子，是已知的。可得出其它待确定的尺度参数，从而分析不同类型的基本性质，从而找到对基本方程组取某些近似条件。6.为什么根据运动的水平尺度对大气运动进行分类？答：大气运动的特征与水平尺度有密切关系，依据水平对运动进行分类是由科学基础的。7.根据尺度分析的结果，说明大尺度运动有哪些特征？-23- 动力气象学复习思考题与习题2010答：大尺度运动具有准地转、准静力平衡、准水平、准水平无辐散、准定常。8.如何将基本方程组进行无量纲化？9.试讨论基别尔数，罗斯贝数Ro，理查孙数Ri意义？uUt1答：基别尔~，代表局地惯性力与科氏力的尺度之比。fvfUf001e基别尔数也可表示为，又可理解为惯性运动的时间尺度与所研究运动的间尺f0度之比，的大小可以反映运动变化过程的快慢程度，1，运动过程是“慢过程”；1，运动过程是“快过程”。2U罗斯贝数RoVu~LU，代表水平惯性力与水平科氏力的尺度之比。fvfUfL00罗斯贝数的大小主要决定于运动水平尺度，大尺度中Ro1，水平惯性力相对于水平科氏力可略去，运动具有准地转特性；对于小尺度Ro1，科氏力可以忽略不计。lng222RizN~ND，代表反抗层结做功的湍能耗散率与平均运动的湍能供给V2V2U2()()zz率。临界Ri为Ri，当RiRi，耗散>供给，抑制湍流；当RiRi，耗散<供给，湍流ccc发展。10.地转近似的充分条件什么？试从物理上对这些条件说明。答：地转近似的充分条件是：,1Ro,1Ri1，这表明准地转平衡运动应是缓慢变化（1）的大尺度（Ro1），同时大气层结应是高度稳定的（Ri1）。11.什么是中纬度平面近似？取平面近似的条件是什么？取平面近似有什么好处？答：科氏参数f是纬度y的非线性函数，近似地将f表示成y的线性函数，ffy，0这种近似称为—平面近似。L在中纬度地区，若运动的径向水平尺度远小于地球半径时（1）。a采用—平面近似后，虽然由于球面效应引起的曲率项被忽略了，但球面效应引起的f随纬度的变化对大尺度运动的作用却部分保留了下来。12.建立p坐标系的物理基础是什么？若取某一物理量s为铅直坐标，从数学的角度上来看，对s有什么要求？答：建立p坐标系的物理基础是静力平衡。若取某一物理量s为铅直坐标，需满足以下条件：-24- 动力气象学复习思考题与习题2010①s(x,y,zt),是连续的，且具有连续的偏导数；s②当x,y,t固定时，s(x,y,z,t)是z的单调函数，即0。z13.说明A/x与A/x的区别？zp答：A/x：表示z保持不变，A对x的偏微商，它代表等高面上A沿x方向的变化率；zA/x：表示p保持不变，A对x的偏微商，它代表等压面上A沿x方向的变化率。p14.什么是铅直p速度？为什么0常表示有下沉运动，0常表示有上升运动？对于中纬度大尺度运动，的量级有多大？dp答：，为p坐标系的铅直速度。dtdppppp由于()u()v()w，在大尺度运动中，作为第一近似zzzdttxyzgw，这时的符号与w相反，空气作上升运动，<0；作为下沉运动，>0。中纬度大尺度运动，约为100hPa/d。15.是从物理上说明，对于绝热运动，若0，则温度守恒dTdt/0。16.将z坐标系和p坐标系的大气基本方程组及边界条件作一比较，讨论p坐标系的优缺点。答：p坐标系的缺点：采用p坐标系很难考虑地形对大气运动的影响。p坐标系的优点：①p坐标系中的大气运动方程组减少了一场变量，密度的影响隐含在等压位势变化之中，气压梯度力项成为线性项，形式简单。②连续方程具有较简单的形式，成了一个诊断方程，大气运动方程组只有三个预报方程，两个诊断方程构成。③日常气象业务工作采用的等压面分析方法，便于利用p坐标系方程组进行诊断计算和分析。④等压面相对水平面的坡度很小，可以认为是准水平的，因此，虽然在p坐标系中分析的是等压面上要素分布的特征，不易给人有直观理解，但由于等压面是准水平的，它近似反映了等压面平均高度上的要素水平分布特征。习题1.估计在大尺度运动系统中fv和fw在哪个纬度带里具有相同的量级？ofvUsin答：fv和fw具有相同的量级时，5.0~5，则5.05；owfWcos243在大尺度中，U=10m/s,W=10m/s,故510tan510，于是可得：.0029.029-25- 动力气象学复习思考题与习题20102.估计在大尺度运动系统中等压面和等面坡度的量级。答：等压面坡度的量级，如令y方向上无气压变化，则在等压面上ppdpdxdy0xyzpp于是等压面坡度()/pxxz325264在大尺度系统中，p10N/m，p10N/m，L10m,D10mhzph故量级为：zppLDhp4o()o(/)o()10pxxzzpLzpD12同理，在大尺度中，T10度，T10度hzThzTTLDhT3o()o(/)o()10TxxzzTLzTD3.估对于大、中、小尺度运动系统，其水平尺度L，铅直（厚度）尺度D，水平速度尺度U，时间尺度，如表2.1所示基本尺度Lm()Dm()Ums(/)()s运动大尺度641510101010中尺度541410101010小尺度434123101010101010对流层厚度（又称大气标高）H，定义为均质大气高度RT4H10mg由表2.1可看出：（1）大尺度运动的LU/，中、小尺度运动的LU/，于是又LU/（大尺度运动的LU/）；（2）大、中尺度运动的DH，小尺度运动的DH，于是DH（大、中尺度运动的DH），试对水平运动方程进行尺度分析，证明在中纬度41（f10s）有0-26- 动力气象学复习思考题与习题2010fU0大尺度运动gHlnplnpfUU20大尺度运动xygHgHLU2小尺度运动gHL解：水平运动方程为du1pfvdtxdv1pfudty又1p1(pp)1p1p1()()xxxx1()uu1pVuwfvtzxvv1pVvwfutzy2U2UWU2pUU《f0ULLDLL2pU比较左右量级的大小，可得尺度方程：fU0LLf0ULRo1U2引入罗斯贝数Ro，于是有pf0ULURo~1fL02Ro1U注意到P~gH，代入上式fU0gHRo12可得lnp~lnp~1P~f0UURo~1xyPLgHgHLRo1U2gHL4.根据上题的结果，证明-27- 动力气象学复习思考题与习题2010fU0大尺度运动gHlnlnlnlnfUU20大尺度运动xyxygHgHLU2小尺度运动gHL解：由状态方程PRT两边取对数lnPlnlnRlnTpT把物理量写成平均值加扰动量ln[p1()]ln[1()]lnRln[T1()]pT又平均值满足原方程lnPlnlnRlnT，对于充分小的值，有ln(1)pT于是pTp00cp/R1pcp由位温关系T()用类似上面的方法可得,4.1。ppcvpT由于状态方程和位温方程均不能化简，故以上两式也不能化简，从而,,,有相同pT的量级，即有fU0gHRo1lnlnlnlnlnplnp1PfUU2~~~~~~~0Ro~1xyxyxyPLgHgHLRo1U2gHL5.试对热力学能量方程lnlnlnuvw0txy进行尺度分析，考虑第（4）题的结果，证明2fU02大尺度运动NH22fUU0W中尺度运动22NHNHL2U2中尺度运动NHL-28- 动力气象学复习思考题与习题20102ln其中Nggz242为层节稳定度参数（即布伦特—维塞拉频率的平方）。若取N10ms/，计算出大、中、小尺度运动系统中W的具体量级。lnlnln解：uvw0进行尺度分析txy21UUUNWLLLgUN2gU故有尺度方程W，即有W2LgNL2fU02NHRo123fUU把上题的W0Ro~122NHNLHRo13U2NLH221则大、中、小尺度运动的铅直速度量级分别为W10m/s，W10m/s，W10m/s。6.根据第（3）题中所列的基本尺度，算出大、中、小尺度运动的罗斯贝数和基别尔数。1101大尺度10大尺度解：00Ro10中尺度；10中尺度1110小尺度10小尺度7.依据流体力学中的赫姆霍茨（Helmhotz）速度分解定理，大气的水平速度分解为VVVV无水平辐散辐和，称旋转风；V无旋，称辐散风，而Vk，V为流函数，为速度势，利用vuxyuvxy试分析中纬度大尺度运动的V和V的尺度U和U，证明1U10U-29- 动力气象学复习思考题与习题2010vuU51解：在中纬度大尺度运动中，~~10sxyLuvU61~~10sxyL11运动具有准涡旋的性质，10，即U10U8.g、f、H中视为表征大气运动的环境参数，由此可确定三个特征尺度，即特征时间尺度011f(2sin)（即惯性时间尺度），特征速度尺度cgH（与声速相当），特征水0001平尺度Lcf（称罗斯贝变形半径），这三个尺度与运动无关，完全有环境参数决定，000试计算出30456090、、、N上的L。01解：由cgH，Lcf000016则在30N时，Lcf=3.410m；00016在45N时，Lcf=.30310m；00016在60N时，Lcf=.24810m；00016在90N时，Lcf=.21510m0009.对于中纬度大尺度运动，证明UD1WLRiRo2fU解：由题5可知，在大尺度中W02NH22UNDUD1而Ro,Ri，代入可得W2fLULRiRo023210.估计典型的龙卷运动的运动方程中各项的数量级，取L10m,D10m,U10m/sW10m/s,10s,p10hpa，并说明此种情况下，静力平衡能否成立？解：如果略去摩擦力，z方向的运动方程变为wwww1puvwg2ucostxyzz41为方便起见，假设典型龙卷的中心位于纬度45处，f2ucos10s0-30- 动力气象学复习思考题与习题2010各项的量级：wW`02~~10m/stwwUW12uv~~10m/sxyL2wW12w~~10m/szD1pp012~~10m/szD012g~10m/s~22uf~fU~10m/s01取数量级为10m/s的各项，得到垂直运动方程;ww1p(uv)g0xyz垂直运动方程中，典型的龙卷的平流加速度与重力、气压梯度力量级相同，因此，静力平衡不成立。11.证明P坐标系中水平运动方程可改写为以下通量形式2uuuvufvtxyppxp2vuvvvfutxypyppuv解：由p坐标中连续方程：0xypdu()()fvpp运动方程：dtxdv()()fuppdtyuuuu把x方向的方程展开的：(uv)()fvpptxypxuuuuuv引入连续方程(uv)u()()fvppptxypxypx2uuuvu得()fv()pptxypx2vuvvv同理()fu()pptxypy12.证明P坐标水平运动方程可改写为以下形式：-31- 动力气象学复习思考题与习题2010uup(fv)upptpxppvvp(fu)vpptppypvu()()(p坐标系中铅直涡度)pppxyuv其中()()（p坐标系中水平散度）pppxy22uvP=+（位能与动能）2du()()fvpp解：运动方程：dtxdv()()fuppdtyuuuu把x方向的方程展开的：()(uv)()fvppptxypxuuuuuv加入连续方程：()(uv)u()()fvpppptxypxypx2uuvuuu()u()()v()fvppptxypx2yx2uuuuvv()u()vv()fvvppptpx2yxxx2uuuuvv()u()vv()fvvppptpx2yxxx22uuuv()ufvv()()pppptpxx22uuP()v(f)u()pppptpxvvP同理可得：()v(f)v()pppptpy13.取x轴为低压（或高压）中心轴线的水平投影方向，以表示低压（或高压）中心轴线和铅直方向之间的交角，如图2.1所示，证明21zztan()/()p2pTxx解：以低压系统为例，有图可知，低压系统中心为等压面高度的极小值（若为高压则为极大值）。故在各个不同的等压面上的图2.1-32- 动力气象学复习思考题与习题2010中心点都应满足z()0px因此沿气压系统的中心轴线上zzz()()()x()p0（1）ppppxxxpxzz1由静力学方程，上式中()()()()pp2ppxxpgxpgzT又有状态方程，()()ppxTx2z1T故（1）成为：()x()z02ppxTx于是气压系统中心轴线的倾角，满足2x1Tztan()/()p2pzTxx2zT由上式看出：对热力不对称的低压系统中心，因(2)p>0，故与()p的正负号相反（xx2z以顺转为正），说明系统的中心轴线随高度向冷区倾斜；而对于高压系统，因()<0，故2px故与(T)的正负号相同，系统的中心轴线随高度向暖区倾斜。px14.证明热力对称系统（气压系统中心与冷或暖中心重合）中等压面坡度随高度变化满足z1T()()ppxTx解：由z坐标与p坐标的坐标变量之间的转换关系和静力学方程，有zzpz1()()g()()()ppppzxpxzxpxT又有状态方程()()ppxTxz1T故()()ppxTx15.若p0时0，试证明ppVgwVdppppto其中w表示与等压面p对应高度上的铅直速度，V是等压面上的散度ppuvV()()pppxy这就是p坐标系中的地面气压倾向方程。uv解：由p坐标系连续方程：0xyp-33- 动力气象学复习思考题与习题201000p所以dpVdp，则p0pVdpppdppppppp由()u()v()wu()v()wpzzzppdttxyztxyzpVgwpptpp所以VdpVgwppp0tpp得VgwVdppp0pt16.以位温作为铅直坐标，建立xy、、、t坐标系（坐标系）的条件是什么？证明坐标系中水平气压梯度力可转换为1pcTpxxz1pcTpyzy从而水平运动方程可转换为uuuuM()u()v()()fvtxyxvvvvM()u()v()()futxyyd其中McTp称为蒙哥马利（Montgomery）流函数，。dt解：位温在稳定层结条件下，有0，即是z的单调递增函数，故也可以作为铅直z坐标变量。由坐标系F(x,y,z,t)F[x,y,(x,y,z,t),t]FFFz()()()()()xzxxzxzzx当Fz时，FFFz()()()()()zzzyyyyzyppp令Fp时，()()()zzxxxp00cp/R将位温T()两边取对数，然后求坐标系的x的偏导数，得p1TRppT0()()，故()cpp()TxcpxxxpFFzFzpz又()()()，所以()g()zzxzxzxxx-34- 动力气象学复习思考题与习题2010pTzM1pM所以()zcp()g()()，()z()xxxxxxpTzM1pM同理()c()g()()，()()zpzxxxxyy17.证明坐标系中的静力平衡方程的形式为McTpp解：由静力学方程gzpppz又ggzzpplnp由状态方程pRT，则RT（1）RTp00cp/R将位温T()两边取对数，然后对求微商plnpTcpT（2）RTcpTcpT由①、②得cpMcTp18.证明坐标系中的连续方程的形式为ppppuv0txyp1解：由静力学方程g代入连续方程中并消去，得zgpppppuvw()()u()()v()()w()[()()]0zzzzztzxzyzzzzxyz交换微商次序，并利用函数乘积的微商规则，上式成为pppuppvppuv()[u()]()[v()]()(w)[()()]0zzzzzzzztzxxzzyyzzzzxy或(dp)(p)u(p)vp[(u)(v)]0zzzzzzdtxzyzzxydpdpdp又因()z()，并将()展开，同时利用坐标变换公式，坐标系中的连续方程dtdtdtdppuvdpp为(h)[()()](h)V0dtxydtd注：垂直速度在干绝热过程中为零。dt19.若运动是非绝热的，证明坐标系中的铅直速度与z坐标中铅直速度w的关系为T1wd-35- 动力气象学复习思考题与习题2010dzdzzzzz解：垂直运算速度w()()u()v()dtdttxy略去等号右边的局地变化项和平流变化项，则zw/zp00cp/R将位温T()两边取对数，然后对z求微商，则pTRpTg()dzTzpczTzTcTppT代入上式得：w1d20.证明等位温面高度梯度和等压面高度梯度之间有如下关系：1zzTppd1解：已知水平气压梯度力hpgpz，因McTp故(zz)gcT0（1）pp由z坐标系与p坐标系与坐标系之间的转换关系，有FFzFFFz()()g()()()zppxxxpxzxFFzFFFz()()g()()()zppyyypyzyFF则可得到如下公式FgzFz（2）ppppzTTTz1令FT时，且因，和zpzpg则（2）变为TTzz（3）pp将上式代入（1）式，并加以整理，证得11zzTTpppgdcp21.导出x方向等压面坡度与等熵面（等面）坡度之间的关系1VVVTppzdFF解：由上题中FgzFz，令FVppppzVVVgVVzpppzVVz1VV由，得VV(zz)pppzpgzz-36- 动力气象学复习思考题与习题2010加之上题结论zz1Tppd所以1VVVTppzd22.简化后的水平运动方程du1pfvdtxdv1pfudty若将(oxy)坐标系旋转一个角度，如图2.2所示，试证明在新坐标系中方程组形式不变。图2.2解：选取新的坐标系o,x,y，坐标原点o与原坐标系o,x,y原点重合，x轴与x夹角为。则p点原坐标(x,y)与新坐标(x,y)有如下关系：xxcosysin（1）yxsinycosdxdxdyucossinucosvsin上式对t求导，得dtdtdt（2）dydxdyvsincosusinvcosdtdtdtduduvddvduvd再对t求导，得cossin,sincos（3）dtdtdtdtdtdtppxpy又xxxyx（4）ppxpyyxyyyxy1cossin对（1）作运算，得xxxxy0sincosxx将上式第一式乘以cos，第二式乘以sin，然后相加，得到xcosx将上式第二式乘以cos，第一式乘以sin，然后相加，得到ycosxxy对（1）式作运算，然后类似的方法得到：cos，cosyyy-37- 动力气象学复习思考题与习题2010pppcossin于是（4）式变为xxy（5）pppsincosyxyFFcosFsinxxy又（6）FFsinFcosyxy将（2）、（3）、（5）、（6）式代入水平运动方程：duvdppcossin(cossin)f(usinvcos)FcosFsinxydtdtxyduvdppsincos(sincos)f(ucosvsin)FsinFcosxydtdtxy上式中第一式乘以cos，第二式乘以sin，然后相加，再将第二式乘以cos，第一式乘以sin相减，最后得到dupvfFxdtxdvpufFydty结果表明，新坐标系和原坐标系的水平运动方程在形式上完全相同。23.有上题简化方程组出发，假设x方向水平气压梯度力为常值，y方向水平气压梯度力为零，f取为常值，求空气微团的轨迹。x方向水平气压梯度力为零，证明轨迹为一个圆。duFfv)1(解：由题意得方程组dtdvfu)2(dt22由（1）式对t求导得，du2du20，解得fufu22dtdtuCcosftCcosft12F代入（1）式得：vCsinftCcosft12fC1C2xsinftcosftC3ff对u、v积分得：CCFy1cosft2sinfttC4fff假定t=0时，uu、vv、xx、yy0000FvFu定出常数Cu,Cv,Cx0,Cy0102030240ffff-38- 动力气象学复习思考题与习题2010Fvu0vF0f0xsinftcosftx02所以ffffFv0u0fFu0ycosftsinftty0ffffu0v0v0xsinftcosftx0当F0时，得fff，消去sinft,cosft后uvuy0cosft0sinfty00fff222(xxv0)2(yyu0)2u0v0Vh00022ffff由此可见，空气微团的轨迹为一圆，圆心为(v0,u0)Vh0。xy处，半径为00fff24.证明p坐标系中静力稳定度参数lnsp可以写成21R(1)s2pppcp1Rsp2lnpclnpp22Ns2gp00cp/R解：①由位温T()取对数，并对p偏微商p1ln1TR1（1）ppTpcpp1p由静力学方程T，状态方程pRTpRp221T1p可知（2）22TpRTpRTppppR1R（3）cpcTpcppppp2ln1R故()1（4）s2ppppcplnln②将静力稳定度参数写作（5）spplnpp00cp/Rln1TR有位温T()，则（5）式中（6）plnpTlnpcp-39- 动力气象学复习思考题与习题2010p1又有静力学方程，温度T（7）RpRlnp2ln1R将（7）代入（6）式中，2lnpRT(lnp)cp再将其代入（5）式，得2222R1RT1Rs2222222pRT(lnp)pcp(lnp)pcp(lnp)pclnpppp1R()2plnpcppln11z③由sppzpz又pg221g2所以()Ns22zggzg*25.在静力平衡条件下仍存在铅直速度，若将静力平衡条件下铅直速度记为w，假设运动是R绝热的，试证明，对于w有以下诊断方程RwRcv1cp[VppVg(Vdz)]222zcpc0pvp解：在z坐标中，有静力学平衡关系pgdz，对上式时间微商得到gdzztzt由连续方程V0，及limw0tz得气压倾向方程gwgVdzRtzdlnpdln1dp1d由绝热方程0，即0dtdtpdtdtpppw所以Vpw[VR]02R2tzz将气压倾向方程代入pwRgwgVdzVpwp[V]0R2R20zzwRgVdzVpp[V]0220zw1RV[VpgVdz]222zp0所以cv1cp[VppVg(V)dz]222cpc0pv-40- 动力气象学复习思考题与习题2010第三章自由大气中的平衡流场复习思考题1.什么是自然坐标系？它有何优点？采用自然坐标系中运动方程研究大气动力学问题有何局限性？答：自然坐标系的坐标原点，规定选在运动的空气微团的位置上，三个坐标s,n,z的方向分别用单位矢量,n,k表示，在空间任一点上，都与该点水平气流方向一致，n是的法向量，并指向水平气流的左侧，k的方向铅直向上。dV1pdts自然坐标系中水平运动方程组为2V1pfvRnT利用上式定性分析水平流场性质将是方便的，但因和n随运动变化，因而对上式进行时间积分是困难的。2.什么是平衡流场？各种不同形式的平衡流场有哪些共同特征？答：气流方向无外力分量的定常水平流场称为平衡流场。平衡流场中等压线即为流线，微团的运动是等速率运动。3.试说明地转风与正常梯度风这两个概念的异同点？答：地转风为自由大气中，水平气压梯度力与Coriolis力二者相平衡下的空气水平运动。而梯度风为自由大气中，水平气压梯度力、Coriolis力、惯性离心力三者相平衡的空气水平运动。地转风是水平等速直线运动，梯度风是水平等速曲线运动。根据梯度风的定义，地转风则是梯度风的一个特殊情形，即当R时的梯度风。T4.什么是正压大气？什么是斜压大气？在等压面图上，若等温线与等高线完全重合在一起，大气是正压大气还是斜压大气？答：密度的空间分布只依赖于气压，即(p)，这种大气状态称为正压大气。密度的空间分布不仅依赖于气压而且依赖于密度，，即(p,T)，这种大气状态称为斜压大气。正压大气。5.在静力平衡条件下，地转风随高度变化的充分与必要条件是什么？什么是热成风？答：斜压大气。热成风定义为铅直方向上两等压面上地转风的矢量差。6.试讨论地转风与热成风的实际意义？答：地转风关系揭示了大尺度运动中风场与水平气压场之间的基本关系，而热成风关系具体揭示了静力平衡大尺度运动中风场、气压场、温度场的关系。7.为什么说地转风、梯度风、热成风概念是中纬度天气分析的基础？-41- 动力气象学复习思考题与习题2010答：当我们取地转风、梯度风、热成风概念时，就可以利用它们来核校实测风场、气压场、温度场的分析是否协调一致。此外，根据单站探空给出的实测风铅直分布，可以估计出各层中温度平流的性质，地转风和热成风概念已成为天气分析的基础，无论在理论研究和实际天气分析中都有着广泛的应用。8.有经验的预报员，在无气象资料时，将地面风向与高空云层移动方向进行比较就能决定气层中是暖平流还是冷平流，你能对此作出解释吗？答：地转风随高度逆时针转动，于此相伴随的是冷平流；地转风随高度逆时针转动，于此相伴随的是暖平流。9.试从物理上说明，在梯度风平衡条件下，高压中的水平气压梯度的大小要受到限制，相应的梯度风也要受到限制，且有V2VGg2V1p答：由梯度风平衡，其动力关系为fV0RnT221fRfRRpVT(TT)2G24n2222则fRTRTp0，所以pfRT，pfRTmax4nn4n4fR梯度分也受限制maxVTG210.什么叫地转偏差？试从物理上分析地砖偏差一定与加速度矢量相垂直，说明地砖偏差对大气运动演变的重要作用。答：实际风与地转风的矢量差定义为地转偏差。dVVfk（同时乘以k）dtdVkkf(Vk)kkVfdt1又VkgfdV所以kkVff(VV)Vfgdt1dVVk，即地转偏差与加速度垂直。fdt习题1.45N处，700hpa等压面上3000gpm和2960gpm两根等高线最短距离为190km，问地转风有多大？解：由地转平衡Vfk01得出Vkgf-42- 动力气象学复习思考题与习题2010114010即V20.42m/sg3fN2sin45190102.固定时刻等压面方程为pxyz(,,)=常值，由此可求等压面高度zzxy(，)，相应等压面在x方向坡度为tanz/x，y方向坡度为tanz/y，等压面最大坡度ipjpVmstanpz，设g20/，试求30N处等压面最大坡度。解：由地转平衡Vfk01得出Vkgf1gz1gz即u,vggfyfyfxfx2由最大坡度z2z2f22ftan()()(uv)Vpp2gggxygg4代入数据得.149103.当静力平衡条件满足时，证明地转风公式在坐标系可写成1VMkgf其中McT为蒙哥马利流函数。p解：坐标系中的水平运动方程为duM()()fvDxdtxdvM()()fuDydtydudv由地转风定义，()()，DxDy，则dtdt1Mu()gfy1Mu()gfx1其矢量形式为VMkgf4.当罗斯贝数Ro0.1时，取地转风近似的相对误差是多大？解：在梯度风平衡流场中，取地转近似22V1pVfV0，即fVfVgRnRTT-43- 动力气象学复习思考题与习题2010所以VgVVgURo~，而Ro1.0VfRfLgT则相对误差为10%5.考虑f随纬度的变化，试求地转风水平散度，若取v10/ms，试计算45N处的地转风g散度的大小。解：由VuivjgggugvgV[()()][uivj]()()pgppggppxyxy11又u,v，且f随y变化ggfyfx22111V()()()pgpp所以fxyfyxxyf1fvgfvg2cosvg61cot.15710s2xfyfy2sinaa6.证明正压大气中有TTpp：：：xzxzxzTTpp：：：yzyzyzTTpp：：：xyxyxy7.证明静止大气中气压梯度力场一定是有势场，静止大气一定是正压大气。解：对于静止大气，运动方程的矢量形式为p0上式作旋度运动，即作的运算，得到B(p)0它说明，静止大气必然是正压的，而且此时有(p)0静止大气的气压梯度力必然是位势力。8.证明在静力平衡条件下，水平气压梯度力随高度的变化率的表达式可写成1pNk2z其中N为力管矢量1N(p)p33233解：在垂直方向满足静力平衡，即pgz-44- 动力气象学复习思考题与习题2010p则有()0hzpp即有()0hhzzp或p(p)0hhhzzzppB()x又yzzyppB()yzxxz所以BiBj(p)0yxhz得(p)BiBjBkhyxz静力平衡条件下，水平气压梯度力随高度的变化完全取决于大气的斜压性。9.在静力平衡条件下，证明正压大气中水平气压梯度力不随高度变化。解：由上题(p)Bkhz对于正压大气B0中，得(p)0hz静力平衡的条件下，正压大气的水平气压梯度力不随高度变化。10.500700hpa等压面厚度为h,试证明VhVhg5g7式中V表示500hpa上地转风，V表示700hpa上地转风。g5g711.45N处，700hpa、500hpa两等压面都是向东倾斜的（如图3.1所示），A、B两点间隔为200km，两等压面间厚度在A处为2840gpm，B处为2840gpm，试决定E点上空700hpa和500hpa等压面上地转风方向及500700hpa间的热成风方向和大小。1解：由Vk知，地转风为南风。gf1由Vk()，热成风为北风，T10f11408.9且|V||(|)19m/sT105f2sin45210图3.112.500700hpa等压面之间的平均温度向东以3K/100km变率减低，如果700hpa上地转-45- 动力气象学复习思考题与习题201041风为东南风20m/s，求500hpa上地转风大小和方向（取f10s）。解：因平均温度的高温区在西，低温区在东，按照热成风规则可知热成风的方向指向南，即只有指向南的热成风v，东西方向的热成风u0，因TTRTp0v()lnTpfxp1ug2ug1由图3.2可知vg2vg1vT2875则v(310).04055349.m/s图3.2T410uuVcos4514.14m/sg2g1g1v14.14m/sg1所以v141.349.208.m/sg2V(u)2(v)2251.m/s，ug2g2g2g2arctan34vg213.求上题中500700hpa气层中平均温度地转风平流。解：由已知条件T/y0，设以地转风代替实际风，则500700hpa层中的平均温度平流TTT为ATug因(ATugvg)xxy式中u为该气层中平均地转风的x分量，而由题知在500700hpa中uu141.m/sggg5所以A(14.14)(310)5.1K/hT14.试证明等压面上地转温度平流可以表示为fpVgAVTVkgTgpgRpTT解：在等压面上Au()v()VTgTgpgpgpxy1Vg1又Vgk，所以kfpfpRT利用平衡方程ppVgRfpVgpTk可得到pTkpfpRp-46- 动力气象学复习思考题与习题2010fpVgfpVg所以AVTV[k](V)kgTgpggRpRp15.证明，大气作水平绝热运动时，若地转风关系成立，则有T1pAVTgTgptctpdT1dp解：由大气的绝热方程c0pdtdtT1p即c(VT)(Vp)0pggttT1p所以VT(Vp)0ggtctp地转关系成立，所以Vp0gT1p即VTgtctpT1p所以AVTgTgptctp16.证明地转风铅直切变可表示为Rc/VRppgkplnpfp00解：由VgRTk，即VgRTkpppfplnpf位温T(p00)cp/R，所以p00cp/Rpcp/R()TT()ppppppp00Rc/VRppg得kplnpfp0017.设uu2vvsin(xct)0L式中u、v、L、c均为常值，试求t=0时通过坐标原点的流线和t=0时位于坐标原点上空气0微团的轨迹，并比较两者之间的关系。Lv2uc解：轨迹为y01[cos()x]2(uc)LuLv2流线为y01[cos(xct)]2uL-47- 动力气象学复习思考题与习题2010轨迹、流线均呈波状，轨迹、流线的振幅比(A/A)、波长比(L/L)为TTALuTTALuc18.假设风场是定常的，45N处地转风的大小是梯度风的90%，假设梯度风为20m/s，试求等压线的曲率半径。9解：已知VgVG，即VgVG，故为反气旋。风场是定常的，故等压线即为迹象。1021pV有三力平衡fVG0GnRT1p把V代入，得gfn2VGfVfV0gGRTfVV1(gG)2sin45()271则k.515510m2RV400TG19.假设风场是定常的，离反气旋中心500km处（纬度为45N）可能出想的最大梯度风风速多大？与此相对应的地转风风速是多大（反气旋是园对称的）？21pV解：由三力平衡fVG0GnRT221fRfRRp得反气旋式梯度风风速为：VT(TT)2G24nfR能取的最大风速为右端第二项为零时的情景，则最大可能风速为VTG222此时fRTmsfRTRTpV258./，与此相应的0G24n2pfR所以T，相应的地转风风速是n421p1fRfRTTV12.89m/sgfnf4420.一圆形气旋系统保持形状不变，以15m/s的速度水平向东移动，切向均匀的地转风风速也为15m/s，试求离气旋中心500km正东、正南、正西、正北四点上空气微团的轨迹曲率半径41（以km表示），并求出四点的梯度风风速（取f10s）。-48- 动力气象学复习思考题与习题2010Ccos解：由流线与流型移动方向（正东）之间的夹角为，则得到RR1()sTV所以东南西北900-90180500km500km250kmRT21pV1p由梯度风平衡：fVG0，而fVGgnRnT2所以VG0fRT4VgfVgfVG，则VG[11]R2fRTT东南西北12.081512.0810.55VG21.1975年Hoskins提出了所谓地转动量近似，采用此近似后梯度风方程为VVgfVfVgRT试以此方程计算（20）题中四点上微团的水平速度V，并与梯度风作比较。VVfRV解：由近似后梯度风方程g0TgfVfV，则VgGRfRVTTg代入各点数据后，可得东南西北V11.541511.549.3812.081512.0810.55VG-0.540-0.54-1.17VVG22.假设一个气旋过境期间，在一个台站观测到的等压线曲率半径为800km，该台站风向以每小时10度的变率顺时针变动，风速为20m/s，问微团通过该台站时的轨迹曲率半径为多大？11解：由布拉通（Blaton）公式V()tRRTS155而10.012510，RT810mt18036001则R2722.kmS53.6710-49- 动力气象学复习思考题与习题201023.证明梯度风方程2V1pGfV0GRnT可改写为2VVGG(1)21(Vc为旋衡风)VcVg(V为惯性风)2i(2)VVV(V)Gicg2V1p解：（1）由梯度风方程为GfV0GRnT2221pVVVV将V代入，所以GfVfVGVVGG1gGgGgfnRfRfRVVTTTgg1pV2Rp2/12/1又旋衡风方程C0，得V(T)(fRV)CTgnRnT2VV所以GG12VVCC（2）由梯度风方程写作V2RTpfRVGTGn2V由惯性风fVi0VfRiiTRTRpfRpTTVVignfn2所以VVVVVV(VV)GiGigiGg24.一龙卷以常值角速度旋转，设离中心r处，地面气压为p，温度为T（设为常值），证00明龙卷中心的地面气压为22r0ppexp()02RT2V1p解：(气旋式)的龙卷风满足旋衡风方程（1）RnT由自然坐标单位向量的取向规定可知n的增加方向与曲率半径r的增加方向相反，r是以曲率中心为起点量度的曲率半径，故ppnrRRT-50- 动力气象学复习思考题与习题20102V1p于是（1）式可改写为（2）rr再用状态方程pRT代换，Vrc2RTp上式成为r（3）prr02r0RTpp0RT积分上式rdrdrdp00prpp22rp得0RTln02p22r0则ppexp()02RT25.设是实际风偏离地转风的角度，证明dVfVsingdt2VfVcosfVgRTdV1pdts解：由自然坐标系中2V1pfvRnT1p由于fVgn1p1psinfVsingns分解后1p1pcosfVcosgnndVfVsingdt所以，运动方程为图3.32VfVcosfVgRT26.实际风偏于地转风右侧30，如果地转风为20m/s，计算水平速度大小随时间的变率（设41f10s）。dVdV32解：有上题中fVsin，所以fVsin10m/sggdtdt-51- 动力气象学复习思考题与习题2010dV27.设0，但存在摩擦力，若摩擦力FkV（k为常值，且取线性摩擦），并设kf，dt试证明V将偏离地转风的左侧，且VV。g2dVdVV解：采用自然坐标法，由ndtdtRTdV1pkVfVsinkVgdts则水平运动方程为2V1pfvfVcosfVgRTndVfVgsinkV0由0，所以dtfVgcosfV0k所以tan0，则0，即偏向地转风左侧fVg11，所以VgV。Vcos28.如果地转风为8m/s，偏差风与地转风垂直，其大小为2m/s，试求45N处单位质量空气微团水平动能随时间的变化率。2dV解：由()fVVsingdt222右图知VVV217gV1arctanarctan图3.4V4g2得dV322()fVVsin.16510msgdt229.试用自然坐标系表示出梯度风情形下的地砖偏差。2V1p解：梯度风公式GfV0GRnT221pVV地转风关系fV，则fVfV0Vf0ggnRRTT2V所以VfRT30.试导出水平散度在自然坐标系中的表达式。解：DV(n)(V)(V)n(V)hhsnsn-52- 动力气象学复习思考题与习题2010VV(V)n(V)ssnnlimlimnkns但ss0ss0slimlimnnnn0nn0nnV所以DV（为风向角）sn31.当Ro1时，水平运动方程中平流加速度项（惯性项）可忽略，方程简化为u1pfvtxvfu1pty试证明此种情形下地砖偏差的大小将不随时间变化（设水平气压梯度力不随时间变化）。1pvg解：地转关系fx1pugfy由于气压梯度力不变，所以u,v都不变。gg令uuu,vvv，即uuu,vvvgggg1p(uu)f(vv)ggtx代入方程得1p(vv)f(uu)ggtyuvf0)1(所以tvfu0)2(t2uv由（1）式对t偏导，f0，把（2）式代入2tt2u2fu02tuCcosftCsinft12得vCsinftCcosft122222则VuvCC（定值）1232.上题中，若给定以下初始条件t0时，uuv;v00-53- 动力气象学复习思考题与习题2010（1）求ut()、vt()；（2）证明水平速度矢量围绕地转风矢量作惯性振荡，其周期为半个摆日。解：（1）由t0时，uuv;v00u(t)u0cosftv0sinft得v(t)usinftvcosft00（2）由于uuu,vvvggVV(ucosftvsinft)i(usinftvcosft)jg000033.在（31）题中，加入线性摩擦，即令FkV，水平运动方程形式变为u1pfvkutxv1pfukvty试求满足初始条件t0时，uuv;v；00的解，并证明，当t时，有2fukfvggu()22kf2fvkfuggv()22kf提示：将方程组变化为uukvfku0gtvvkufkv0tg再引进复速度，即令wuvi,wuivgggw即有(kif)wkw0gt34.定义/p为静力稳定度参数，设大气满足精力平衡条件，运动是绝热的，风场满足地转风关系，证明dVpdtp-54- 动力气象学复习思考题与习题201051若V10s，问3小时后的相对变化为多大？pdd解：因为运动是绝热的，则0，即0，则()0dtpdt展开(uv)0ptxypuv()u()v()()0tppxxppyypppppduv()dtpxpyppp11而风场满足地转风关系，uu,vvggfyfx22u111所以()pfpyfypfyp1而满足静力平衡pu11RT所以()()ppfyfpyvRT同理()ppfpxp00R/cp而T()p所以p00R/cpTp00R/cpT()()()(,)()()ppppxpxypyuvp00R/cpTRTp00R/cpTRT()()()()()[()]0ppppxpyppxfpypyfpx则d()d()()dtpppdtppp所以d，又P坐标系中连续方程0VpdtppdVpdt若V105s1，3小时后的相对变化为.0108p-55- 动力气象学复习思考题与习题2010第四章环流定理、涡度方程和散度方程-复习思考题1.什么是环流？环流C0的意义何在？答：流场中某一有向闭合物质曲线上的速度切向分量沿该闭合物质曲线的线积分，定义为速度环流，或简称为环流。速度环流代表速度场的积分性质，环流C0时，它代表环线上所有空气微团沿环线旋转的总倾向。2.什么是绝对环流定理？什么是相对环流定理？这两个环流定理用以讨论大气运动有何意义？有何局限性？dC答：绝对环流定理：aadp，即绝对环流的加速度等于L回路所包围的力管。可以dtL用来解释海陆风和山谷风的形成。dCdA相对环流定理：dp2，即相对环流的加速度等于力管项和惯性项之和。dtLdt由于力管项和惯性项只决定于气压、密度、速度的瞬时分布，这意味着由大气的瞬时热力状态和运动状态即可确定物质环线上环流随时间的变化率，因此相对环流定理具有预报意义。但是，此定理是以积分形式给出，故在应用上受到限制，多用来定性的说明一些大气过程。3.什么是力管？试说明它的动力作用？答：斜压大气中等压面和等比容面试相交的，间隔一个单位的等压面和等比容面相交割成的管子，称作单位压容力管，简称力管。由于力管的存在，在环线上气压梯度力分布不均匀，这种不均匀就相当于有一力矩作用于空气团。于是，空气团就有了转动的趋势，产生了环流。促使密度较小的空气微团由高压流向低压，而密度较大的空气微团趋于由低压流向高压。4.由相对环流定理中惯性项（即面积改变项）引起环流加速的物理过程有哪些？答：环线所包围的面积的改变和平均纬度改变都可引起相对环流发生改变。环线所包围面积的改变与水平辐合辐散有关，纬度的改变与流体的南北向运动有关。5.说明涡度与环流的联系与区别？答：涡度代表速度场的微分性质，如果说环流是流体旋转特征的宏观量度，那么涡度则是流体旋转特征的微观量度。由斯托克斯公式Vrd(V)ndA，表明沿任意闭合环线上的环流，等于环线所包LA围面积上涡度法线分量的积分。6.以涡度方程和散度方程代替两个水平运动方程有什么好处？答：采用涡度方程，经尺度分析简化后时间导数项也是一个大项，与其它几个大项有相t同的量级，因此用涡度方程进行预报要比用原始方程有利得多。采用散度方程，经尺度方程简化后的平衡方程能很好的满足风场和位势高度场的关系，它比地转风关系要来的精确些。7.试讨论涡度方程各项的物理意义？p坐标系涡度方程中不含力管项，大气的斜压性对涡度变化的作用表现在哪些项之中？-56- 动力气象学复习思考题与习题2010d(f)uvwvwu1pp答：涡度方程(f)()()()2dtxyxzyzxyyx第一项：散度项，水平辐合辐散会引起绝对涡度变化。第二项：涡管扭曲项，当有水平涡度存在时，若铅直速度水平不均匀，就会引起涡度铅直分量变化。第三项：力管项，由大气的斜压性造成的，它等于水平面上单位元面积内的力管数。在p坐标系中，大气的斜压性对涡度变化的作用表现在散度项中。8.什么是平衡方程？有何意义？答：散度方程的一级简化称为平衡方程。它把风场和位势高度场联系在一起，就大尺度运动而言，风场和位势高度场之间能较好的满足这种平衡关系，它比地转风关系要精确些。9.什么是位势涡度（即位涡）？这一物理量的意义如何？位势涡度守恒的条件是什么？(V)答：位涡a，由位涡的定义可知，位涡是一个标量，它是一个综合表征大气运动状态和热力状态的物理量。位涡守恒定理揭示了涡度变化是受到大气热力结构制约的，在绝热无摩擦运动中微团的位涡是守恒的。10.泰勒—普劳德曼定理成立的条件是什么？大气中能够近似地满足泰勒—普劳德曼定理的成立条件？答：均匀（正压）不可压缩流体的定常缓慢运动。满足。习题11.如图4.1所示，有一西风气流，风速向北以10ms/500km的变率减小，问围绕边长1000km的正方形ABCD边界的逆时针环流位多大？ABCD中平均相对涡度是为多大？沿边界位1000km的任意正方向边界ABCD""""的逆时针环流又是多大？解：沿正方形ABCD的边BC的风速为u，由题中条件知DABC10边的风速uu100(u20)m/sDABCBC500由于沿CD、AB的切向速度为零，所以围绕正方形ABCD的先对环流为图4.172CVrduBCuDAuBC(u20)DA210m/sBCDABCBCL7平均相对涡度C21051210s621(10)72正方形边界ABCD的逆时针环流仍为210m/s2.在正压大气中，设运动是水平的，证明：（1）在北纬某纬度处（参看图4.2（a）），均匀西风（u为常值）环流对地轴的绝对角动量守恒；（2）在北纬某纬度处（参看图4.2（b）），绕局地铅直轴的环流（取圆运动的切向速度v为0-57- 动力气象学复习思考题与习题2010常值）对局地铅直轴的绝对角动量守恒。图4.21解：绕地轴和局地轴绝对角动量为Mrcos(urcos),Mr(vfr)2正压大气中，绝对环流守恒，即C2A常数。（1）西风环流u常数,v,0w02222则Cu(rcosd)2urcos，又A(rcos)rcos022所以C2urcos2rcos2rcos(urcos)常数a（2）局地环流v常数,v,0w0r222Cv(rd)2rv,(r)sinrsin0所以2frCC2A2rv2rsin2r(vrsin)2r(v)常数a2这就是绕局地轴的绝对角动量守恒定律。3.正压大气中，在30N有一圆形空气柱，其半径为100km，如果初始空气是静止的，当空气柱膨胀至原半径的两倍时，周界上平均切向速度为多大？解：30N,r100km，膨胀后r200km0设初始气柱的绝对环流、相对环流、周界平均线速度分别为C、C、v0；膨胀后，分别aoo0为C、C、v，显然a2CVrdv(rd)2rv0)1(oL00000o2CVrdv(rd)2rv)2(L0000而由于地球的自转形成的牵连环流分别为2Ceof(ro))3(2Cef(r))4(（1）式与（3）式相加，（2）与（4）式相加，分别求得初始和膨胀后的绝对环流分别为-58- 动力气象学复习思考题与习题20102CCCf(r)aooeoo2CCC2rvf(r)ae因水平面上斜压性很小，则绝对环流守恒，使CC，求得aao2222f(ror)f(rro)3vr.547m/so2r2r44.绝对环流定理在无摩擦情形下形式为dCapdrdtL3利用斯托克斯定理有pdrNdL3式中N(p)p3333定义为力管（或斜压）矢量。试（1）写出N在i、j、k方向的分量N、N、N；xyz（2）证明，若大气满足静力平衡和地转风条件，则有ugNNifxzvgNNjfyzff2VgNNkVT(V)kzg2gTgzppp解：（1）由Np(ijk)(ijk)33xyzxyzppN()xyzzy所以ppN()yzxxzppN()zxyyxp（2）若大气满足静力平衡条件gz1又满足准地转关系，pVfk0g1p1pu,vggfyfx-59- 动力气象学复习思考题与习题20101pp1pg1pNNi()(g)x222yzzyyzyyzy所以1(g)1p1p1p1p1p()f[()]222yzyyzzyfyzfzy1p1p1pugf[()()]f()fzfyfzyzfyzvg同理NNjfyz1pp1fNNk()(fufv)(uv)y22ggggxyyxxyxyfVg2p11pVV(VpVT)g2g2g22g2RTRTT有状态方程pRT得，0pVT2g2RTf原式等于VTg2Tf1Vg1pg因为NyVg2，由VgpkkkfzfzfVgVggg则(V)k(k)V[(k)k]Vkgggzzfff2Vfg所以(V)kVgggzgf2Vg得N(V)kzggz5.证明力管矢量NpRTlnp3333lnTpclnT33p33ln(p)3333其中cT/称为埃克斯纳函数。p6.根据力管矢量的性质，证明静止大气一定是正压大气，且气压梯度力是有势的。7.证明经静力平衡条件下，水平气压梯度力随高度的变化只决定于大气的斜压性，且有2pNiyNjxNkz由此说明经静力平衡条件下，若大气是正压的，水平气压梯度力不随高度变化，从而风场也-60- 动力气象学复习思考题与习题2010V不随高度变化，从而风场也不随高度变化，即有0。z8.假设摩擦力与速度大小成正比，方向与速度方向相反，即FkV，3（1）试写出考虑摩擦力的相对环流定理；（2）在经圈平面内取一物质环线，设初始环流为零，当环线内力管数N保持不变时，试求任意时刻的环流，又最大环流位多大？（这里暂不考虑地球旋转作用）？dCddV解：（1）由aaaVrdaardLaLdtdtdtdV1不计摩擦的绝对动量方程为aapF，其中g33dtdC11aa(pF)rdpFrdL3LLdtdCdCdA又aafdtdtdtdCdA所以NfFrddtdtL（2）由FkV3dCdA所以FrdkV3rdkC，则NfkCLLdtdtdA又设0dtdAkdtkdtktN所以NfkC，得Ce[C0Nedt]C0edtkN当t0时，C0C0kNktN则C1(e)，当C时，C(t)达到最大，Cmaxkk9.证明在自然坐标系中，涡度可表示为vuVkVsxynk是流线曲率。图4.3s解：如右图4.3，在某一时刻，水平运动在自然坐标系中的形式uVcosvVsinvu(Vsin)(Vcos)VV由sinVcoscosVsinxyxyxxyy当0时，x方向与s方向，y方向与n方向重合-61- 动力气象学复习思考题与习题2010VV所以VkVssnn10.证明在柱坐标系r,,z中，涡度为11VrrVrrr解：由(V)k11其中V(ij)(ViVj)i(ViVj)j(ViVj)rrrrrrrViVj1ViVjrri(iVjV)j(iVjV)rrrrrrrijij由,00，j,irrV1VV所以Vkrkkrrr11V则rVrrrr11.证明在球坐标系,,r中，涡度为1v1uurtanrcosrr解：由(V)k1A1Ar1Ar1A1A1Acos其中Vi(r)j(rr)k()rrrrrrcosrcosrcos1v1(ucos)1v1uu所以(V)ktanrcosrcosrcosrr12.求以下四种圆运动的涡度2(1)Vcr；(2)Vc21/2(3)Vcr/；(4)Vcr式中c为常数。VV解：利用自然坐标系中垂直涡度的公式rr2VV（1）VCr，因Cr，2Crrr所以Cr2Cr3CrVCV（2）VC，因，0rrr-62- 动力气象学复习思考题与习题2010C所以r33CV2VC（3）V，因Cr，r2rrr2333CC1C所以Cr2r2r22223r213.若水平速度场是无辐散的，即uv0xy试证明，在这种情况下，可引进一流函数表示水平流场，即有u；vyx而满足的方程式泊松方程，即2vuxyuvuv解：由于0，即xyxy由全微分性质可知，dvdxudy有u；v，是流函数yx2vu，即2，可满足泊松方程。xy14.若水平速度场是无旋的，即vukV032xy试证明，在这种情况下，可引进一势函数（即速度势）表示水平流场，即有u；vxy而满足的方程式也是泊松方程，即2uvxyvu解：由无旋，即0，故水平速度场是有势的，用势函数表示水平速度场，即有xyV分量形式u；vxy而水平散度2uv，即2，满足泊松方程。xy-63- 动力气象学复习思考题与习题201015.在（13）、（14）两题的基础上，证明对于任意一水平流场，总可将水平速度分解为两部分，即可将V写成VVV其中V是水平无辐散的，而V是无旋的，且有Vk，V为流函数，而为速度势。解：一般情形下水平速度可分为无辐散和无旋两部分的速度之和。VVVVV,V0其中V,0VV且Vk，V16.试利用绝对环流定理直接导出正压、无摩擦、水平运动的涡度方程（即正压涡度方程）。解：17.在正压条件下，若水平速度散度为常值，试求出个别空气微团绝对涡度随时间的变化率(不计摩擦)。d解：由上题aV，由于DV为常数ahhdtd即aDadtDt所以Ce；当t0时，。aaaoDt得eaao18.在正压不可压缩的流体内，有一半径为r的铅直涡旋，其相对涡度为，若在同一纬度00上涡旋的厚度变为原厚度的E倍，试求变化后的相对涡度大小和涡旋边缘的平均切向速度。解：19.试证明水平、正压、无水平辐散的涡度方程克写成以下形式22J(,)0tx2式中是水平速度场的流函数，为二维拉普拉斯算子，而Jab(,)为雅克比行列式，它被定义为aaxyJ(ab,)bbxy-64- 动力气象学复习思考题与习题2010uv解：由题中所给条件水平无辐散，()0，可以引入流函数xy而涡度方程为(uv)vtxyvu2由u,v，可得()()yxxyxxyx2uvJ(,)xyyxxy22所以方程化为J(,)0tx20.试证明22222J(,)xyyxxyyx22yxxy222解：J(,)xyyx22222222()()xyxyyxyxxyyx222或J(,)xyyx22222222()()xyxyyxyxyxxy21.试证明p坐标系涡度方程VVffVk0tpp可以化成以下形式V[fVk]tp从而证明对于全球大气而言涡度是守恒的，即1p0MdM(0dpd)0ttg这里没考虑地形，并认为海平面气压为p。0解：在p坐标系中涡度方程为VVffVk0tpp其中V(f)(f)V[(f)V]-65- 动力气象学复习思考题与习题2010VVk[k]pppV所以[fVk]tp1对全球涡度积分(dM)dM，由dMddptMMtg1p0(MdM)MdM(0dpd)tttg22.为保持全球大气涡度守衡性质，试证明，若略去涡度方程中的扭曲项，就必须同时略去相对涡度的铅直输送项。解：对天气尺度系统，在一般情况下，其个项的量级为VVffVk0tpp10101110111010101010为了保持全球大气守恒性质，若略去涡度方程中的扭曲项，则必须省略铅直输送项。23.若运动是绝热的，在某一等熵面（设等熵面近于水平）上取一环线，环线包围的面积是A，试证明沿环线的绝对环线守恒，即有dC2Asin0dt其C为相对环流，而2Asin为牵连环流，在这种情形下，对于微团有A(f)常值解：由于微团有A(f)常值，A是环线包围的面积。斯托克斯公式得CA，所以f2sinC2Asin常值d即C2Asin0，绝对环流守恒。dt24.假设上题中的微团被限制在等熵面和之间（如图4.3所示），试证明00Ap然后依据上题所得结果，再证明p坐标系中的位势涡度守恒方程为df0dtp解：在两等温面之间位涡守恒，则图4.3d(V)3a3[]0dt-66- 动力气象学复习思考题与习题2010(V)1而物理量的垂直变化远大于水平变化，所以3a3(f)zd1这样位势涡度可为[(f)]0dtz若大气满足准静力平衡，则可用p坐标系，可得df0dtp25.试将矢量形式p坐标系中运动方程VVVfkVtp化成拉姆(Lamb)形式VVVVkV(f)t2p26.试用算子k()、()分别作用与上题中拉姆形式运动方程，从而直接求得涡度方程和散度方程。27.若将水平速度场V分成无辐散V和无旋V两部风，即VVV，引进流函数和速22度势，则有,（即铅直涡度，即水平散度），对于中纬度大尺度运动，运动是准水平无辐散的，即VV，试说明（26）题中所得的散度方程可简化为平衡方程2122[()][f]228.证明平衡方程中非线性项21222G(,)xy[()]()T2在局地直角坐标系中可写成222G(,xy)2[()]T22xyxy29.已知重力位势是圆对称的，即可令222(xy)/L0其中和L为常值，设f不随纬度变化，试由（27）题中所得非线性平衡方程，求出旋转0风V，并证明这正是梯度风方程的解。222提示：根据的对称性，可设(xy/)L代入平衡方程，可求得02222fLL0000从而求得，进而求得和V。0-67- 动力气象学复习思考题与习题201030、证明对于圆对称的定常运动（取f为常值），非线性平衡方程与梯度风方程是等价的。-68- 动力气象学复习思考题与习题2010第五章大气行星边界层复习思考题1.研究湍流平均运动的湍流平均运动方程组是如何导出来的？湍流平均运动方程组是一个闭合方程组吗？它与未平均的运动方程组有何差别？答：将物理量写为平均值与脉动值之和，利用平均化运算法则；将方程组平均化，得到湍流平均运动方程组。不闭合。首先，方程组中所有的物理量由在一点的瞬时值变成了平均值；其次，在运动方程右端增加了湍流粘性力，在热力学方程右端增加了湍流热传导，在水汽方程右端增加了湍流水汽扩散。________2.试解释QAw的物理意义，其中A代表某一物理属性的脉动值，如代表AZu、v、q、c等。p________答：uw代表单位时间通过垂直于z轴的单位面积向上输送的空气在x方向上的脉动动量的平均值。________vw代表单位时间通过垂直于z轴的单位面积向上输送的空气在y方向上的脉动动量的平均值。________qw代表单位时间通过垂直于z轴的单位面积向上输送的水汽脉动量的平均值。________cw代表单位时间通过垂直于z轴的单位面积向上输送的位焓脉动量的平均值。p3.为什么要对属性的湍流输送通量密度进行参数化？答：在考虑了大气运动的湍流性，把方程组平均化后，在方程组中出现了湍流输送密度项，使得方程组不闭合，为了使方程组闭合，把团流通量密度表示成平均量的函数（即参数化），从而使方程组闭合。4.混合长理论有哪些基本假设？如何利用混合长理论对属性（动量、水汽、热量）湍流输送通量密度进行参数化？混合长理论有何局限性？答：混合长的基本假设：①和分子一样，湍涡在运动的起始高度上具有该高度上的平均物理属性；②在湍流运动中存在一个混合长l，湍流移动一个混合长后不与四周混合，在此以前其具有的物理属性保持不变（守恒）。局限性：首先，该理论中假设了湍涡混合过程是一个不连续的过程，而实际过程并不是这样的，湍涡在运动的过程中将不断和周围空气交换质量，逐渐失去其原有的物理属性，所以混合长理论缺乏可靠的物理基础，混合长是一个难以确定的量应是意料之中的；其次，假定湍涡从起始高度开始移动时携带该高度上的物理属性值，这也是不合理的。５.湍流交换系数与湍流系数是如何定义的？_____答：klw垂直方向湍流粘性系数；-69- 动力气象学复习思考题与习题2010Ak垂直方向的湍流交换系数。６.大气行星边界层可分为几个主要层次？各层次主要特征是什么？答：可分为三个层次：贴地层，近地面层，埃克曼层。贴地层：在这层中分子粘性很大，而湍流粘性应力很小，其厚度在2m以内。近地面层：这层中湍流粘性力比分子粘性力重要，且湍流粘性应力基本上不随高度变化，风速随高度呈对数分布，其厚度约为数十米。在近地面层中，湍流对动量、热量、水汽的铅直输送通量也都不随高度改变，所以又称为常值通量层。埃克曼层：这层中湍流粘性应力和科里奥利力、水平气压梯度力几乎同等重要，而且这三力基本相平衡，运动具有准水平性。７.理查孙数是如何定义的？它的大小与哪些因子有关？如何理解理查孙数愈小湍流愈可能得到发展？22NN答：无因次数Ri，Ri与具体的流场有关（温度层结和风的铅(Vh)2(u)2(v)2zzz直切变有关）。若Ri越小，即反抗净浮力做功所消耗的湍流运动动能愈小，湍流摩擦使平均运动动能向湍流运动动能愈大，则湍流愈能发展。８.在中性层结条件下，近地面层中风随高度呈对数分布uzuln()kz0已从梯度观测得到一组zz,uu;zz,uu;的资料，你能根据这组资料计算1122出粗糙度z、湍流系数k和湍流粘性应力T吗？0zzx答：由风随高度变化可得klnzulnz0u*可知截距为blnz0k斜率为tanukcot图5.1*u*由2uuu*22ukuzKl,lkz,Kkl*zzlzu2，由u*z2k22u2[k]2u2zx*uln()u[]u，zx**zzkz0ln()ln()z0z0９.粗糙度是如何定义的？试从物理上说明不稳定层结条件下的粗糙度小于中性层结条件下的粗糙度，而稳定层结条件下的粗糙度将大于中性层结条件下的粗糙度。答：因为地表面粗糙不平，在离地表面一定高度z上风速为零，则z称为粗糙度。00-70- 动力气象学复习思考题与习题2010当层结稳定时，由于地面凹凸不平引起的湍流受到抑制，相对讲，地面要光滑些，z小；0当层结不稳定时，由于地面凹凸引起的湍流得到促进，相对讲，地面更粗糙一些，因而z较0大。10.试从物理上说明埃克曼层内风向必偏向低压，并随高度增加，这种偏向低压的趋势逐渐减小。1答：在Ekman层中，三力平衡pVfkF01而同点乘VpVFV0由于湍流摩擦力对空气做负功，引起动能耗散，所以水平气压梯度力做正功以补偿摩擦损耗，因而风要偏向低压。因随高度增加，湍流摩擦力逐渐减少，动能耗散减弱，则气压梯度力做功补偿也变弱，即夹角变大。11.梯度风高度（z）是如何定义的？哪些因子有关？对此你能从物理上加以解释么？H2k答：把第一次风向和等压线重合的高度称为梯度风高度h，hB与所在的纬度、湍Bf流系数有关。①k值越大，即湍流运动越强，则梯度风高度越高，反之亦然。这是因为强的湍流运动影响的层次越深厚，所以必须在较高的高度上风向与地转风一致。②在高纬度处f值较大，相应的科里奥利力也大，则在较低的高度上可达到科氏力与气压梯度力相平衡。12.什么叫二级环流？有人将二级环流看成是联系大气边界层与自由大气的纽带，你是如何理解的？答：由于埃克曼层中湍流摩擦的作用，在三力平衡条件下，气流总是偏向低压一侧，从而在低压上空产生辐合上升运动，并且在其上的自由大气中产生辐散运动，同理，在高压区表现为下沉辐散运动。这种由边界层湍流摩擦造成的辐合辐散和垂直运动所构成的非地转铅直环流称为二级环流。由于二级环流的存在，在边界层顶处，气旋区上升运动，反气旋区下沉运动，所以自由大气与边界层进行质量和其他物理量的交换。13.什么叫埃克曼抽吸？埃克曼抽吸为什么引起自由大气中涡旋减弱？答：由于埃克曼层中湍流摩擦的作用，在三里平衡的条件下，使气流总是偏向低压一侧，这种摩擦辐合的整层效应，必然在低压上空产生强迫的上升运动，高压上空产生强迫下沉运动。这种垂直运动完全是由埃克曼层的动力学特征决定的，所以称为埃克曼抽吸。由于在自由大气中，气旋区辐散，反气旋区辐合，水平气压梯度力做负功，运动的动能减少，旋转减弱。习题1211.在z1m高度上，实测到u/z5.1s，取湍流系数k5.0ms，密度z-71- 动力气象学复习思考题与习题20103.125kgm，求该高度上湍流粘性应力T。zxu解：由Tk得T5.0.1255.1.09375kg/mszxzxz2.假定大气中各高度上灰尘的铅直输送通量密度大小一样，平均铅直速度不随高度变化，地面无灰尘源，试求下列两种条件下大气中平均含尘量n随高度的分布：（1）湍流系数k为常值z（2）湍流系数k随高度线性增大，zKKKzz01而K、K均为常值。01解：设大气中的灰尘为n，大气垂直运动为w，则大气的垂直输送通量密度（即单位时间平均通过z高度上单位面积的尘埃输送量）为_______________Qwnwnwn(1)其中为空气密度，www,nnn。因题中地面无灰尘来源，这意味着地面以上某以高度Q0，而假定Q不随高度改变，则对任何高度Q0，因而__________wnwn0(2)______对于wn，我们应用普朗克混合长理论有______nwnk，k为湍流系数(3)z(3)式代入（2）式得到nwn0(4)zk其中w为常数，k由题设已知。设某一高度（就取为0）nn，则上式积分求得0z1nnexp(wdz)(5)00k(1)当k为常数时，由上解得wznnek(6)0表明当湍流系数不随高度改变时，空气的平均含尘量n随高度呈指数变化；在平均空气作上升运动时（w0），n随高度呈指数增加；而在平均空气作下沉运动时（w0），n随高度呈指数减少。-72- 动力气象学复习思考题与习题2010(2)当KKKz，由(5)式解得z01wK0K1zwlnKnneK1K0n1(1z)K1(7)00K0它表明当湍流系数随高度线性增加时，空气的平均含尘量n随高度呈幂指数变化；在平均空气作上升运动时（w0），n随高度呈幂指数增加；而在平均空气作下沉运动时（w0），n随高度呈幂指数减少。3.假定平均铅直速度w0，利用混合长理论，试求水平涡度wvuw,yzzx的湍流铅直输送通量密度。wv解：,ww,vvv，代入得yzwvvwvv，其中,yzzyzz则在铅直方向湍流输送量密度，即交换公式为_______2vQwkk2zz2u同理得Qk2z4.令A为单位质量空气微团所具有某种物理属性量，x、y、z方向上湍流对属性A的输送通量密度分别用Q、Q、Q表示xyz________________________QuA,QvA,QwAxyz由于湍流对属性A的输送，定会造成平均属性A的变化，其数学形式称湍流输送方程，试证明湍流输送方程的一般形式为A1Q3t式中QQiQjQk，Q称为湍流输送通量密度矢量。xyz解：如右图5.2，取一固定体积元，在ABCD面上的输送通量为Qdydz，xQx而通过ABCD面的输送通量为(Qdx)dydzxxQx所以，x方向上的净输出量为dxdydz图5.2x-73- 动力气象学复习思考题与习题2010QQyz同理，y,z方向上的净输出量dxdydz,dxdydzyzQQQxyz则单位体积空气微团在单位时间内由于脉动而引起的净输出量为xyz由守恒性质可知，单位体积内的净输出量(A)QQQxyzQ3txyz(A)AA由,00tttA1Q3t5.根据第（3）题的结果，不考虑湍流的水平输送，利用混合长理论，试给出的湍流输送方程，并与动量u的湍流输送方程做一比较。解：由无水平输送uv0______________21(wn)(wn)u所以(k)2tzzzz2uu即()(k2)，k为为的湍流系数。tzzz2uuk)，由湍流输送方程导出的动量输送方程。2tz而由动量输送的混合长理论得_______uwuu(k)utzzz6.在中性层结条件下，可认为混合长是z的线性函数，即lkz（k为卡曼常数），试证明，此种情形下湍流系数也是z的线性函数。u2u解：在TK中，Klzxzz22ulkz,KklzTzx22u而u，u为摩擦速度，lu***zuu*u*22u则，所以Kkzkuz，即K也是z的线性函数。*zlkzz7.在中性层结条件下，证明地表面上湍流粘性应力(T)与近地面层风速平方成正比，即有zxs-74- 动力气象学复习思考题与习题2010k22(T)[]u(z)zxssln(z/z)0若取z=10m的风速，也可写成2(T)CuzxssD2102式中Ck[ln()]Dz0C称拖曳系数，它与卡曼常数k和粗糙度z有关。D0u2u解：由TK中，代入Klzxzz2u2Tl2Tzx2u2则zx，令lu*，u*为摩擦速度zzuuuu***所以，ulnzc，由zz时，u00zlkzkuz*得uln()，z为粗糙度0kz02k22k22所以u[]u(T)[]u(z)*zxsszln(z/z)ln()0z0221022若取z10m的风速u，则uk[ln()]u*z022102所以(Tzx)ssCDu，CDk[ln()]为拖拽系数。z08.在中性层结条件下，假设由近地面梯度观测较精确得到zz时uu;zz时112uu，试根据近地面层风随高度分布的对数定理，确定粗糙度z，湍流系数k，湍流粘20z性应力T。zxuzk*解：由uln()，z为粗糙度，所以lnzulnz00kzu0*由点(u,lnz)和(u,lnz)在ulnz坐标系上作直线1122-75- 动力气象学复习思考题与习题2010lnzlnzulnzulnz212112得lnzuuuuu2121k(uu)*21所以ulnzlnz21ulnzulnz2112zexp()0uu212k(uu)21Kkuzzz*lnzlnz2122k(uu)21zxs2(lnzlnz)219.试证明湍流热量铅直输送通量密度h，可以改写成zhcDz,zzpT1221式中Dz,z称湍流积分热传导系数，是位温，|,|。由这一表达T121zz11zz2式可根据两个高度上的梯度观测记录计算h，并证明z1z21（1）Dz,zdzT12z1Kz111（2）Dz,zDz,zDz,zT12T23T13K是湍流热传导系数。z解：在近地面层中，湍流热量铅直输送通量密度h可表示为z__________hwcckzppzz1hz则zckpzhz21z对z,z积分，dz1221cz1kpz-76- 动力气象学复习思考题与习题20101所以hc()zp21z21dzz1kzz21z31z31相比较可得，因dz+dz=dzz1kz2kz1kzzz111则Dz,zDz,zDz,zT12T23T1310.所谓蒸发率（或称蒸发速度），是指近地面层中水汽湍流铅直输送通量密度，以E表示蒸发率，则有qEqKzqzz在中性层结条件下，，已知0.5m高度上水气压为13.4hpa，2m高度上水气压为13.0hpa，1m21高度上水汽湍流扩散系数K为1.0ms，求蒸发率E（设近地面层中气压为1000hpa，qz3密度取为3.1kgm）。q解：EqK(1)zqzzq因在近地面层中q服从对数定律，常数，且E常数，则(1)式中k,z分别用题目qzlnz所给数据代入，而qqq21(2)lnzlnz/z21则(1)式化为qq21EKz(3)qzlnz/z21e又因q.0623，p变化相对e要小，则pKqzze1e2(4)E0.623plnz/z2122则代入数据求得E.23310g/ms。11.拉依赫特曼曾得到非中性层结条件下近地面层中风随高度分布的幂指数定律，即是一个参数，对于中性层结0，对于不稳定层结10，对于稳定层结01，试证明，在以u为横坐标，为lnz纵坐标的坐标系中制作ulnz曲线，则在中性层结条件下该曲线为直线（即u随高度称对数分布），在稳定层结条件下，曲线呈上凸型，不稳定层结条件下，曲线呈-77- 动力气象学复习思考题与习题2010下凹型，如图5.3所示。图5.3zz0uu1.稳定层结2.中性层结3不稳定层结1zz10zz0解：由题知uu，(、z、z、u为常数)1011zz10z()1z0uz1所以uu1，可得到zz01{[()1]}(z1)1u1z0z01uz1lnzlnzln{[()1]}0uz10所以111z1lnzlnulnuln[()]101z02dlnz1dlnz1则,22duuduu2dlnz在不稳定层结条件下，,00是下凹的；2du2dlnz在不稳定层结条件下，,00是上凸的。2du12.试证明，在飞中性层结条件下，湍流系数K随高度也呈幂指数分布。z1uu*解：根据拉伊赫特曼假定lAz，由1zAzuu*则在粗糙度zz上满足对数定律，则()0zz0zkz0uu*而又()zz01zAz01zAkz,lkzzkz()00z0uu*z1则()zkzz001Klukuz(z/z)，所以K随z呈幂指数增长。**00-78- 动力气象学复习思考题与习题201013.证明在埃克曼层中湍流摩擦力（记作F），可写成uvFKiKjVfkzzzz即F与地转偏差矢量VVV相垂直，而且在北半球指向V的右侧。guv解：由于TK，TKzxzyzz1Tzx1TzyFFiFjijxyzz则湍流摩擦力1u1vuv(K)i(K)jKiKjzzzzzzzz在Ekman层中三力平衡，pVfkF0hhh把地转运动pVfk0中的pVfk变换hghgVfkVfkF0ghh所以，Ff(VV)kVfkhhg14.有埃克曼螺线解，试求湍流摩擦力的大小F、湍流摩擦力与地转风之间的夹角（与x轴正向夹角）及偏差风的大小随高度的分布。2~Vif~解：有复数方程(Vu)02gzK2~zzz3z1TV~ii()则FzKifVifuehEehEfuehEe2hEh2ggzzz由此可知，湍流摩擦力大小为FfuehEhg15.有埃克曼螺线解，试求湍流摩擦力对空气块所作的功率，讨论在什么情况下，湍流摩擦力对空气运动作正功，提供空气运动的动能。解：在Ekman螺线解得假定前提下，方程组为2uK2fv0z2uKf(uu)0z2g而湍流摩擦力对空气运动所作的功率为2u2vWFVKuKvfuvf(uu)vfuvhh22ggzz-79- 动力气象学复习思考题与习题2010在北半球，当v0时，即风向偏向高压，则做正功，提供空气运动的动能。在zzH的某些高度上，W0，这种现象为“负粘性”。12116.取u10ms,K5ms，，试根据埃克曼螺线解计算40，100、200、400、1000mgz高度上u、v，估算h。Ezzuu1(ehEcos)g解：由Ekman螺线解hEzzvuehEsinghE1212K2K把ug10ms,Kz5ms代入公式可得，hE.03266mf2sinz(m)010020040010001u(ms)02.985.569.0810.051v(ms)02.223.162.730.069617.在45N处，自上而下在1500m高度上首次观测到实测风与地转风方向一致，试求湍流系数。2K解：由题意知，梯度风高度为h1000m，即1000Bff100022所以，K()11.75m/s2*18.证明埃克曼螺线是一等角螺线，即证明其切线方向（V/z的方向）与地转偏差反方向（即VV的方向）之间的夹角在各高度上都一样，且都等于4/。g1i~z~~解：因为复地转偏差为VuehE,VVugg~1izzVV1izi()则huehE2uh1ehEe4hEggEzzhEzz~~i()而V又可写成VVuehEehEg~~VVh因此V(或V)和(或)的辐角主值为zz~~zVVzhargVargV,argarghzz4hEE-80- 动力气象学复习思考题与习题2010V3h于是，V与的夹角为(V,V/z)argVargV/zhhz4Vh因而，V与的夹角为(V,V/z)(V,V/z)hhz4所以，Ekman螺线为一等角螺线。19.试推导出普遍情形下，即地转风具有x和y两个分量u和v情形下的埃克曼螺线解。ggzzuu1(ecosz)vesinzgg提示:zzvugesinzvg1(ecosz)20.由上题的结果，证明此种情形下，梯度分高度z，埃克曼层顶铅直速度w，分别于“教HB程”中（5.74）、（5.84）式相同，即有2KzzhHEf11K2zwhBEgg22f在推导过程中，同样设f为常值，为常值。uu1(e).1043uuggg提示：当z时，有vvg1(e).1043vgvg21.经典的埃克曼螺线解中，因取z0时，uv0作为下边界条件，这意味着已把解扩充到近地面层，然而在近地面层中设湍流粘性系数K为常数是不合适的。为了使理论中不z包含近地面层解，可将下边界取到近地面层上界上。因近地面层风向随高度不变，故可取埃克曼层起始高度上V/z与V方向相同，下边界条件取为Vzh（近地面层顶高度），VV、V、与等压线交角为或近似取为hzVz0、VV、V、与等压线交角为。0z试证明此种情形埃克曼螺线解为z3uu1[2sinecos(z)]g4z3v2usinesin(z)g4式中f/(2K)。z-81- 动力气象学复习思考题与习题2010V解：取下边界条件为近地面层顶z0处，VVh，V,与等压线的夹角为。zz,V01(i)z1(i)z由边界条件代入VAeBe中1(i)z得B,0AV，VVehh近地面层中，涡动应力和风矢量方向不随高度变化，因此，在埃克曼底层(近地面处)有V(uvi)[(uvi)]()hhhzzV(uvi)的幅角为，则()的幅角为。hhzV1(i)z1(i)Vehz3Vi当h0时，()1(i)VV2e4hhhz3可见，V的幅角为，如图图5.4h4利用正弦定理可得Vuuvihghsin1sin()24V2usinhguvi2usin()u(cossin)hgg43因V的幅角为，则有h43i()V2usine4hg代入V的表达式可得33i()i(z)uviu2usine4e1(i)zu2usineze4ggggz3uu2usinecos(z)gg4则v2usinezsin(3z)g422.由（21）题的结果，证明此种情形下梯度风高度为313z()()hHE441h，为埃克曼标高。E-82- 动力气象学复习思考题与习题2010解：在梯度风高度处，v03z04即313。z()()hHE4423.由(21)题的结果，证明在埃克曼下边界风速大小V为0Vu(cossin)0g湍流粘性应力为(T)2fKusinzx0zgV解：由(21)题证Vu(cossin)，而湍流粘性力(T)K()0gzx0h0z333Vi()ii()V2e42usine42e42usinehhggzV()2usinhgz(T)K2usin2fKusinzx0gg24.由（21）和（22）题结果证明埃尔曼层顶的铅直速度为1zH1wsin2hsin2EgEg23245125.位于45N处有一正压气旋性涡旋，其地转涡度510s，湍流系数g21K5ms，试求埃克曼层顶处的铅直速度和涡旋旋转减弱的时间（设涡旋厚度z4H10m）。解：在边界层内，单位时间中空气穿过单位长度等压线，向低压方向输送的质量为hBMvdz，代入v得0hBz/hz11MueEsindzhu1(e)hugEgEg0h22Euvw由不可压缩流体的连续方程为0，和下边界条件z,0w0xyzhBuvw()dzB0xy-83- 动力气象学复习思考题与习题2010uu1(ez/hEcosz)(1p)(1ez/hEcosz)gxxhxfyhEE1pz/hEz()(1ecos)0fyxhEhBvhB1M1wdzvdzh，其中为地转风涡度，这里B00Eggyyy2ugv0，因而ggydgw由简化的垂直涡度方程：fDfdtz上式中，正式大气中地转风及其涡度不随时间变化gHdgHw从h到H积分dzfdzBhhBdtBzdfwhgBEfgdtHh(2Hh)BBdhgE因Hh,fBgdt2HhEft初始时刻涡度，即，得到e2Hg0gt0g0gg01145wh10510.025m/sBEg22代入数据，2H25tH.62310s7dayEfhfKE*26.设无限深、无限宽的海洋中，压力梯度很小可略去，海洋艾克曼层平衡方程为2uKfv02z2vKfu02z若认海洋埃克曼层中平衡洋流完全由风应力所驱动，设风应力T为一常量（仅有x方向应zx力），大齐、海洋交界面（z=0）上，风应力应等于水应力，因而交界面上边界条件取为uvz,0KT,K0zz-84- 动力气象学复习思考题与习题2010另一边界条件取为z,u、v0若取K为常值，也取为常值，试证明风驱动海洋埃克曼中平衡洋流流速为Tzxzu2cos(z)2K4Tzxzv2sin(z)2K4或写成zzuu2eDcos()0D4zzvv2eDsin()0D4式中f1/2(),D2KTTzxzxu,v002K2Ku、v即z0时洋流速度在x,y方向分量。00提示：令wuvi，将海洋埃克曼方程和相应的边界条件化为2wif2w0zKwz,0KT;z,w0zzx*27.根据上题的结果，（1）求zD时的，u、v；32141（2）若定义D为海洋埃克曼层的厚度，取K10ms，f10s，试求D的大小。提示：(1)zD时，u.0043u,v.0043v流速方向与z0时方向相反，大小只00为z0时的4%左右。(2)D14m*28.证明由风驱动的平衡洋流（又称漂流），在整个海洋埃克曼中，向x方向的净质量输送为零，即净质量输送方向指向风应力右方90度。你能从物理上解释此结果吗？提示：海水密度，视为常值，将上题中海洋埃克曼方程写成w(,K)ifwszzw为复数形式的质量通量，对整个海洋平均，即s-85- 动力气象学复习思考题与习题20100w0(K)dzifwdzsszz-86- 动力气象学复习思考题与习题2010第六章大气能量学复习思考题1.大气能量有哪些基本形式？有哪些常用的能量组合形式？答：内能I，重力位能，动能K，潜热能H全位能即空气的内能与位能之和PI显热能(和感热能)h干静力能即空气的显热能与位能之和Ehd湿静力能即显热能、位能、潜热能之和EhHs2.试讨论大气位能转换成大气动能的物理过程？答：等压面上暖空气上升，冷空气下沉，则全位能转化为动能。3.试讨论大气内能转换成大气动能的物理过程？答：在固定体积中，任意一体积元d在膨胀过程中将对四周做功，其内能将减少，而四周因得到机械功，动能将增加。4.试讨论地球旋转对大气能量过程可能发生的影响？答：在旋转地球大气中，空气以各种形式不间断运动，是各种能量相互转化。5.大气位能能直接转换成水平运动动能吗？铅直运动动能与水平运动动能是通过什么过程相互之间发生转换？答：不能，通过中纬度的Rossby波的螺旋结构对西风动量的输送，使得扰动动能转化为基本气流的动能。6.试讨论静力平衡对大气能量过程的影响。答：由于静力平衡大气中铅直气柱所包含的位能与内能成比例，因此能量转化过程中要维持静力平衡，铅直气柱中所含的位能与内能必须同时增加和减少，并且要保持一定的比例关系。使得实际可能出现的能量转换受到限制，所以单是铅直运动并不改变动能和全位能，必须要有穿越等压线的大气水平运动。7.在静力平衡条件下，引入全位能的概念有什么好处？答：由于静力平衡大气中铅直气柱所包含的位能与内能成正比，所以将位能和内能合并在一起，应用起来更方便。8.在静力平衡条件下，“单是铅直运动并不改变动能和全位能，穿越等压线的水平运动才能把全位能转换为动能，或把动能转换为全位能”，对这一结论你是如何理解的？答：因为静力平衡条件下，内能与位能成比例，若变化时，内能I也要相应变化，则需要穿越等压线的水平运动做功实现，同时使K发生变化，使P和K发生变化转换。9.试对以下论点给予说明：（1）等压面和等温面呈水平分布且层结为静力稳定的大气（正压大气）中，全位能可以很多，但一点也不能转换为动能；（2）大气作绝热运动时，全球大气的有效位能与动能之和不会改变；（3）有效位能完全决定于大气初始状态；（4）大气为斜压状态时，有效位能总是正值；（5）有效位能是动能的唯一的“源”，但不是唯一的“汇”；（6）有效位能仅是全位能能够转换为动能的上限值。-87- 动力气象学复习思考题与习题2010答：(1)因为大气做绝热运动时，全球大气的有效位能与动能之和不会改变，动能只能由有效位能转化。*(2)因为任何可逆绝热过程不会改变非有效位能P。min(3)因为有效位能为起始状态的全位能与一定条件下最小全位能之差。起始状态确定，则最小全位能确定。(4)当大气为斜压状态时，有一部分全位能可被释放出来，则有效位能为正。(5)因为大气做绝热运动时，全球大气的有效位能与动能之和不会改变，动能只能由有效位能转化；当摩擦消耗动能转化为内能时，最小全位能和全位能都增加，所以消耗的动能值超过了有效位能的增值，有效位能并不是唯一的“汇”。*(6)因为大气通常达不到参考状态，实际的非有效位能要比P大，释放的有效位能比min*(PP)小，则有效位能仅是全位能能转化为动能的上限值。min10.在讨论实际大气中的能量循环时，为什么通常将大气动能分解为平均运动动能（即基本气流动能，或称纬圈平均动能）和涡动（扰动）动能两部分，将有效位能分解为平均有效位能（即基本气流有效位能，或称纬圈平均有效位能）和涡动（扰动）有效位能两部分？答：因为大气可分解为沿纬圈平均的基本流场和扰动流场，并且将动能分为基本气流动能和扰动动能，有效位能也分为基本气流的有效位能和扰动有效位能。11.试阐述对流层中大气的能量循环过程。答：先是非绝热加热使全位能增加，然后通过暖空气上升和冷空气下沉，全位能再转换为扰动动能，而扰动动能一部分摩擦所消耗，另一部分转化为平均动能，而平均运动动能一部分为摩擦所消耗，另一部分又转化为全位能。习题1.在静力平衡大气中，证明以海平面为底（气压为p），高为h（该高度上气压为p）的单0h位截面积气柱中，其位能、内能I、全位能E及动能K之间满足下列关系RhpIhcvcpEhpIhcv1cpcp2K()1MIa2ccvv式中最后一个关系式仅是数量上近似关系，M为马赫数aVMacs而-88- 动力气象学复习思考题与习题20101p01p0VVdp,ccdppspsp0phhp0phhcpV，cs分别为气柱中的平均速度和平均绝热声速（csRT）。cv解：由单位截面气柱能量之定义hh**IcTdz,gzdz,0v0(1)h1****2PI,KVdz02利用静力平衡关系dpgdz，(1)式中能量分别为*cvp0*p0z,0pp00Rp0ITdp,zdp(zp)pdzhpTdpppzh,pphhhpghhgh(2)***cpp0*1p02PIhpTdp,KVdphppgh2gh***首先将I,P,三者比较可得*R**cp*hpI,PhpI(3)hhccvv***为了求的I,K之间关系，我们将I变换一下2*cvp0cp1p02IRTdpcdppccpscpgRhcvpphg()()1ccvv1p02Vdp(4)*pcc2ccK2gh1ppV1pp2()1()1M*1p2aI022cvcvcs2cvcvcdpsccphppg()()1ccvv1cpcp2K()1MI(5)a2ccvv2.有上题结果，讨论h时，各种能量同全位能之比（这里取11V15ms,c300ms）。s解：当h时，limhp0hh*R**cp**1cpcp2*I,PI,K()1MIacc2ccvvvv-89- 动力气象学复习思考题与习题2010***ccIcvRK1pp21则,7.0,3.0()1M***aPcPcP2Rc2000ppv3.证明，对于多元大气（T/z，为常值），以h为底，h为高的单位截面积的气12柱中其内能I、位能、全位能E可表示为cvI(TpTp)gRh1h1h2h2Rhphp(TpTp)1h12h2gRh1h1h2h2cpEhphp(TpTp)1h12h2gRh1h1h2h2式中T/z，T、p和T、p分别表示h、h高度上的气温和气压。h1h1h2h212解：对于多元大气，压高公式可以变为gRTh1zRpgpp()或TT()(1)h1h1Tph1h1*cvph1ITdpgph2因*Rph1(2)h1ph1h2ph2pTdpgh2P*I**RRRph1ph1pgThphp1gpThphph1g11h1112而TdpT()dp[()]1[()]pph1ph2h2h2ph1R/gph1R/gph111Rgph2gg[TpT()p](TpTp)(3)gRh1h1h1ph2gRh1h1h2h2h1(3)式代入(2)式有*cvph1cvITdp(TpTp)(4)ph1h1h2h2gh2gR*Rph1RhphpTdphphp(TpTp)(5)1h12h2p1h12h2h1h1h2h2gh2gRc***pPIhphp(TpTp)(6)1h12h2gRh1h1h2h24.假定对流层顶高度为H，对流层中的温度随高度线性递减（TTz），对流层顶以上0-90- 动力气象学复习思考题与习题2010温度随高度不变，大气满足静力平衡条件，试求单位截面积自海平面延伸至大气上界整个气柱中的内能、位能、全位能。T0z0,zH解：由题意知，大气温度的垂直分布为TTH,zH0*cp0vITdpg0*Rp0因Tdpg0***PIR*cp0pgpHcgvv则I[T()dpTdp][(TpTp)Tp]p00H00HHHHgHp0ggRcRv(TpTp)00HHgRg*Rp0RgRRRTdp(TpTp)(TpTp)00HH00HHg0ggRggRg***cpRPI(TpTp)00HHgRg5.全球大气满足静力平衡条件，对全球大气而言，要维持大气环流，“平均而言，高压中必伴随有水平辐散，低压中必伴随有水平辐合，或这样说，暖空气中必伴随有上升运动，冷空气中必伴随有下沉运动”，试解释以上结论。答：为了维持大气环流，能量间要相互转化，由能量平衡关系可知*KVdMVFdMtMM高压中辐散，低压中辐合，或者暖空气上升，冷空气下降才能使全位能向动能转换。6.利用经典的埃克曼公式，试求埃克曼层中单位截面积空气柱中；（1）水平气压梯度力所做的功率，证明其大小恰好与湍流摩擦对动能的消耗相等；（2）平均运动动能；（3）湍流摩擦对动能的消耗量与平均运动动能之比。zHzHpp解：(1)W(pV)dz(uv)dz100xy因为水平气压梯度力满足地转关系，且x轴与等压线平行则p1p,0fu0gxy-91- 动力气象学复习思考题与习题2010zHWfuvdz1g0z2Vz2u2vHHW(KV)dz(KuKv)dz202022zzz埃克曼层中湍流粘性应力的下列表示式2uK2fvz2vKfufuz2gzHzH代入W式，则得W(fuvfuvfuv)dzfuvdz220g0g可以看出W与W大小相等，但符号相反。12zuu1(ecosz)g利用埃克曼层中的风速表达式，ug为常数。zvugesinzzHz2zHz则Wfuuesinzdzfuesinzdz(已设密度不变)2ggg00fzH2fK2u1(e)ugg221zH22(2)K(uv)dz，代入风速公式D20212zHz2z121(e)u1(2ecosze)dzuz1[]ggH2022W2(3).040f8.0sinKD7.正压无辐散涡度方程为22J(,)0tx这里的为流函数，有u,vyx22vu222xyxy设大气限制在一个纬向的通道里，通道的南北界为yD，且有如下边界条件2yDv0，0xtxy-92- 动力气象学复习思考题与习题2010试求整个通道内的动能平衡方程。提示：以乘涡度方程，再对整个通道积分，即D22D[J(,)]dxdytxD1由此可得()dxdy0tD28.EcTgz，为干静力能，证明干空气静力稳定判据可表示为dp稳定Ed中性z不稳定证明：由EcTgzdpETTg则d()()cgccpppdzzzcp中性d而有不稳定d稳定d稳定E则d中性z不稳定9.EcTgzLq，为饱和湿静力能，证明饱和湿静力稳定度判据可表示为sps稳定Es中性z不稳定ETs证明：由cg(Lq)pszzz1而饱和湿空气中温度垂直递减率为,(Lq)mmdszcpETg11sc[(Lq)]c[(Lq)]c[]pspdspmzzcczczppp稳定E则s中性z不稳定10.位势稳定度判据为-93- 动力气象学复习思考题与习题2010稳定e中性z不稳定式中为相当位温eLqexp()ecTpEcTgzLq为湿静力能，证明上述判据也可表示为vp稳定Ev中性z不稳定证明：湿空气静力能E的垂直切变为vETg11vc[(Lq)]c[(Lq)](*)pvpdvzzcczczpppLq又exp()，对z微商，有ecTpLqLqecpTcpTLqee()zzzcTp(**)Lq1LqT1{()[(Lq)]}ecpTe[(Lq)]d2dTcTzcTzTczpppEvcpTe两式比较，则zze稳定E稳定度判据也可表示为v中性z不稳定11.试证明全位能平衡方程的形式为EpR/cpddMc()dMMMptpdt00其中p1000hpa。00证明：由于全位能平衡方程为-94- 动力气象学复习思考题与习题2010EdMQdMtMMdln1由热力学能量方程为QdtcTpR1pcd1()pQT1000dtcTpRpcd则，Qc()pp1000dtEpR/cpd所以全位能平衡方程为dMc()dMMMptpdt0012.试证明有效位能平衡方程的形式为ApR/cdM1[()p]QdMtMMp讨论右端两项的物理意义。证明：大气处于参考状态时，有效位能为零，即为全位能转化为动能，在参考状态时pp，e此时全位能与动能转化项为零。*ppR/cdminc()pdMptMpdt00***Appmin又ttt则ApR/cppR/cpddMc[()()]dMMMptppdt0000pR/cppR/cpddMc()1[()]dMMMpppdt00pR/cdM1[()p]QdMMMpMdM：是有效位能和动能之间的转换，转换的方向决定于和的相关性。pR/c1[()p]QdM：有效位能产生项，等位温面上高压区(pp)增温(Q)0，Mp低压区(pp)降温(Q)0，将是有效位能。-95- 动力气象学复习思考题与习题201013.试证明涡动动能向基本气流动能的转换项________________________uvK,KuuVvvVdMuvdMMMpp可改写为_____u_____u____v______v_____u_____u2K,KM(uvuvv)dMMuvudMypypyp因平均经圈环流v很小，故略去含v的各项。改写后的K,K表达式，说明涡动动能向基___________本气流动能的转换决定于扰动对西风角动量的南北输送（uv）和铅直输送（u）。14.试证明基本气流有效位能向涡动有效位能的转换项____________1TA,A(TTVT)dM[T]Mp可改写为____________1TTA,A(TvT)dM[T]Myp这一表达式说明基本气流有效位能向涡动有效位能的转换决定于扰动对感热的南北输送__________（Tv）和铅直输送（T）。证明：由___________TTTVTp________________TT______TTTVTVTTpp______T______T______TTuTvTxyp______T______T(TvT)yp______1______T1______T______T则(TTVT)dM(TvT)dM[T]Mp[T]Myp15.利用观测资料计算得到的北半球平均大尺度环流能量循环如图6.1所示。依据能量循环图中给出的数据，试计算：（1）产生基本气流的有效位能所需的时间；（2）好散尽涡动有效位能所需的时间；（3）好散尽基本气流动能所需的时间；-96- 动力气象学复习思考题与习题2010（4）好散尽涡动动能所需的时间；（5）如切断大气外界能源，由于各种形式能量的散失，耗散尽北半球总能量的储存所需的时间。图6.1方框内的数值是依据观测资料计算得到的北半球各种大气能量的平均值522单位为10Jm；箭头旁边的数值是能量的转换率、产生率和耗散率，单位为Wm解：335.5)1(t10258.day5.1156.5)2(t10257.day7.06.35)3(t1041.66day1.08.85)4(t103.5day9.1335.156.8.86.35)5(t1026.36day0.70.11.9-97- 动力气象学复习思考题与习题2010第七章大气中的基本波动复习思考题1.什么是简谐平面波？描写简谐平面波特征引进了哪些波参数？其含义是什么？他们之间有什么关系？答：由简谐平面波稳定的传播所形成的波动称为简谐波，若波面为平面，则合称为简谐平面波。A、k、、以及L、T、c、v统称为波参数。A：振幅，物体离开平衡位置的最大位移。k：波数，它代表在2距离内含波长为L的波动数目。：波动圆频率，只与振动系统本身属性有关。：初位相L：波长，固定时间，两个同位相点的距离。T：波动周期，空间固定位置上的点完成一次全振动所需的时间。c：相速，等位相面沿传播方向移动的速度为相速。v：频率，单位时间内完成振动的次数。2.设空气纬向速度波动解为u15cos(2x650t)1速度的单位是ms，x以m为单位，t以s为单位，求波的振幅、波长、波数、圆频率、周期、相速。答：由波动解u15cos(2x650t)22则A15m,650rad/s,k,2L,T.000966,c325m/skk3.微扰动的基本思想是什么？为什么说用微扰动法得到的扰动方程，只能用于描写小振幅波动？答：微扰动法的基本思想：①把表征大气状态的任一场变量f看成是由已知的基本场变量f和叠加在其上的扰动量f组成的，即设：fff；②基本场变量表明大气的基本运动状态，它满足基本方程和边界条件；③假设扰动量f是充分小的，扰动量和其他改变量都是小量，其二次以上乘积项可以略去不计。2i(xct)如果扰动是周期性波动，扰动量充分小，意指波动振幅远小于波长，即若fFeL2f2i(xct)则2iFeLxL-98- 动力气象学复习思考题与习题2010f由微扰动基本假设，则也是小量，因而要求FL。所以将微扰动法用于研究x波动问题，只适用于研究小振幅波动。4.什么是标准波型法？设波动解为i(kxlymzt)Ae它与i(kxt)A(y,z)e有何不同？答：在研究大气中基本波动时，通常的做法是把有关的方程线性化，得到相应的扰动方程组，i(kxt)然后设扰动方程的形式解为Ae，代入方程组后，即可根据边界条件确定频率方程，从而确定相速方程，这种方法为标准波型法。i(kxlymzt)q(x、y、z、t)Qe为空间三维的波动状态；i(kxt)qQ(y、z)e为三维空间在x方向的波动。5.什么叫频散波？什么叫非频散波？群速和相速有何差别？答：若相速不仅依赖于介质的物理性质，还依赖于波数，称为频散波。若相速仅依赖于介质的物理性质，不依赖于波数，称为非频散波。群速c是群波中具有相同振幅点的移动速度；而相速c是群波中具有同位相思安的移动速g度。6.什么叫外波？什么叫内波？答：在外部条件的作用下才能存在的波称为外波。在外部条件受到限制的条件下在流体内部存在的波动，称为内波。7.什么叫纵波？什么叫横波？答：振动方向与波传播方向一致的波动称为纵波。振动方向与波传播方向相垂直的波动称为纵波。8.大气声波、重力外波、重力内波、惯性波、罗斯贝波产生的物理机制是什么？答：声波：由大气的可压缩性引起。重力外波：由大气上、下界面的扰动和重力的作用引起。重力内波：由大气的稳定层结和重力的作用而形成。惯性波：在科氏力的作用下形成。罗斯贝波：是在准水平的大尺度移动中，由于效应维持绝对涡度守恒而形成的。9.大气基本波动中，从最快的声波到最慢的罗斯贝波其形成过程中水平速度散度的作用如何？答：通过水平辐合辐散交替变化而使得波得益传播。10.什么是拉姆波？有人认为拉姆波具有重力惯性外波的特征，你对此有何看法？答：考虑地球旋转作用，在静力平衡大气中还可以产生一种只在水平方向传播的特殊声波，称为拉姆波。因为重力惯性外波和拉姆波在动力学上是同源的。-99- 动力气象学复习思考题与习题201011.什么叫“噪音”？滤去“噪音”有何必要性？答：对大尺度运动图像起干扰作用的高频声波、重力波，视为大尺度运动的“噪声”。因为高频声波、重力波不但对大尺度运动作用不大，而且会给用数值方法积分基本方程组带来困难。12.从物理上说明静力平衡近似可以滤去沿铅直方向传播的声波，但不能滤去沿水平方向传播的拉姆波。如何才能滤去拉姆波呢？答：因为大气的可压缩性是产生声波的内在条件，若大气在铅直方向上满足静力平衡，则可滤去铅直方向的声波；而拉姆波是由地球旋转作用，在静力平衡大气中产生的在水平方向传播的波，所以不能滤去。dp取齐次边界条件，即设pp时，0，则可滤去拉姆波。0dt13.从物理上说明准地转近似或准水平无辐散近似可以滤去重力惯性波。答：若满足准地转关系，则水平气压梯度力可抵消由于地球旋转产生的科氏力，则无重力-惯性波。若满足准水平无辐散，则不能传播，也可滤去重力-惯性波。14.什么叫包辛内斯可近似？什么叫滞弹性近似？采用包辛内斯可近似或滞弹性近似为什么可以滤去声波？答：如果在运动方程中部分考虑密度扰动的影响，即只保留与重力相耦合的密度扰动项；连续方程中忽略密度扰动影响；热力学能量方程保留密度扰动影响。这种热力学近似叫作滞弹性近似。在滞弹性近似基础上，若考虑的是浅层运动，连续方程可简化为不可压缩形式，对于密度扰动，可只保留膨胀的作用，即取这种近似为包辛内斯可近似。15.研究中小尺度运动如何滤去罗斯贝波？答：设中小尺度系统无南北运动。习题1.证明(xct)是波动方程)1(c0)1(tx222)2(c0)2(22tx的一般解(其中c为常值)。2.在研究简谐波振幅的增强、减弱的可能性时，可设波动解的形式为tAecos(kxtkx)0式中A是振幅，是振幅增长因子，x是初位相，试证明这一表达式可写成0ik(xct)Re(Be)-100- 动力气象学复习思考题与习题2010这里的B和c都是复数。试用A、、k、、x确定B和c。0t解：由已知Aecos(kxtkx)可得0ti(kxtkx0)ReAeeik(xtit)ik[x(i)tReAeti(kxtkx0)ReAeikx0ekkReAeikx0ekk令BAeikx0，则可写为ReBeik(xct)即BAcoskxiAsinkx,cikk3.寻找一个坐标系(X、Y、Z、t)，使得由i(kxlyt)(x、y、z、t)A(z)e表征的简谐波只沿X方向传播。解：若波数矢量k与x轴夹角为，将原坐标系x轴旋转角就是所求的坐标系，这个坐标系之间关系为xXcosYsinyXsinYcoszZklcos,sinKK4.设有两列波动1A1cos(kxt)Acos[(kk)x()t)22在同一介质中传播，证明合成波为一个振幅被调制的简谐波，即有Acos(kxt)12式中2222A1A2A(AA)(1cos(xkt))1222AA12Asin(xkt)2tanAAcos(xkt)22解：由-101- 动力气象学复习思考题与习题2010Acos[(kk)x()t)22Acos[(kxt)(kxt)]2A{cos(kxt)cos(kxt)sin(kxt)sin(kxt)]2Acos(kxt)cos(kxt)Asin(kxt)sin(kxt)22则Acos(kxt)Acos(kxt)cos(kxt)Asin(kxt)sin(kxt)12122[AAcos(kxt)]cos(kxt)Asin(kxt)sin(kxt)122AcosAAcos(kxt)12令AsinAsin(kxt)2则Acoscos(kxt)Asinsin(kxt)Acos(kxt)12222A(Acos)(Asin)22[AAcos(kxt)][Asin(kxt)]12222AA2AAcos(xkt)1212222A1A2(AA)(1cos(xkt))1222AA12Asin(xkt)2tanAAcos(xkt)225.证明上题中若振幅AA，波包迹传播的速度，即群速为cd/dk。12g提示：AA时，利用半角的三角函数恒等式，可得1211A2Acos(xkt),(xkt)1226.证明群速c也可表示成以下形式g2ccgdccd2d111c答：由cgdkdkd1dcdc()c2ddcccdd7.对于二维简谐平面波有i(kxlyt)A(z)e222若(K)，试证明相速度矢量c与群速矢量c是共线矢量(Kkl)。-102- 动力气象学复习思考题与习题20108.振幅不随时间衰减的波动称为无耗散波动，振幅随时间衰减的波动则称为有耗散的波动，设波动方程为23uuuuu23txxx式中、为实参数，试讨论波动无耗散、波动无频散、波动无频散但有耗散及波动无耗散但有频散的条件。提示：0，无耗散；0，无频散；0、0，无频散但有耗散；0、0，无耗散但有频散。9.等温大气条件下，一维声波方程为du1p0dtxdu0dtxTT常值0假设大气基本状态是静止大气，试将方程组线性化，求出频率方程，讨论速度扰动(u)、密度扰动()、气压扰动(p)的振幅和位相之间的关系。提示：线性化方程组为u1p0txu0txpRT02频率方程为RT0RT0振幅关系为U,PRT010.绝热大气条件下，一维声波方程为du1p0dtxdu0dtxcpdlnpdlncdtdtv-103- 动力气象学复习思考题与习题2010假设大气基本状态是静止大气，试将方程组线性化，求出频率方程，讨论速度扰动(u)、密度扰动()、气压扰动(p)的振幅和位相之间的关系。提示：线性化方程组为u1p0txu0txpRTtt2频率方程为RTRT振幅关系为U,PRT11.取f近似的浅水(正压)扰动方程组的形式为0uf0vtxvf0uty2uvc0()0txy2式中gh,cgH00试证明由上述方程组可得222(f)uf200txty222(f)vf200tytx22222(f)c()20022ttxyt12.由(11)题的扰动方程组求出频率方程，求出相速矢量和群速矢量，并证明cc0g即证明重力惯性外波的相速矢量与群速矢量是共线的。c222220提示：Kcf,cK,cK00gK13.将均质不可压缩连续方程由z0积分到zz，有-104- 动力气象学复习思考题与习题2010zwvdzzV220由上式和(11)题中给出的扰动方程组，求出频率方程，并求出u、v、w和简谐波解的具体形式，讨论l0时，u、v、w和之间的振幅和位相关系。i(kxlyt)e0kif0li(kxlyt)ue220f0提示：lif0ki(kxlyt)ve220f0i(kxlyt)wize20c0l0时，可得cosk(xct)0ucosk(xct)20kc0f0vsink(xct)20kc0wzsink(xct)20c0u与同位相，v、w与位相差为2/，w随高度线性增大。14.设x0有一刚壁，x时扰动振幅趋于零，试由(11)题中给出的浅水方程组，证明此种情形下沿y方向传播的波动(称开尔文)具有如下性质：(1)u0(2)相速cgHc00(3)扰动振幅在壁出最大，随离壁的的距离增大，振幅成指数递减(即在x0处波动被“拦截”)。提示：将问题归结为求方程22222(f)c()20022ttxyt满足边界条件2x0时,f00yxtx,0的解。15.取赤道平面近似你的浅水扰动方程组的形式为-105- 动力气象学复习思考题与习题2010uvytxvuyty2uvc0()0txy进一步设v,0y时0，试讨论此种情形下波动的性质。提示：此波动为赤道开尔文波。性质有：(1)x方向运动满足地转平衡，(2)v0，(3)非频散波，以c单向(向东)传播，(4)波动在赤道被“拦截”。016.浅水扰动方程组为uf0vtxvf0uty2uvc0()0txy试导出u、v与相联系的方程222(2f)u(f)txty222(f)v(f)t2ytx导出u与v相联系的方程22(f)u(f)vtyxtxy22222(c)u(fc)v2020txtxy导出v满足的方程v0式中22222v(cf)c20000ttx得到最后的方程时已取了平面近似。这些方程中哪一个是涡度方程？17.(16)题中导出的v满足的方程为22222v(cf)vc020200ttx-106- 动力气象学复习思考题与习题2010若不考虑的作用，则简化为2222(cf)v02020t式中Lc/f为罗斯贝变形半径。试分别求出两个简化扰动方程的波动频率方程、求出000相速和群速，求出波动的性质。提示：(1)不考虑作用频率方程为2222Kcf00相速和群速分别为：22KcKc(f/K)200KK2cK0cgc2(f/K)2K0022(2)不考虑/t项，频率方程为k22KL0相速和群速分别为：kc,ccpx22pypxKLl0222(klL)2kl0c,cgx222gy222(KL)(KL)0018.在静止的等温大气中，若引进标高H为11pgHpzRT即RTHg试证明静力稳定度参数为ln()1g()12zHcs而布伦特-维塞拉频率为22lng(h)1Ng2zcs-107- 动力气象学复习思考题与习题2010cp2式中p、、T为静止大气中的热力学变量，T为常值，又,cRT为绝热声速scv的平方。19.试证明在静止的等温大气中，有p(z)p)0(exp(z/H)(z))0(exp(z/H)(z))0(exp(z/H)20.不计摩擦和旋转作用，xz平面中二维绝热运动方程组的形式为du1p0dtxdw1pg0dtzduw()0dtxzcpdlnpdlnpcdtdtv式中duwdttxz假设未被扰动的大气是静止的等温大气，试证明以上方程组线性化后的形式为2ucps()0txpuc2pps()g()0tzppuwg()w0txzc2s2()()Nw0tt22式中c/c,cRTgH,Ngln/z为布伦特-维塞拉频率。pvs21.对于(20)题中的扰动方程组，设有解pzi(kxmzt)(u、w、、)(A、B、C、D)eep2试证明，当m0时，应等于1/(2H)，且频率方程为22222Namk()1()22cs-108- 动力气象学复习思考题与习题2010242222a222或写成c(km)cNk0s2scs12式中Hgk/c,c/(2H)。sas22.试根据(21)题中的频率方程，求出受重力和层结影响的声波以及受可压缩影响的重力波的频率。提示：频率方程，得22A41[1(4/)]aBA222A41[1(4/)]gBA2式中22222ac(km)As2cs2222cNkBs2222222若不考虑层结影响令N0，则,0,0，所以代表声波频率，而代BaAgag表重力波频率。223.在(21)题中，若m0表示扰动在铅直方向呈波动状态，m为铅直方向上的波数，波可2以沿铅直方向传播；反之m0，波不能沿铅直方向传播，或者说泊在铅直方向上被“拦截”。前者为内波型波动，后者为外波型由此概念，试由(21)题中求出的频率方程，决定声222内波和重力内波的频率范围。在等温大气中，有N，由此说明为声波的截至频率aa(即声内波频率不能小于)，而重力内波频率上限为N。a提示：利用22222Namk()1()22cs注意到k可取任意值。24.p坐标系中运动方程组为uuuuuvfvtxypxvvvvuvfutxypyuv0uyp2c()u()v()a02tpxpypp-109- 动力气象学复习思考题与习题2010相应的边界条件为pp0(uv)txyp00假定以均匀的纬向对称环流作为基本运动状态，试证明线性化后的方程组和边界条件为(u)uvftxx(u)vuftxyuv0xyp2c(u)a02txpppp0(u)相应的边界条件为txp00式中22RTc()RTadgR()dg25.若不计f的作用，将扰动仅限制在铅直平面内，且只在x方向传播，即认为f0，u0、0、v0，这样，对于可压缩大气，在铅直方向上满足静力平衡的扰动方程组(参看(24)题)和边界条件变成为(u)u0txxu0xpc2a(u)02txpppp0(u)相应的边界条件为txp00试讨论，该方程组描写了什么性质的波动？证明此方程组通过消元可以化成仅含的方程，其形式为2222p(u)c02a2txpx-110- 动力气象学复习思考题与习题201022pp0cNca0相应的边界条件为2ppcNp002式中cRT，即为牛顿声速的平方(请注意，推演过程中已用p/RT，和在下边界TN常数这个条件)。26.为求(25)题中扰动方程满足边界条件的解，可设ik(xct)(p)e由此可得222dca2p()02dtcu边界条件为22d(cc)Na0dppc2Npp00p0试证明通过自变数替换和函数变换，即令1pp,lnp,*e211p0可得2*2d1ca*20d4cud*c2c2Na*20dcN0*0*试求满足边界条件的解，证明波动的振幅随高度呈指数减小，而x方向的相速为1cucN1请注意在一般稳定层结条件下21c04cu27.若取齐次边界条件，上题的扰动方程和边界条件成为2*2d1c*20d4cu-111- 动力气象学复习思考题与习题2010*00边界条件是***试证明，的非零解的形式为Bsinm式中B为一常数，而221cm4cu相速为1cucuc22Nm4/1m4/1这种条件下波是什么性质的波，若大气为中性层结(,c)0这种波能存在吗？d28.取包辛内斯可近似，且设基本状态密度为常值，绝热、非静力平衡的三维扰动方程0组(参见“教程”p253中(7.134)式)为upvf()0tx0vpuf()0ty0wp()g0tz0uvw0xyp2N()w0tg考虑f随纬度的变化(即效应)的作用，显然这组方程包含有罗斯贝波、重力内波、惯性内波的机制，为详细讨论这些波动的性质，首先请证明，由这组方程可得联系u与v、p与v、w与p、与p的方程，其形式为-112- 动力气象学复习思考题与习题201022(f)u(f)v)1(tyxtxy22p2(f)(f)v)2(2tyxt0222p(N)w())3(2ttz0222Np(N)())4(2tgz0请证明还可导出w与v、与v相联系的方程为22222v(f)(N)w(f)22tyxtttz)6(22222N2v(f)(N)()(f)22tyxtgtz最后，请证明还可得v满足的方程为22222(f)(2)(2f)2v0)7(tyxtxttz29.若设上题第(7)式的解为vVexp[i(kxlymzt)]由此可得频率方程为322222222Kk[NKm(fN)]Nk0试由此论证：2222(kl)N(1)纯重力内波的频率方程为2K22fm(2)纯惯性内波的频率方程为2K222222NKm(lN)(3)重力惯性内波的频率方程为2K(4)斜压(含层结)罗斯贝的频率方程为k222f2klm2N2222本题中的Kklm。2提示：由所得频率方程，令0，f0，可得纯重力波频率方程，令N,00，得-113- 动力气象学复习思考题与习题201032纯惯性内波频率方程；罗斯贝波是低频波，可令含、项等于零，可得斜压罗斯贝波频率方程。30.由(28)、(29)题中所得结果：(1)求出重力内波、惯性内波、重力惯性内波、斜压(含层结)罗斯贝波在x、y、z三个方向上的相速和群速。(2)证明，对于重力内波、惯性内波、重力惯性内波、斜压(含层结)罗斯贝波，其三维扰动速度矢量与波数矢量是相垂直的，即证明VK(uklvm)0即它们都是横波。(3)证明，对于重力内波、惯性内波、重力惯性内波，其相速矢量与群速矢量相垂直，即证明cc0g提示：重力内波相速、群速为(k2l2)N2cK3Km2N(k2l2)c(ikjlk)gk2l2K3m惯性内波相速和群速为mfcK3Kf22c(kmilmj(kl)k)g3K重力惯性内波相速和群速为N2K2m2(f2N2)cK3K(N2f2)m22c(kmilmj(kl)k)g222223NKm(fN)K斜压罗斯贝波相速和群速kkc,cc,ccpx2pyxpxx22f2lm(kl)m2N2222f2f(klm)2kmN22klN2c,c,cgx2gy2gz222f2222f2222f2(klm)(klm)(klm)222NNN提示：将波动解代入(28)题中第(1)、(5)式可得到V(以v表示u、w)从而可证明VK03331.证明考虑地形的均质不可压缩具有自由面的运动方程组的形式为-114- 动力气象学复习思考题与习题2010uuuhuvfvgtxyxvvvhuvfugtxyyH(uH)(vH)0txy式中Hhh表示流体的厚度，hh(x,y)是地形BBB高度，如图7.1所示。图7.1提示：推导方法与“教程”中7.4.2中的方法类似，因考虑地形，对连续方程铅直积分时，下限应取zh(x,y)，而zz时w(zz)Vh。BBBB32.设流体基本状态是静止的，并设hH(x,y,t)0且设H，试将(31)题中方程组线性化。0提示：线性化方程组为uhfvgtxvhfugtyhuvhhBB(H0hB)()uv0txyxy33.一般将由于地形起伏所应起的与罗斯贝波性质相类似的波动称为地形罗斯贝波。利用(31)题的方程组可以研究此类波动。为了简单，在(32)题中所得扰动方程组的基本上，进一步设。(1)0，即不考虑效应；(2)地形高度不太高hH；B0(3)h/x0、h/y0常值；BB(4)取准地转近似。试求出地形罗斯贝波在x方向上的相速和群速，并说明(f/H)h/y起着因子的作0B用。提示：先导出扰动涡度方程。频率方程为fkhBH0y2gH0(L)22202klLf0-115- 动力气象学复习思考题与习题2010fhBHy0cpx222klL0222fh(klL)B0cgx2222kHy(klL)0034.正压水平无辐散罗斯贝波与正压准地转(有水平辐散作用)罗斯贝波的相速(参见“教程”(7.173)和(7.175)式)分别为cu正压水平无辐散12k2L0c(u)(1)正压有水平辐散2222kkL0试由此讨论以下问题：(1)求出正压水平无辐散与正压有水平辐散罗斯贝波的群速c、c；g1g21(2)c0的波动称为静止波或驻波，试求当u15ms、45N，正压水平无辐散罗斯贝静止波的波长L，计算沿整个纬圈静止波的数目；s(3)对于正压水平无辐散罗斯贝波，试说明，当L0时，ccu;当L0时，1g1cc；LL时c,0LL时c0；g11s1s1(4)对于正压有水平辐散的罗斯贝波，试说明，当L0时，ccu;LL时2g2sc,0c0且cc；当LL(L、为c0时的波长)时，c,0c0且2g2g22ssg22g2cc。g22(5)证明当k0时，正压水平有辐散罗斯贝波的相速c和群速为最大负值，且：222min(c)/LL2002min(c)Lg2022(6)证明当k3L时，正压有水平辐散罗斯贝波的c达到极大，且：0g229L0max(c)ug28g35.为研究三维罗斯贝的传播问题，取平面近似、静力平衡近似，为简单起见还取包辛内斯可近似，这样，扰动涡度方程、扰动静力平衡方程、扰动热力学能量方程为-116- 动力气象学复习思考题与习题2010w(u)vf00txz1pg0zN2(u)w0txg其中u常值，试证明：(1)由该方程组可得扰动位涡方程2fp0(u)()v022txNz(2)若引进准地转近似，即令1p1puu,vvggfyfx00再引进扰动地转流函数p/f，则扰动准地转位涡方程为02f20(u)()022txNzx(3)设改方程由波解expi(kxlymzt)0则可得三维罗斯贝波的频率方程为k(u)22222klmf/N0(4)若波动相对地面静止(c,0c0),则当pxpy220u/(kl)时，罗斯贝波方可沿铅直方向传播，这一条件表明，在东风气流中，或很强的西风气流中，行量尺度(L~a)的罗斯贝波不能沿铅直方向传播。*36.试证明水平、正压﹑水平无散射的涡度方程Vv0t在球坐标中的形式2221()202tacos2式中为流函数，而为-117- 动力气象学复习思考题与习题20102211(cos)22coscos*37.设基本气流uacos()(,,t)式中为常值，试将上题中涡度方程线性化，并证明球面上罗斯贝波的相速为n(n)122cacosn(n)1n(n)1这里的n为正整数。i(mt)提示：令A()e，代入线性化方程，而A()满足勒让德伴随方程。-118- 动力气象学复习思考题与习题2010第八章波包、群速与能量的传播复习思考题1.什么是摄动法？什么叫正则摄动？什么叫奇异摄动？2.经过无量纲化，得含小参数的无量纲方程各为2)1(uu10u)2(u0(t,0uu)10t2uu)3(u02tx试问这三个无量纲方程可用正则摄动法求其渐进解吗？为什么？3.由摄动法导出的正压准地转方程组有何特点？你能用摄动法到出斜压准地转方程组吗？4.什么是波包？处理缓变波包动力学问题的WKBJ方法基本要点有哪些？5.试从运动学观点和动力学观点说明群速的意义？6.试将准地转正压罗斯贝波与水平、无辐散正压罗斯贝的群速特征做一比较。7.什么叫上游效应？有何实际意义？8.均质介质的缓变波色的数学形式为i(x,y,t)(x,y,t)A(x,y,t)e非均匀介质中的非均匀波动也可以表示为缓变波包的形式，这两者有什么区别？9.试将均匀介质中的波与非均匀介质中的波做一详细比较。10.波动能量通量矢量与群速有何关系？11.非均匀准地转正压罗斯贝波其能量按群速传播过程中守恒吗？12.波作用量是如何定义的？引入这个概念有什么好处？对于线性波动，波作用量在什么条件下守恒？13.波射线是如何定义的？波射线方程的形式如何？14.如何根据射线跟踪理论来讨论非均匀介质中波的频散性质？习题1.将一维均匀波动推广，一维非均匀波动可表示为i(x,t)(x,t)A(x,t)e如果仿平面波的形式，将位相函数(x,t)写成(x,t)kxt若k是x,t的函数，即kk(x,t)；而不显含x,t，频散关系为(k)-119- 动力气象学复习思考题与习题2010试证明k)1(0txkDgk)2(c,0或0gtxDtDg)3(c,0或0gtxDt式中DgcgDttx即沿群速方向波数k及圆频率是守恒的。提示：将k(x,t)x(k)t分别对x,t微分得kk(x,t)(xt)xkxk(k)(xt)tkt若令xxt0，即cgkt则k(x,t),(k)xt2.设波动的频散关系为2k(kk(x,t))试求相速和群速，证明此种情形下有2xxk，22t4t提示：由(1)知cx/t。g3.依据上题结果，在x,t平面上作出群速线和等位相（取1），并以此说明群速和相速的差别。提示：注意沿群速方向k与守恒，因而在x,t平面内，等k线即群速线。在x,t平面上群速线是一组通过原点的直线，等位相则是通过原点的一组抛物线。4.为了在波数平面（kl平面）上形象描绘正压罗斯贝波传播的图像，可将正压罗斯贝波-120- 动力气象学复习思考题与习题2010的频率方程（“教程”中（8.39）式）222(klL)k00改写为图8.1222(k2/)lR式中222R(2/)L00该方程在波数平面上为以O(/2)0,为圆心，R为半径的圆，如图8.1所示，试证明k>0时：（1）矢量OE的方向为相速矢量的方向；（2）矢量OE的方向为群速矢量的方向；（3）右半圆上的波（短波，k）向东传播能量，左半圆的波（短波，k）向西传播能量。大小5.中立惯性外波（即Klein-Gordon）方程为2222cf02000t试证明有能量守恒律ES02t式中E为能量密度，S为能量密度通量矢量，121221222E()fc[()()]002t22xy2Sc(ij)0txy提示：方程两端乘以/t。26.在上题中，设c是x,y的缓变函数，试用WKBJ方法，求出频率方程和振幅演变方程。022222提示：频率方程为c(kl)f00振幅演变方程为A02A0A02kl2A2c(kl)cA()0000TTXYXY利用22ckcl00c,cgxgy-121- 动力气象学复习思考题与习题2010c22kgxc0cck0gxXXXXc22lgyc0cck0gyYYYY注意到Dg(cc)0gxgyDTTXY振幅演变方程又可以改写为DAccg0gxgy22A()A(Kc)000DTXYc2c2200式中Kikjl,cij。0XY7.在（6）的基础上，求出波动能量方程和波作用量方程。提示：波动能量方程为~~E~~E2EcEc(Kc)gxgy0tXY~式中E为单位质量波动能量~122122222EA(c(kl)f)A000022波作用量方程为2cc(Kc)gxgy0TXY~式中为波作用量，E/。8.在静力平衡和包辛内斯可近似条件下，取静态背景，可得描写重力惯性波扰动方程如下22222w2ww(f)N()020222tzxy边界条件为z,0w;0zH,w0满足这一边界条件可以设成nwW(x,y,t)sinzH于是方程可写成222W2~2WWfWN()2022txy2~222式中Ngln/z,N(NH/n)，现设N是空间和时间的缓变函数，试用WKBJ方-122- 动力气象学复习思考题与习题2010法求出频率方程、波动能量方程和波作用量方程。提示：频率方程为2~2222~222N(kl)fNKf00波动能量方程为~2~E~~KNK~2~EcEc(KN)Egxgy2tXY2T式中~2A20222E,Kikjl,Kkl2波作用量方程为1~cc(KN)gxgyTXYW~式中为波作用量，E/。由上面的结果可看出，对于重力惯性波，介质空间均匀，波动能量不守恒，但波作用量守恒，介质空间不均匀，波动能量和波作用量都不守恒。9.试从“教程”中方程（8.128）出发，若对整个波包积分，设波包边缘A0，则有0E2uuAkldXdYuvdXdY0TYYWW式中W表示波包占据的面积，而E为~EEdXdYW即波包的能量，试解释上式代表的物理意义。10.从“教程”中.8(161)式2d1cos/12()12dcos(ka)通过积分可得tantansin()(coska)0试给出其具体演算过程。-123- 动力气象学复习思考题与习题2010第九章地转适应过程与准地转演变过程复习思考题1.什么是地转适应过程？什么是地转演变过程？这两种动力学过程在物理特征上有何差别？答：地转平衡态遭到破坏后，通过风场与气压场之间的相互调整和相互适应，重新建立起新的地转平衡态的过程，称作地转适应过程。准地转平衡态的缓慢变化(演变)过程，称作准地转演变过程.(1)适应过程是准线性，演变过程是非线性的。(2)适应过程中水平散度的数值大于或等于垂直涡度；演变过程中水平散度的数值比垂直涡度小一个量级，因此是准涡旋运动。(3)适应过程中的水平散度和垂直运动的数值至少分别比演变过程的水平散度和垂直运动大一个量级。(4)适应过程中可不考虑Rossby参数的作用，演变过程必须考虑的作用。2.为什么说地转适应过程是旋转流体中特有的过程?答：重力惯性外波的频散是正压大气中地转适应过程中最基本的物理机制。当出现地转偏差时，由于f的存在，惯性-重力外波是频散波，使得初始集中于局部有限区域的能量迅速散布于无限区域，从而使得有限区域的非地转扰动逐渐消失，地转平衡得以恢复。3.地转适应过程中，重力惯性波是怎样被激发的？又是如何被迅速衰减的？答：在适应过程中出现的惯性-重力外波乃是初始局部的非地转扰动所激发出来的。由于惯性-重力外波的频散，振荡随时间衰减的非常快。4.地转适应过程的方向与初始非地转扰动尺度有何关系？如何从物理上给予解释？答：L为罗斯贝变形半径：0当LL时，风场适应气压场；当LL时，气压场适应风场。00当LL时，在适应过程中涡旋场变化比气压场变化快，是涡旋场适应气压场，相反，在0当LL时，气压场适应涡旋场。05.地转适应过程进行的速度与哪些因子有关？答：取决于两方面：一，波的群速cg二，扰动能量的初始分布的情况。6.斜压地转适应过程有何特点？试与正压地转适应过程做一比较？答：斜压地转适应方程组解的特点：一，在定常条件下，斜压适应方程组的解也满足准地转关系二，斜压适应方程中速度势满足广义的波动方程三，斜压适应过程中也存在一个守恒量——位势涡度四，斜压适应方程组的解同样可分为定常解与波动解相比较：-124- 动力气象学复习思考题与习题2010一，重力惯性波对非地转扰动能量的频散乃是地转适应过程最基本的物理机制，不过正压大气中只有重力惯性外波，而斜压大气中重力惯性内波和外波都可存在。二，和正压大气一样，斜压适应的速度依赖于初始非地转扰动的空间尺度和强度，扰动的空间尺度愈大，强度愈强，达到适应状态的时间愈长。三，斜压大气中气压场比正压大气的要好维持。四，斜压大气初始非地转扰动的结构对适应结果有很大影响，而正压大气中则不存在这个问题，其根本原因是斜压大气中个层次重力内波的波速不一样。7.准地转运动分类的依据是什么？第一类和第二类准地转运动有何特点？答：根据S与Ro的相对大小，可以将准地转运动分成两类。2第一类准地转运动：第一类准地转运动出现的条件是SRo1或RoRi~1，这类准地转运动实际上是指中纬度天气尺度运动，或水平尺度小于地球半径的大气长波；其铅直速度量级远比由连续方程分析出来的要小；水平散度比涡度小一个量级以上，运动具有显著的涡旋性质；运动的水平尺度、铅直尺度和静力稳定度是相互依赖的，层结是高度稳定的。2第二类准地转运动：第二类准地转运动出现的条件是SRo~1或RoRi1，这类准地转运动实际上是指中纬度行星尺度运动，亦即伯格所指的超长波运动，其水平尺度L与地球半径a相当；其铅直速度量级仅与水平速度尺度有关，与水平尺度无关；水平散度与涡度的量级相同，涡度方程中散度与项基本相平衡；运动具有准定常性；经静力稳定度与水平速度尺度无关。8.第一类准地转运动方程组有哪些重要性质？答：准地转方程组不但保持了绝热无摩擦条件下位涡守恒，而且还保持了闭合系统中能量守恒性质。9.如何依据准地转位势倾向方程定性讨论系统的发展？10.如何依据准地转方程诊断场？为什么说准地转方程是一发展方程？答：方程只包含对空间变量的微分，等式右边只决定于重力位势场，故事一个由瞬时的场决定的诊断方程。11.为什么斜压准地转运动不可能是纯水平环流，在准地转的水平环流之上必迭有二级环流？这一二级环流有何重要作用？它与埃克曼抽吸作用造成的二级环流在性质上有何差别？答：斜压大气中不仅存在涡度平流，而且还有温度平流，这些平流过程是对地转平衡和静力平衡起破坏作用，平衡被破坏后必然激发出水平辐合辐散和垂直运动，形成了铅直方向上的二级环流。RTRTlnp,VVVgpp这种叠加在准地转水平环流之上的二级环流，通过辐合辐散对涡度场进行调整，通过垂直运动队温度场进行调整，从而建立新的地转平衡和静力平衡，因此这种二级环流是稳持平衡所必要的，即对平衡起维持作用。而埃克曼抽吸作用造成的二级环流是埃克曼层的三力平衡特性所决定的，即湍流摩擦作用使气流向低压中心辐合，并在边界层顶产生强迫上升运动，这种二级环流的作用大大加强了边界层与自由大气之间的各种通量交换，可见这种二级环流无论产生原因还是所起作用都是有显著的差异。12.用Q矢量表示出的新形式方程有何优点？-125- 动力气象学复习思考题与习题201013.试讨论Q矢量与铅直运动的关系，为什么说Q矢量的方向总是指向上升区？14.你认为Q矢量旋度有何意义？习题1.设常变量与x无关，则一维正压适应方程组为uf0vtvf0uty2vc00ty2式中gh,cgH,H为均质大气高度。假设初始时气图9.1000压场均质，大气是静止的，而后突然在大风中建立了气压场，为aya,hh(y)，如0图9.1所示。试由一维适应方程组定性地讨论这种情形下风场和气压场相互适应的过程。解：适应方程可写成uf0vtv(gh,c2gH)(1)fu00ty2vc00tyh假定初始突然建立的气压场为hh(y)，且0。0yhv一方面，在气压梯度力的作用下，将产生北风(由(1)之第二式，因0，故0)，因ytv而在区域的左边形成水平辐合(即0)和质量堆积(即0，(1)式之第三式)；而在区域ytv的右边形成水平辐散(即0)和质量疏散(即0，(1)式之第三式)。从而削弱了初始突yt然建立的气压梯度，并随着时间的增加而继续受到削弱。另一方面，形成北风的同时，在科氏力的作用下产生东风(由(1)式之第一式，因v0，北u半球f0，则0)。从而建立了适应南北气压分布的东西风场，并随着时间的增加，东t风的数值逐渐增大。-126- 动力气象学复习思考题与习题2010v到一定时刻，北风达到极大，0，则达到地转平衡，即fu。但由于惯性，0ty扰动将在平衡位置附近振荡，并以惯性重力外波的形式四周传播。但重力惯性外波是频散波，在时间足够大时，v的振幅足够小，u和几乎不再随时间变化，地转平衡得以实现。当扰源尺度较小时，东风的科氏力fu还未来得及与气压梯度力平衡时，气压场已被填塞了，因而适应以风场为主，是气压场适应风场。当扰源尺度较大时，气压场被填塞需要足够的时间，因而科氏力有足够的时间发展来平衡气压梯度力，因而适应以气压场为主，是风场适应气压场。2.一维适应方程组描写的是什么性质的波动？试求出该波动的相速和群速，证明cgH，00既是单波的最小群速有是波群的最大群速。3.试求一维适应方程组满足初始条件ikyuue0ikyt0时，vv0eikyhhe0在无穷远处有界解，据此证明解中定常部分满足地转风关系，非定常部分为重力惯性外波，而且重力惯性的波是由初始的地转偏差激发出来的。提示：设解的形式uU(t)ikyvV(t)ehH(t0ifiky0ifi(kyt)i(kyt)u[u(AB)]e[AeBe]0i(kyt)i(kyt)vAeBekH0ikykH0i(kyt)i(kyt)h[u(AB)]e[AeBe]0式中2222222kgHfkcf,cgH0000001vgkhfu0000A[i]21vgkhfu0000B[i]24.试解释上述情况下，为什么风场和气压场达不到最终的适应状态？提示：非地转扰动充满整个空间。*5.试用黎曼方法证明一维适应方程满足vt0时，v(y),(y)t的解为-127- 动力气象学复习思考题与习题2010(yct)(yct)00v21222Jft(y)10L21yL0f0t2212f0tyL0f0t0()Jft(y)d()dyLft002yLft2L0f000L02L0002212ft(y)02L0式中Lc/f为罗斯贝变形半径，而J,J分别为零阶和一阶贝塞尔函数。00001*6.试用富氏变换方法，证明一维适应方程满足初始条件vt,0fu(y),v000t的解为1yL0f0t2212vu()Jft(y)dyLft00022L000L0提示：利用反演公式sinpq2x2J(qp2y2)ypixy0edxq2x20yp7.上题中若U常值yau0(y)0ya试证明，ta/c时，在y0处v随时间作惯性振荡，即0at时，v,0(t)Usintf0c0提示：根据给定条件不难求得UL0f0t2212v,0(t)Jft(y)dL000L200问题归结为求上式的积分。将J用它的级数表达式，然后逐项积分就可得到最后的结果。08.试证明一维适应过程中，位涡uf0q(y)2yc0是守恒的。9.由位涡守恒，证明二阶线性非齐次常微分方程2d1fq(y)2200dyL0-128- 动力气象学复习思考题与习题2010在无穷远有界解，即是一维适应过程的终态(它满足地转关系)，非齐次项q(y)为初始位涡0uf0q(y)()02t0yc0提示：利用第(8)题中的结论。10.根据常微分方程理论，具体求出上题的解。11fL(y)y(y)提示：00(q()eL0dq()eL0d)y00211.在一维适应过程中，设u,0v0t0时，0常值，ya(y)0y0证明最终适应状态为ey/L0sha/L00ya1(ey/L0sha/L)00yaey/L0sha/Lya00提示：将问题归结为求解如下的常微分方程2d1220yadyL02d112220yadyLL002d10ya22dyL0注意到，当y时，有界；在ya处，连续。12.二维正压适过程中位势运动满足广义波动方程(Klein-Gordon方程)(“教程”中(9.15)式)2222cf02020t若初始条件为t,0,0g(x,y)0t则解为f022cos(ct)r01c0g(xrcos,yrsin)rdrd0222c(ct)r0rc00若进一步设-129- 动力气象学复习思考题与习题20100，g常值rR0tt0时0，0rRt试证明在圆形区域中心处(r)0，当ctR时，有0gRcostf020(r,0t)()2fLtf000请以此讨论适应的速度。提示：在扰动中心处有1222cosctr0222222g0RL02L00tcc0tr0tcc0trt),0,0(rdrg[cos()sin()]0c0c2t2r2c2L2L00000222注意到ctR时，R/(ct)是小项，将ctctr进行二项式展开，有00002222Rctctr002ct01适应速度：t充分大作简谐振荡，振幅按t衰减，R(扰动水平尺度)愈大要求很长时间振幅才趋于零，即R愈大适应速度愈慢，适应速度还与L和g有关。0013.斜压适应过程中速度势满足广义波动方程(“教程”中(9.54)式)，22222[(f)]c002at22式中cRT(/)g为层结大气中重力内波特征速度，而p/p，p为地面平均aa00气压。证明，若作变数替换，即令11xd,ln0方程将化为221222()(f)c020a4t若设imA(x,y,t)em则A满足Klein-Gordon方程m-130- 动力气象学复习思考题与习题201022Amca22AfA021m0mt2m4*14.试利用数学方程中的降维法，从二维正压适应过程的波动解，求得一维适应过程的波动解。提示：在二维波动解中，令0，即为一维波动解。在简化过程中要用到J(x)的积分表达0式，即1Jcos(xsin)d0015.二维正压适应过程的适应状态(即适应终态)满足以下方程(“教程”中(9.33)式)21q(x,y)20L02f00式中q(x,y)002c0为初始位涡，设00r2222Rr2，而rxyA[q()2()2]e2R00LR02rr2证明A2[()2]e2RR并求出适应状态的速度与初速度之比。提示：注意到121122()K((x)(y))dd202LL016.利用正压准地转方程组(“教程”中(8.9)式，证明散度满足21f0()V(f)22ggLc0017.若f的尺度为f，的尺度为U/L，又设hHh,hH，证明在Ro1条件下，000均质不可压缩流体位涡(f/)h可简化为f12gh(fL)()0hHf00提示：Ro1，即U/Lf，相对f可略。00-131- 动力气象学复习思考题与习题201018.利用正压准地转方程组(“教程”中(8.9)式)，证明有以下能量守恒定理(K)dA0tA222A代表闭合系统所占的区域，K()2/为动能，而L2/为位能。20提示：从“教程”中(8.9)式中消去水平散度，再用乘以方程两端，利用高斯定理，即可得证。19.证明静力稳定度参数可以表示为s222cNHas22pp2式中c是p坐标系另一种静力稳定度参数a2RTcR()HHaag220.试证明，对于等温大气，与p成正比。s21.若1C/100m，T和随高度分布如下d850hpaT5C.065C/100m500hpaT18C.065C/100m200hpaT56C.020C/100m试计算各层上的。s2lnRT提示：()s2dppg4850hpa,s.1132104500hpa,s.300110200hpa,.3648104s6122.在45N，500hpa等压面大会那个，某点的相对涡度的局地变化为310s3/HR，161风为西南风20ms，相对涡度沿东北方向以410s/100km的变绿减小，取平面近似，试用准地转涡度方程计算水平散度值。61提示：V.28410s23．试由准地转方程组到出准地转位涡方程。24.设等压面位势高度可表示为-132- 动力气象学复习思考题与习题2010p10(p)cf0ycos()1ksin(xct)p0式中仅是p的函数，c是波速取为常值，k是纬向波数，p1000hpa。00(1)取0，试利用准地转涡度方程求出水平散度；(2)取pp时0，通过积分连续方程，试求(p)；0(3)绘出750hpa和250hpa等压面位势高度分布的概略图，并标出最大的水平辐合辐散，及正负涡度平流的位置。122pVckscoscosk(xct)fp00提示：22ckpp0sincosk(xct)fp0025.依据上题给出的位势场，设为常值，利用准地转绝热方程，求出(p)的表达式，指出sk取何值，这一表达式与上题所得结果相一致。2cfp0sincosk(xct)pps00提示：22f20k2ps026.依据(24)题给出的位势场，利用准地转方程求出(p)(这里仍设为常值，取0)，s___2222证明kf/(p)时，则的表达式与(25)题中表达式是一样的。0s0222ckf/(p)p00s提示：sincosk(xct)2222kf/(p)p0s0027.设某一时刻等压面位势高度分布为p1(p)fUycos()fcksinkx000p0式中U为常值，取为常值。s(1)根据准地转位势倾向方程，证明___12f02k()时，0spt0(2)根据准地准方程，求出/t0时(p)的表达式；(3)沿x方向做一剖面，标出槽、脊线的位置及垂直速度、水平辐合、辐散、冷暖温度平-133- 动力气象学复习思考题与习题2010流中心的位置。cfUp0提示：(2)(p)coskxsinpps0028.设等压面位势高度分布为1p(p)f[UykVcos()sink(xct)]00p0式中U,V为常值，取为常值，又设pp时，0。0(1)根据准地转涡度方程求；(2)用准地转绝热方程求，指出当c取何值时，的表达式与(1)中一样；(3)用准地转方程求出的表达式，并证明与(1)和(2)的结果是一致的。Vp02p提示：(1)(p)[k(cU)]sincosk(xct)fp00(2)cU2222kf/p0s029.分析(24)、(27)、(28)题中所给出的位势场相对应的地转风场的特点。-134- 动力气象学复习思考题与习题2010第十章大气运动的稳定性理论复习思考题1.如何理解流体动力学稳定性概念？2.如何用标准波型法处理流体动力学稳定性问题？不稳定增长率是如何定义的？答：讨论小扰动在初始阶段的不稳定发展问题，采用标准波型法，求解经过线性化处理的控制方程组，以确定出扰动不稳定增长的判据。当CCiC中，C0时，扰动是不稳定的，kC为不稳定波的增长率。riii3.如何利用气块法确定惯性稳定性条件？气块法的基本假设有哪些？4.什么是开尔文—亥姆霍兹不稳定？它属何种类型波动的不稳定？这种不稳定与哪些因子有关？5.什么是长波正压不稳定？什么是长波斜压不稳定？试讨论这两类不稳定扰动发展的能源有何差别？答：在具有水平切边基流中是产生的长波不稳定称为正压不稳定；在具有铅直切边基流中是产生的长波不稳定称为斜压不稳定。正压不稳定发展的能量来自基本纬向气流的平均动能；斜压不稳定发展的能量主要来自有效位能的释放。6.如何应用瑞利方法讨论正压不稳定的必要条件？长波正压不稳定的必要条件是什么？7.利用准地转两层线性斜压模式讨论斜压不稳定得到哪些主要结论？试从斜压不稳定与波长、垂直风切变、静力稳定度、因子的关系方面加以说明。8.中纬度斜压不稳定波的结构有何特点？如何理解这一结构特点？9.为什么说中纬度斜压不稳定是中纬度斜压系统发展的主要机制？10.利用标准波型法讨论流体动力学稳定性问题有何局限性？习题1.对于一个绕局地铅直轴作轴对称运动的不可压缩涡旋，其水平运动方程在柱坐标系中的形式为2dVVprdtrrdVVVr0dtrVdr/dt是径向速度，Vrd/dt是切向速度，r是距局地铅直轴的距离。设空气径向运r动不改变环境气压分布，而环境切向速度与环境气压场满足旋衡风关系2（V/rp/r），气块在初始位置rr上其角动量MrV与环境角动量M相00002同，试用气块法证明，当M/r0时，圆形涡旋是惯性不稳定的。提示：（1）根据所给条件，径向运动方程可改写为-135- 动力气象学复习思考题与习题2010223dVrV0VM或dVr1(22)MM33dtrrrdtrdM（2）微团在运动过程中角动量守恒，即0dt2.上题若计入科里奥利力作用，且设f为常值，惯性不稳定条件有何改变？提示：（1）考虑科里奥利力后，方程组的形式变为2dVVprfVdtrrdVVVrfV0dtrr（2）微团运动过程中绝对角动量守恒dMfa,0Mr(Vr)adt2（3）环境切向速度应满足梯度风平衡，即2VpVfrr2此种情形涡旋惯性不稳定条件为M/r0a3.假设大气基本状态是满足地转平衡、静力平衡的无摩擦绝热的纬向运动，纬向速度沿y方向和z方向都呈线性变化，静力稳定度设为常值，等熵面如图10.1所示。设和基本状态图10.1处于平衡的气块受到一沿等熵面的扰动，并设扰动是与x无关的对称性扰动，试用气块法证明这种对称性扰动的不稳定性的判据为Ria1f式中ug2ug22lnf,RiN/(),Ngayzz这表明小的绝对涡度，强的纬向风的铅直切变，及弱静力稳定度最有利不稳定发生。提示：（1）考察微团沿等面位移环境大气对它们所作的功，如在一定条件下作做正功则s由此可得对称不稳定判据。环境对微团所作的功可表示为WFsd(dv/dr)y，（2）微团的运动方程可表示为dudyfvfdtdtdvf(uu)dtg（2）经向位移引起的纬向速度改变为uufy0微团沿等面移至新位置地转纬向速度（即环境纬向速度）的改变为-136- 动力气象学复习思考题与习题2010uugguuzyg0zy（3）等面坡度为zln/yfug/z()2yln/zN4.考虑基本气流u不仅仅是y的函数，而且是p的函数，即uu(y,p)，线性化后的准地转位势涡度方程为22fq20(u)()02ttpxys式中222f0q(yy)202yps是地转流函数。热力学能量方程线性化后的形式为us(u)0txpxpf0上下边界条件为uupp,0、;0pp,0、0ttsspp侧向为刚壁，侧边界条件为12yy,v;0yy,v01122xx为简单起见，设为常值，证明激流内扰动不稳定性的必要条件是q/y在区域(y,y)、s12(p,p)内某处为零（p是上界气压，p是下界气压）。tsts提示：（1）利用雷利方法，取如下形式解ik(xct)(y,p)e代入位涡方方程后，以的复共轭相乘，而后对y，从y到y、对p，从p到p进行积12ts分；（2）利用线性化后热力学能量方程将上下边界条件改写成为pp,pp时ts(uc)0p5.试决定出正压不稳定扰动增长率的最大可能上限。提示：将“教程”中（10.44）第一式乘以第二式乘以，然后将两式相加后，从-d到dri对y进行积分，利用边界条件（10.39）可得-137- 动力气象学复习思考题与习题20102ducdu22r()()dyd222ri(uc)cdyrid2222dd2d2rik()dy[()()]dy0driddydy因而2ducdu22d222r()()k()dyd(uc)2c2dy2ridriri注意到22(uc)c(2uc)criri对上述不等式进行分析可得2dumax2dyci22k2dumax2dykcimax2k6.证明正压不稳定扰动的相速不能超过基本气流的最大值。提示：作变数替换，令G(y)uc将“教程”中（10.38）式变换为ddGd(uc)dG2[(uc)]k(uc)GG0dydydydy将上式分开成实部和虚部，实部乘以(uc)G，虚部乘以(uc)G，然后相加。类似上一rrri题的做法就可估计c定小于在(d,d)中的极大值，即cmaxurr7.赤道辐合带（ITCZ）是北半球东北信风与南半球东南信风在赤道附近相遇形成的气流辐合带，基本气流廓线可以表示为yy0UUth0dyy是ITCZ中心位置，U0,d为径向切变宽度，y、U、d均为常值。试证明正压0000不稳定的必要条件是2d.07698U022提示：注意讨论此情形中U/y的极大和极小值。8.激流有东风急流，西风急流之分，其经向切变形式可表示为-138- 动力气象学复习思考题与习题2010yy20UUsech0dyy是急流中心位置，d为急流有效宽度，U0为西风急流，U0为东风急流，试000证明正压不稳定的必要条件为2d22U30提示：同上题9.线性化后的准地转方程组为2(u)f0txxpdu(u)stxpdpxf0式中为地转流函数。为研究纯斜压不稳定问题，今设（1）0，即不考虑效应；（2）为常值s（3）基本西风气流u(p)a(pp)s（4）边界条件取为pp,0;0pp,0ts（1）证明，问题可归结为求准地转位涡方程22f20(u)()02txps满足边界条件pp,()a0stpxpp(,0u)a0ttxpx的解。这里的uap为模式大气顶上的基本西风。s（2）试证明，若设ik(cct)(p)e化为则斜压不稳定问题将化为求一常微分方程的本征值问题，即化为求方程22dks(uc)[]022dpf0满足边界条件-139- 动力气象学复习思考题与习题2010pp,ca0sppp(,0uc)a0tp的非零解问题。（3）(p)不恒为零，试证明2kpu4f04f0ssc11cth()222skpsskpsf0（4）对于斜压不稳定的波（c0），证明i(th)(cth)0其中以令kpss2f0（5）th0，而cth0的解为，.11997，证明斜压不稳定的条件为000cth00即pssLLcf00L为临界波长，即只有LL的波长是不稳定的。cc（6）对于斜压不稳定波，证明其增长率为af0kc(th)(cth)is可见斜压不稳定波的增长率与基本气流的铅直切变成正比，而与静力稳定度的平方成反s比。10.铅直方向对p等距分层的两层准地转模式，线性化后的扰动方程组为2f110(U)122txxxp2f330(U)322txxxpps(U)()U()m13T132txxf0模式分层如图10.2所示，标号1、2、3分别代表250、500、750hpa，为扰动地转流函数，-140- 动力气象学复习思考题与习题2010而UUUU1313U,U,p500hpamT22图10.2试证明略去效应的方程的形式为2222f013(2)[U()]222Txpxxxs或写成224f02(2)U22xpxs式中2f202ps221313,,12322xx2你能解释所得结果的意义吗？11.对于（10）题中两层准地转模式，设解得形式为ik(xct)(,,)(A,B,E)e132代入模式方程组，则得f20ik[(cU)k]AE01pf20ik[(cU)k]BE03ppsik(cU)Aik(cU)BE031p这是关于A、B、E的齐次线性方程组，要有非零解，其系数行列式应为零，从而求得频率方程为22(k)/12cUm222k(k2)式中24222U2(k)T422222k(k2)k2若取U0。T（1）证明模式中包含两组中型波波动，相速分别为-141- 动力气象学复习思考题与习题2010cU,cU1m22m22kk2（2）试用表示出和，从而证明两组波动中一组是正压的（罗斯贝），一组是斜压的132（斜压罗斯贝波）。222提示：（2）对于cU/k,,0；对于cU/(k2)，有1m2312m2ikf02221sp(k2l)0112.考虑线性摩擦作用（即令FV，是常数），试证明（10）题中两层准地转模式中扰动涡度方程可以写成为（不计作用）2f10(U)122txxp2f30(U)322txxp任取U0，试证明模式中仍包含两组波动，其相速表达式与（11）题中相似，只不过处T用ik代替罢了，波动成为衰减波。22提示：cUi/k,cUik/(k2)1m2m13.（10）题中的两层准地转模式中，若取=0，借助（11）题中相速表达式证明（1）=0条件下，相速为22k2/12cUU()mT22k2（2）证明此种情形下不稳定波的临界波长为p2sLcf0（3）证明当22k2(2)1时，不稳定斜压波振幅增长率最大？（增长率定义为akc）。i611（4）若取210m,U20ms，振幅增长到原振幅的e倍，需要的时间是多少？T（5）试决定最不稳定（振幅增长率最大）斜压波中250hPa与750hPa位势场的位相差。证明500hPa位势场的位相超前平均温度场位相90。-142- 动力气象学复习思考题与习题20104提示：（4）.60410s（约17小时）22（5）此情形下k2(2)1，位相落后约655.。1314.（10）题的两层准地转模式中，若取22UU,k13试用表示出此情形下中性波（即0）的和。1322(3)1ikp提示：31，21()3143f015.（10）题中的两层准地转模式中若取0，但考虑线性摩擦作用（扰动涡度方程形式参见（12）题），则相速表达式类似于（11）题给出的形式，只不过处处用ik代替罢了，试证明斜压不稳定条件为UT22/122(k)并由此讨论不稳定斜压波所需U的最小值及摩擦对波的阻尼作用于波长关系。T提示：minUu，摩擦抑制了波动的发展，对波长较短（波数较大）的波动，这种抑T222制作用是很强的，当k2时无论U的数值有多大，由于摩擦作用，这种波动随时间总是T减弱的。16.考虑基本纬向气流的经向切变，线性化后的正压涡度方程为222dUU()02txdyx刚壁边界条件为v(D)(D)0x______________1L若以()代表沿纬向一个波长内的平均值()()dxL0___________22_____dDuvDdU试证明正压扰动能量方程为dyuvdydtD2Ddy并以此说明正压不稳定扰动能量来自基本气流的动能。提示：以乘以方程各项，然后将所得结果在(D,D)上对y积分，再沿纬向上一个扰动波长积分。求积分过程中注意利用高斯定理和边界条件。17.利用（10）题中两层准地转模式，试证明扰动动能方程和有效位能方程分别为________________dKf0()213dtp-143- 动力气象学复习思考题与习题2010_______________________________________________dA2f0U()()()T1313213dtxp_______其中()代表沿纬向一个波长内的平均值，而K、A分别为_______________________11232K([)()]2xx2______________2A()132并解释方程各项的意义。提示：以、、()分别乘准地转两层模式中第一、第二、第三方程，然后再沿纬1213向上一个扰动波长积分。18.设基本气流随纬度呈线性变化，即UUAy（A为常值）0不考虑作用，水平无辐散涡度方程线性化后的形式为22U0tx式中是扰动流函数。设初始扰动为vvsinkx,u00试通过求出满足初始条件的解，证明此扰动一定是稳定的。2提示：对而言，这是一个平流方程，其通解为2F(xUt)F是一个任意函数，可用初值来确定它的形式，并求出满足初始条件的解为vcosk(xUt)022k1(At)vkAtsink(xUt)0uUU22yk1(At)vsink(xUt)0v22xk1(At)可见波是稳定的。-144- 动力气象学复习思考题与习题2010第十一章低纬度热带大气动力学复习思考题1.低纬度（或称热带地区）有哪些主要运动系统？2.什么是对数压力坐标系？它有何优点？3.对低纬大尺度运动进行尺度分析得到哪些主要结论？为什么进行尺度分析时，要区分无降水和有降水两种情形进行讨论？有降水和无降水这两种情形下，低纬度运动在性质上有何差异？4.试将低纬大尺度运动的特征与中纬度大尺度运动的特征作一比较。5.平均纬向气流径向分布如下2u(y)usin[l(yy)]00式中u、y、l为常数，y为距赤道的距离，试确定正压不稳定的必要条件。006.什么是第二类条件不稳定（CISK）？这类不稳定扰动增长的能源是什么/7.试从物理上定性说明小尺度积云对流与天气尺度扰动的相互作用，导致天气尺度扰动自激增长过程（即CISK过程）。8.试用角动量守恒原理初步阐述台风眼的存在？9.开尔文波有哪些主要性质？“开尔文波波动能量集中在赤道附近”对这几句话你是如何理解的？10.混合罗斯贝—重力波有哪些主要性质？11.试根据“教程”的（11.99）式，决定混合罗斯贝—重力波中铅直速度扰动。-145- 动力气象学复习思考题与习题2010第十二章非线性动力学基础复习思考题1.以非线性振动方程2dxdxf(x,)02dtdt为例，说明什么是相平面，什么是相点，什么是相轨线，引进这些概念有何意义？2.相平面上，一个相点可能有两条相轨线通过吗？3.若相轨线收缩于一点，这点为奇点，此时方程解的性质如何？如果相轨线是一条封闭的曲线，方程有什么性质的解？4.什么叫线性自治系统？什么叫非线性自治系统？5.低阶动力系统是什么意思？6.考虑一个简单的非线性系统UUUU(UU)Btt右端第一项代表摩擦耗散，第二项代表牛顿型强迫，将U进行傅立叶级数展开，对于低阶系统，试根据“教程”的讨论，总结出无强迫、耗散（如,00），与有强迫耗散非线性系统轨线的特征和稳定性。7.劳伦兹对正压无辐散涡度方程的截谱模式进行了最大简化，只取谱级数中三项（见“教程”中（12.54）式），即取acoslyacoskxdsinkxsinly011011这三项由何物理意义？如何理解指数循环正压理论的基本观点，是认为指数循环式由于单一超长波与基本气流非线性相互作用的结果。8.对劳伦兹系统进行分析的结果给人们有哪些启示？9.什么是非线性波？为什么非线性平流会造成波的突陡现象？10.耗散对非线性波性质有何影响？11.耗散作用对非线性波性质有何影响？12.讨论非线性波有何现实意义？-146-'