《高等数学B(三)》强化训练题1-3及解答 2.6元.pdf 26页

'《高等数学B(三)》强化训练题一一.单项选择题⎛⎞x221.设f⎜⎟xy+=,xy−,则f(,)xy=().⎝⎠y222⎛⎞xxy(1−)xy(1−)22A.()xy+−⎜⎟B.C.D.x−y⎝⎠yy+1y+1⎧xy⎪,(xy,)(≠0,0),222.二元函数fxy(,)=⎨xy+在点(0,0)处().⎪⎩0,(,)xy=(0,0)A.连续、偏导数存在B.连续、偏导数不存在C.不连续、偏导数存在D.不连续、偏导数不存在333.函数f(,)xy=−x12xy+8y在驻点(2,1)处().A.取得极小值B.取得极大值C.取不到极值D.无法判断∞∞nn4.若幂级数∑axn在点x=−2处收敛,则∑axn在点x=1处().n=0n=0A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性不定n⎛⎞15.设u=−(1)ln1⎜+,则下列结论正确的是().n⎟⎝⎠n∞∞∞∞22A.∑un与∑un都收敛B.∑un与∑un都发散n=1n=1n=1n=1∞∞∞∞22C.∑un发散而∑un收敛D.∑un收敛而∑un发散n=1n=1n=1n=1二.填空题1 xy+6.设zx=+e(1x++)ln(1y),则dz=.(1,0)1x7.交换二次积分的积分次序:d(xfxyy,)d=.∫∫0x2228.已知区域Dx={(,)|1yxyy≤+≤≤4,0},则二重积分∫∫ddxy=.D∞n(3x−)9.幂级数∑n的收敛域为.n=1n⋅3xn10.y=2的麦克劳林公式中x项的系数为.三.计算下列各题x+y∂z11.已知zx=+(1y),求.∂x∂∂zz12.设函数z=f(x,y)由方程2sin(x+2yzxy−=+−3)23z所确定,求+.∂∂xy2⎛⎞y∂z13.设函数zfx=⎜,⎟,其中f(,)uv具有二阶连续偏导数,求.⎝⎠x∂x∂y14.某企业生产的一种产品同时在两个市场销售,售价、销售量分别为p,;,pqq,需1212求函数分别为qp=−240.2,q=−100.05p,1122总成本函数为Cq=+3540(+q).12问:企业如何确定两个市场的售价,才能获得最大总利润?222215.试求∫∫(+)xyxydd,其中区域D为xxy≤+≤2,xy≥0.D112−x16.计算二重积分∫∫dedyx.0y∞nkn+17.判别级数∑(1)−2(其中k为一正常数)的敛散性,若收敛,讨论绝对收敛还是n=1n2 条件收敛.∞118.求数项级数∑的和.n=12(n−1)(2n+)11+x19.将函数fx()=arctan在x=0处展开为幂级数,并指出收敛域.1−x∞1n−120.求幂级数∑nx在[2,2)−内的和函数.n=1n⋅2四.证明题21.设f()x为正连续函数,证明:bb12∫∫f()dxxd(xba≥−)(ab<).aafx()3 《高等数学B(三)》强化训练题一解答一.单项选择题1.B2.C3.A4.A5.D二.填空题1y36.2edx++(e2)dy7.∫∫d(yfxyx,)d8.π0y2n(ln2)9.[0,6)10.n!三.计算下列各题x+y∂z11.已知zx=+(1y),求.∂x解:因为lnzxy=+()ln(1+xy),所以1∂zy⋅=+++⋅ln(1xy)(xy),zx∂+1xy则∂+zxxy+⎡()yy⎤=+(1xy)⎢ln(1++xy)⎥.∂xx⎣1+y⎦∂∂zz12.设函数z=f(x,y)由方程2sin(x+2yzxy−=+−3)23z所确定,求+.∂∂xy解:令Fxyz(,,)2sin(2=+xyzx−3)−−2yz+3,则F=2cos(x+2y−3)1z−,Fx=4cos(+−−2y3)2z,Fx=−+6cos(2y−3)3z+,xyz所以4 ∂∂zzFx12Fy=−=,,=−=∂∂xF33yFzz故∂∂zz+=1.∂∂xy2⎛⎞y∂z13.设函数zfx=⎜⎟,,其中f(,)uv具有二阶连续偏导数,求.⎝⎠x∂x∂y解:因为∂zy⎛⎞y=⋅+⋅−=−f′1,ff′′f′12⎜⎟2212∂xx⎝⎠x所以2∂∂zz⎛⎞∂11⎛y1⎞==⎜⎟ff′′⋅−+⎜′f′′⋅⎟1222222∂∂xyyx∂∂⎝⎠xxxx⎝⎠11y=−−f′′′ff′′.1223222xxx14.某企业生产的一种产品同时在两个市场销售,售价、销售量分别为p,;,pqq,需1212求函数分别为qp=−240.2,q=−100.05p,1122总成本函数为Cq=+3540(+q).12问:企业如何确定两个市场的售价,才能获得最大总利润?解:总利润函数LRCpqpq=−=+−+[3540(qq+)]11221222=−+−−32pppp0.2120.051395,1122由5 ⎧∂L=−320.4p=0,⎪1⎪∂p1⎨⎪∂L=−120.1p=0,2⎪⎩∂p2解得pp==80,120.12因驻点唯一,故当pp=80,=120时企业所获总利润最大.12222215.试求∫∫(+)xyxydd,其中区域D为xxy≤+≤2,xy≥0.Dπ2cosθ22223解:∫∫DD(+)xyxydd=⋅=∫∫rrrddθθ∫0cd∫osθrdrπ15241531π45=∫cosθθd=⋅⋅⋅=π.44042264112−x16.计算二重积分∫∫dedyx.0y11221x−−xx解:∫∫dedyxx=∫∫dedy00y011−−xx2211⎛⎞1==∫xxed−e=⎜⎟1−.022⎝⎠e0∞nkn+17.判别级数∑(1)−2(其中k为一正常数)的敛散性,若收敛,讨论绝对收敛还是n=1n条件收敛.∞∞nkn+kn+解:考察∑∑(1)−=22,nn==11nnkn+2∞1∞kn+n因为lim=1,而∑发散,所以∑2发散;n→∞1n=1nn=1nnkn+对于原交错级数,u=满足n2nuun>=(1,2,)⋅⋅⋅,nn+16 且kn+limu=lim=0,n2nn→∞→∞n所以由莱布尼兹判别法知:原级数收敛;综上可知原级数条件收敛.∞118.求数项级数∑的和.n=12(n−1)(2n+)1解：因为级数的前n项之和nn11⎛⎞111⎛1⎞Sn==∑∑⎜⎟−=⎜1,−⎟kk==11(2kk−+1)(21)2⎝⎠2kk−+1212⎝2n+1⎠所以1limS=,nn→∞21故所求的和为.21+x19.将函数fx()=arctan在x=0处展开为幂级数并指出收敛域,.1−x解:因为∞1nn2fx′()=2=−∑(1)x,1−<1即x>e时,级数发散;euen+1当x=e时,由=>1可知limu≠0,级数发散.nnu⎛⎞1n→∞n⎜⎟1+⎝⎠n6 综上可得当0≤x(R0),则∫∫x(1yx+)ddy=().D2223A.πRB.4πRC.πRD.03二.填空题sin(x−y)6.设z=e,则dz=.1 ∂z7.设zzxy=(,)由方程zyxz=−ϕ()所确定,其中ϕ()z可导,则=.∂y∞nn(1)−x8.幂级数∑的和函数为.n=1n!∞n(2x−)9.∑的收敛区间是.n=1n2222210.若∫∫()xy+dσ=2π,其中Dxyaa:(+≤>0).则a=.D三.计算下列各题yzx11.设uxyz=++,求du.2y∂z12.设zfxyx=(e,,),其中f具有二阶偏导数,求.∂x∂y22xy+2213.计算二重积分∫∫edxdy,其中Dxy:1≤+≤4且0≤yx≤.D∞(1n−)!14.讨论级数∑n+1的敛散性.n=1nx215.已知f(,,)exyz=yz,其中zzxy=(,)是由xyzx++−=yz0所确定,且f为可微函数,求f′(0,1,1)−.x216.将y=−+ln(13xx2)展开成x的幂级数,并求收敛区间.2217.计算∫∫|1−−xy|dσ,其中Dx={(,)0yx≤≤≤≤1,0y1}.D2222y18.求fxy(,)2=x−+4y1在椭圆x+=1上的最大值、最小值.41yyyy119.计算积分2deyxxddexy+dx.∫∫111∫∫y4222 ∞121n+20.求级数∑nx的和函数.n=12(21)n+2221.设函数f(,)xy在区域Dxy:0≤+≤1上连续,如果222π∫∫⎡⎤xyfxyfxyxy+(,)−≥(,)dd,D⎣⎦8求f(,)xy解析表达式.3 《高等数学B(三)》强化训练题三解答一.单项选择题1.C2.D3.A4.B5.D二.填空题sin(xy−−)sin(xy)16.ecos()x−−yxdecos()xyy−d7.1(+xϕ′z)−x8.e−19.(1,3)10.2三.计算下列各题yzx11.设uxyz=++,求du.解:因为∂uyx−1∂uyz−1∂uzx−1=+yxzlnz,=+xlnxzy,=+yyxlnz.∂x∂y∂z所以∂∂∂uuuddduxy=++dz∂∂∂xyzyx−−−111zyxz=+(lyxzzn)dxz++(lyxxn)dyx++(lzyyn)dz.2y∂z12.设zfxyx=(e,,),其中f具有二阶偏导数,求.∂x∂y解:因为∂z=⋅+⋅=+f′′′e1yyffef′,1313∂x所以2∂∂zz==⎛⎞∂eeyyf′+(e1fxf′′⋅y+′′⋅)e+fxf′′⋅y+′′⋅1⎜⎟111123132∂∂xy∂∂yx⎝⎠4 yy2yy=++++eeeef′xf′′′fxff′′′′′.11112313222xy+2213.计算二重积分∫∫edxdy,其中Dxy:1≤+≤4且0≤yx≤.D222xy+r解：∫∫edxdyr=∫∫edrdθDDπ22=4dedθrrr∫∫01π2r22=∫ed()r81π4=(e−e).8∞(1n−)!14.讨论级数∑n+1的敛散性.n=1n解：因为n+1unn!111n+1lim=lim⋅=lim⋅=<1,n+22nnn→∞unn→∞(1+−)(1)!n→∞⎛⎞11⎛⎞en⎜⎟11++⎜⎟⎝⎠nn⎝⎠因此由正项级数的比值审敛法知,级数收敛.x215.已知f(,,)exyz=yz,其中zzxy=(,)是由xyzx++−=yz0所确定,且f为可微函数,求f′(0,1,1)−.x解:设Fxyzxyzxyz(,,)=++−,有∂−zyF′1zx=−=−=−2,∂−xF′1xy(0,1,1)−z(0,1,1)−(0,1,1)−所以⎛⎞xx2∂zfy′(0,1,1)−=+⎜⎟ezey⋅2z⋅=14+=5.x⎝⎠∂x(0,1,1)−216.将y=−+ln(13xx2)展开成x的幂级数,并求收敛区间.5 2解:ln(13−+=−x2xx)ln[(12)(1−=−+−xx)]ln(1)ln(12),x因为∞nxln(1−=x)−∑,收敛区间为(1,1)−,n=1n∞n(2)x⎛⎞11ln(12)−=x−∑,收敛区间为−121<