【侯亚君版本《概率论与数理统计》】1-3章习题解答.doc 21页

'习题一1．写出下列随机试验的样本空间.⑴一枚硬币掷两次,观察朝上一面的图案.⑵向蓝筐投球直到投中为止,记录投篮的总次数..⑶公交车五分钟一辆,随机到车站候车,记录候车时间..解⑴;⑵样本空间为；⑶样本空间为.2.设表示三个事件,试用表示下列事件.⑴与都发生,而不发生;⑵至少有一个发生;⑶都发生;⑷都不发生;⑸不都发生;⑹至少有两个发生;⑺中最多有一个发生.解⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺或.3.设是三个事件,计算下列各题.⑴若求发生,但不发生的概率.⑵若,求都不发生的概率.⑶若,求发生,但不发生的概率.⑷若,求至少有一个发生的概率;都不发生的概率;发生,都不发生的概率.21 ⑸若求至少发生一个的概率.⑹若分别求事件的概率.解⑴发生,但不发生的概率：;⑵;⑶，发生,但不发生的概率：；⑷，至少有一个发生的概率：；都不发生的概率：；发生,都不发生的概率：;⑸至少发生一个的概率：;⑹,4.从0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率.⑴三个数字中不含0和5;⑵三个数字中不含0或5;⑶三个数字中含0但不含5.解设事件分别表示三个数字中不含0和5，则⑴三个数字中不含0和5的概率：21 ；⑵三个数字中不含0或的概率：;⑶三个数字中含0但不含5的概率：.5.把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3的概率各是多少.解设事件分别表示有球最多的杯子中球数是1,2,3，则有球最多的杯子中球数是1的概率是：；有球最多的杯子中球数是3的概率是：；有球最多的杯子中球数是2的概率是：.6.12个球中有4个是白色,8个是红色.现从这12个球中随机地取出两个,求下列事件的概率.⑴取到两个白球;⑵取到两个红球;⑶取到一个白球,一个红球.解⑴取到两个白球的概率：；⑵取到两个红球的概率：；⑶取到一个白球,一个红球的概率：。7.有50件产品,已知其中有4件次品,从中随机取5件,求（结果保留三位小数）:⑴恰有一件是次品的概率；⑵没有次品的概率；⑶至少有一件是次品的概率.解⑴恰有一件是次品的概率：；21 ⑵没有次品的概率：；⑶至少有一件是次品的概率：。8.从1,2,…,9这九个数字中,有放回地取三次,每次取一个,试求下列事件的概率（结果保留三位小数）.⑴三个数字全不同;⑵三个数字没有偶数;⑶三个数字中最大数字为6;⑷三个数字形成一个严格单调数列;⑸三个数字之乘积能被10整除.解⑴三个数字全不同的概率：;⑵三个数字没有偶数的概率：;⑶三个数字中最大数字的概率：;⑷三个数字形成一个严格单调数列的概率：;⑸三个数字之乘积能被10整除的概率：。9.掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.解设事件分别表示两颗骰子点数之和为7，两颗骰子中有一颗为1点，则所求概率：10.个人排成一排,已知甲排在乙的前面,求甲乙相邻的概率.解设事件分别表示甲排在乙的前面，甲乙相邻，则所求概率：.21 11.已知在10件产品中有2件是次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样,求下列事件的概率.⑴两件都是正品;⑵两件都是次品;⑶一件是正品,一件是次品;⑷第二次取出的是次品.解⑴两件都是正品的概率：;⑵两件都是次品的概率：;⑶一件是正品,一件是次品的概率：;⑷设事件分别表示第一，二次取出的是次品，由全概率公式，.12.袋中有5个红球,4个白球,从中取3次,每次取1个球.⑴如果作不放回抽样,求前2次取到红球,后1次取到白球的概率;⑵如果取到红球,将红球拿出,放回2个白球,否则不放回,求前2次取到红球,后1次取到白球的概率.解设事件表示第次取出红球，⑴前2次取到红球,后1次取到白球的概率：；⑵前2次取到红球,后1次取到白球的概率：13.8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支步枪中任取一支,求击中靶子的概率;若已知中靶了,求所使用的枪是校准过的概率.解设事件表示击中靶子，事件表示校准过步枪，则，，21 ;.14.现有6盒粉笔,其中的3盒,每盒有3只白粉笔,6只红粉笔,记作第一类;另外2盒,每盒有3只白粉笔,3只红粉笔,记作第二类;还有1盒,盒内有3只白粉笔,没有红粉笔,记作第三类.现在从这6盒中任取1只粉笔,求取到红粉笔的概率;如果知道取到了红粉笔,求红粉笔取自第一类的概率.解设事件表示取到红粉笔，事件表示在第类取出的，则;.15.若事件相互独立，证明：⑴与相互独立；⑵与相互独立;⑶与相互独立.证明：⑴，与相互独立；⑵，与相互独立;⑶，与相互独立.16.若事件相互独立,计算:⑴;⑵.解⑴;⑵.17.证明:⑴若事件的概率,则与任意事件独立;21 ⑵若事件的概率,则事件相互独立的充分必要条件是.证明⑴设是任一事件，则，得，与任意事件独立；⑵必要性：若事件相互独立，则，有，，因此，充分性：若，则，因此，事件相互独立。18.三个人独立地去破译一份密码,他们译出的概率分别为.问能译出此密码的概率.解设事件表示第个人独立地破译了密码，则能译出此密码的概率：19.当危险情况发生时,自动报警器的电路即自动闭合而发出警报,我们可以用两个或多个报警器并联,以增加可靠性.当危险情况发生时,这些并联中的任何一个报警器电路闭合,就能发出警报,已知当危险情况发生时,每一警报器能闭合电路的概率为0.96.试求:⑴如果两个警报器并联,则报警器的可靠性是多少?⑵若想使报警器的可靠性达到0.9999,则需要用多少个报警器并联?解设事件表示第个自动报警器能闭合电路⑴两个警报器并联,则报警器的可靠性是：;⑵.若想使报警器的可靠性达到0.9999,则至少需要3个报警器并联.20.设甲盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;乙盒子中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球.独立地分别在两只盒子中各取一只球.21 ⑴求至少有一只蓝球的概率;⑵求有一只蓝球一只白球的概率;⑶已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率.解⑴至少有一只蓝球的概率：；⑵有一只蓝球一只白球的概率：；⑶已知至少有一只蓝球,则有一只蓝球一只白球的概率：。21.一大楼装有5台同类型的供水设备,调查表明在一小时内平均每个设备使用6分钟,问在同一时刻，⑴恰有2台设备被使用的概率是多少?⑵至少有2台设备被使用的概率是多少?解⑴恰有2台设备被使用的概率：；⑵至少有2台设备被使用的概率：。习题二1．将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记为正面出现的次数,求的分布律.解，，。2.有4个小球和两个杯子,将小球随机地放入杯子中,随机变量表示有小球的杯子数,求的分布律.解3.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,随机变量表示取出的3只球中的最大号码,求的分布律.21 解4．一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为，记表示球队结束比赛时的比赛次数，求的分布律.解5.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为,失败的概率为.(1)将试验进行到出现一次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布律(此时称服从参数为的几何分布).(2)将试验进行到出现次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布律(此时称服从参数为的负二项分布分布或巴斯卡分布).解(1)；(2)6.设离散型随机变量的分布律为求A的值及概率.解，7.一大批电子元件有10%已损坏,若从这批元件中随机选取20只来组成一个线路,问这线路能正常工作的概率是多少？解设随机变量表示线路中电子元件损坏的个数，则，线路能正常工作的概率：。8．某高速公路每周发生的汽车事故数服从参数为3泊松分布，(1)求每周事故数超过4个的概率；(2)求每周事故数不超过3个的概率.21 解设随机变量表示事故数，则，(1)每周事故数超过4个的概率：，(2)每周事故数不超过3个的概率：。9．某城市在长度为（单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数服从参数为的泊松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：（1）某天中午12时至下午15时发生火灾；（2）某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.解(1)，中午12时至下午15时发生火灾的概率：(2)，中午12时至下午16时至少发生两次火灾的概率：10．一工厂有20台机器，每台机器在某日发生故障的概率是0．05，每台机器是否发生故障相互独立。(1)用二项分布计算其中有2台机器发生故障的概率；(2)用泊松分布近似计算2台机器发生故障的概率。 解设随机变量表示机器发生故障的个数，则，(1)有2台机器发生故障的概率：(2)用泊松分布近似计算2台机器发生故障的概率：11．若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于0.005，现有10000个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，⑴有40个人死亡的概率;⑵死亡人数不超过70个的概率.解设随机变量表示死亡人数，则，（1）有40个人死亡的概率；21 （2）死亡人数不超过70个的概率。12.设随机变量的分布律为0240.040.320.64求随机变量的分布函数.解13.设随机变量的概率密度＝,求随机变量的分布函数.解。14.已知随机变量的概率密度＝(1)确定常数c；(2)求分布函数；（3）求概率P{X≤0.5}和P{X=0.5}.解(1);(2);21 (3)P{X≤0.5}，P{X=0.5}=0.15.设随机变量的概率密度（1）确定常数A；（2）求分布函数；（3）求概率.解(1);(2);(3).16.设连续型随机变量的分布函数为.求：（1）常数A，B；（2）随机变量的概率密度.解(1)；(2).17.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.解随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，；21 设随机变量表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则至少有两次观测值大于3的概率：。18.设某类日光灯管的使用寿命X(小时)服从参数为1/2000的指数分布，(1)任取一只这种灯管，求能正常使用1000小时以上的概率；(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上，求还能使用1000小时以上的概率.解（1）；（2）（这是指数分布的重要性质：“无记忆性”）.19．从某地乘车往火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间～；第二条路线走环线,路程较远,但意外阻塞少,所需时间～.⑴若有70分钟时间可用,问应走哪条路线?⑵若只有65分钟时间可用,问又应走哪条路线？解⑴，，若有70分钟时间可用,走线路一赶到的概率是0.9772,走线路二赶到的概率是0.9938,应走第二条路线.⑵，，若只有65分钟时间可用,走线路一赶到的概率是0.9332,走线路二赶到的概率是0.8944,应走第一条路线.20.设，求的概率密度.解；21 21.设随机变量的概率密度求随机变量的概率密度.解；22.设随机变量的概率密度（1）求随机变量的概率密度；(2）求概率.解（1）；；（2）.23.设随机变量X与Y相互独立，且服从同一分布，X的分布律为P{X=0}=P{X=1)}=1/2，求：Z=max{X,Y}的分布律.解21 习题三1.设随机变量在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在1~X中等可能取一整数值。试求的分布律.解的分布律：XY123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162.若甲袋中有3个黑球2个白球，乙袋中有2个黑球8个白球。现抛掷一枚均匀硬币，若出现正面则从甲袋中任取一球，若出现反面则从乙袋中任取一球，设求:（1）的联合分布律；（2）判断与是否独立.解（1），联合分布律：XY0104/102/1011/103/10（2），与不独立.3.将一枚均匀硬币抛掷三次，以表示在3次中出现正面的次数，以表示在3次中出现正面的次数与出现反面次数之差的绝对值.求:（1）的联合分布律；（2）判断与是否独立.解，的取值有1和3.，，的联合分布律：21 XY0123103/83/8031/8001/8（2），与不独立。4.设二维随机变量的分布函数为求:（1）常数、、；（2）的概率密度;(3)边缘分布函数.解(1)，,,(2)，,(3).5.设二维随机变量的联合概率密度为求:(1)常数;(2)概率;(3)概率.解(1),(2)3/8,(3).21 6.设二维随机变量的联合概率密度.求：（1）随机变量和的边缘概率密度和；（2）概率.解(1),,(2)7.设二维随机变量的联合概率密度求:（1）随机变量和的边缘概率密度，；（2）随机变量与独立是否独立？解（1），，（2），与独立。8.设随机变量的联合概率密度函数为.求:(1)边缘密度函数;(2)概率;(3)是否独立?21 解(1),(2)=,(3)，不独立.9.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率（结果保留使三位小数）.解设甲船到达的时刻是，乙船到达的时刻是，则独立同分布均匀分布，任何一艘都不需要等候码头空出：，任何一艘都不需要等候码头空出的概率：。10.一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时，设他们两人到达的时间相互独立。求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解设负责人到达办公室的时间是，秘书到达办公室的时间是，则独立，，他们到达办公室的时间相差不超过5分钟：他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率：。11.设随机变量~，随机变量的概率密度为且与相互独立.求：（1）的联合概率密度；21 （2）.解（1）~，，（2）=12.设的联合密度函数求:(1)常数；(2)；(3)、；(4)、是否独立？解（1）；(2)(3),;(4)，独立.13.设随机变量相互独立，且，求随机变量的概率密度.解21 14.设随机变量相互独立，且都服从[0,2]上的均匀分布，求（1）随机变量的概率密度；（2）.解（1），（2）.15.在一电路中，两电阻和串联联接，设，相互独立，它们的概率密度均为求总电阻的概率密度.21 解16.设随机变量的联合密度函数求：(1)常数A；(2)条件密度函数解(1)　（2）当时，。21'